第二节 极限的基本性质 第二二章 一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质1.唯一性唯一性2.有界性有界性 3.保号性、保序性保号性、保序性4. 收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.唯一性唯一性2.局部有界性局部有界性 3.局部保号性局部保号性4.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 第二二章 一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质 1. 唯一性唯一性 定理定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性)即若即若则必有则必有若极限若极限则极限唯一则极限唯一.( 用反证法用反证法)及及且且取取因因 N1 N+, 使当使当 n N1 时时, 假设假设即当即当 n N1 时时, 从而从而 使当使当 n N1 时时, 证法证法1同理同理, 因因故故 N2 N+, 使当使当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使当 n N1 时时, 则当则当 n N 时时, 矛盾！矛盾！故假设不真故假设不真 !例例1 证明数列证明数列是是发散的发散的. 证证 用反证法用反证法.假设数列假设数列收敛收敛 , 则有则有唯一极限唯一极限 a 存在存在 .对于对于则则存在存在 N , 使当使当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .于是推得于是推得矛盾！矛盾！区间长度为区间长度为1这与这与2. 有界性有界性例如例如:有界有界无界无界即若即若使使(n =1,2,).定理定理2.2 (收敛数列的有界性收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证 设设取取则则当当时时, 从而有从而有取取 则有则有即收敛数列必有界即收敛数列必有界.有有注注有界性是数列收敛的必要条件，有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件但不是充分条件. 收敛收敛 有界有界关系：关系：例如例如,虽有界，但不收敛虽有界，但不收敛 .数列数列推论推论 无界数列必发散无界数列必发散.3. 保号性、保序性保号性、保序性定理定理2.3 (收敛数列的保号性收敛数列的保号性)(1) 若若则则使当使当n N 时，时，()()(2) 若若则则 a 0.( 0 , 取取证证 (1)(2) 用反证法证明用反证法证明.注注如：如：推论推论2.3 (保序性保序性)使当使当n N 时，恒有时，恒有 (2) 若若时时, 有有证证 ( 用反证法用反证法)取取因因故存在故存在 N1 , 使当使当 n N1 时时, 假设假设从而从而当当 n N1 时时,从而从而同理同理, 因因故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有则当则当 n N 时时, 便有便有与已知矛盾与已知矛盾, 于是定理得证于是定理得证.当当 n N1 时时,4. 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系(1) 子数列的概念子数列的概念称为数列称为数列 xn 的一个子数列的一个子数列(或子列或子列)。例如例如, 从数列从数列中抽出所有的偶数项中抽出所有的偶数项 是其子数列是其子数列. 它的第它的第k 项是项是组成的数列：组成的数列：(2) 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系定理定理2.4也收敛，且也收敛，且证证 设设的任一子数列的任一子数列 .若若则则当当 时时, 有有取正整数取正整数 K , 使使于是当于是当时时, 有有从而有从而有注注定理定理1 某某收敛收敛例如，例如，但但发散发散.2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散 .例如，例如， 发散发散 !二、函数极限的性质二、函数极限的性质1. 唯一性唯一性定理定理2.1 ( 函数极限的唯一性函数极限的唯一性)2. 局部有界性局部有界性如：如：(2) 若若则则 X 0,函数函数 f (x) 有界有界.使得当使得当时，时，3. 局部保号性局部保号性定理定理2.3 (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)(1) 如果如果且且 A 0 ,则存在则存在( A 0 (或或 0),时时, 恒有恒有f (x) g(x)(或或推论推论2.3( (函数极限的局部保序性函数极限的局部保序性) )时时, 恒有恒有问题问题: 若若 f (x) 0 时时, 有有 f (x) g (x),但是但是不能！不能！内容小结内容小结1. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 , 有界性有界性 , 保号性保号性, 保序性保序性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限2. 函数极限的性质函数极限的性质:唯一性唯一性 , 局部有界性局部有界性 , 局部保号性局部保号性, 局部保序局部保序性性;思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1. 找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知已知, 求求时时,下述作法是否正确下述作法是否正确? 说明理由说明理由.设设由由递推式两边取极限得递推式两边取极限得不对不对!此处此处