相交弦及切割线定理相交弦及切割线定理新兴中学新兴中学 ： 曲满锋曲满锋提提 问问怎样证明四条线段成比例？答：利用相似三角形或平行线分线段成比例定理。怎样证明两条线段之积等于另两条线段之积答：化为比例式证明9/19/2024引例引例.已知：已知：AB和和CD是圆是圆O的弦，的弦，AB和和CD交交于点于点P，求证：，求证：PA PB=PC PD证明：连结证明：连结AD、BC因为因为 A= C D= B所以所以APDBPC所以所以PA PD PC PB PA PB=PC PDABPCD=.9/19/2024推论推论：当两条弦中的一条是直径，另一条与该直径垂直时，结论变成什么样 PC2=PA PB运用格式: AB是直径, ABCD PC2=PA PBOABCDPPABCDO.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。点分成的两条线段长的积相等。9/19/2024一1、定理：圆内的两条相交弦，被交点分圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。成的两条线段长的积相等。 2、弦、弦AB和和CD交与交与O内一点内一点P，那么那么 PA PB=PC PDOABCDP相交弦定理相交弦定理二1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。比例中项。 2、CD是弦，是弦，AB是直径，是直径，CDAB，垂足垂足是是P， PC2=PA PB OCDABP.例题例题1.已知：如图，已知：如图，AP=3cm，PB=5cm，CP=2.5cm，求，求CD的长。的长。解：由相交弦定理得解：由相交弦定理得 PA PB=PC PD故故 35=2.5PD PD=6（cm） CD=6+2.5=8.5(cm)答答:CD=8.5cm。OCDABP.例例2 2：已知圆中的两条弦相交，第一条被交点分已知圆中的两条弦相交，第一条被交点分为为12cm和和16cm两段，第二条弦的长为两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长。求第二条弦被交点分成的两段的长。解解：设第二条弦被交点分成的一段长为设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为（则另一段长为（32-x）cm。 由相交弦定理得由相交弦定理得 x（32-x）=1216 32x-x x2 2=192 x2-32x+192=0 （x-8）（）（x-24）=0 x=8或或x=24 故另一段长为故另一段长为32-8=24 或或32-24=8答：另一弦被交点分成的两段长分别为答：另一弦被交点分成的两段长分别为8cm， 24cm 1216x(32-X).例题例题例题例题3 3 3 3：已知：如图，已知：如图，ABAB是圆是圆O O的弦，的弦，P P是是ABAB上的一点，上的一点，AB=10cmAB=10cm，OP=5cmOP=5cm，PB=4cmPB=4cm，求圆求圆O O的半径。的半径。OPABCDC解解 过过OP作直径作直径CD，设圆设圆O的半径为的半径为xcm，由由相交弦定理相交弦定理得，得，PD PC=PA PB（x-5）（）（x+5）=6 4x2-25=24 x2=49 x=7或或x=-7（舍去）舍去）答：圆答：圆O的半径为的半径为7cm。.9/19/2024例题例题4:已知：如图已知：如图AB是是O的直径，的直径，AB CD，垂足为垂足为P，CP=4cm，PB=2cm，求，求PO的长。的长。解:AB是直径，是直径，AB CD PC2=PA PB 42=2PA PA=8（cm） AB=PA+PB=8+2=10（cm） OP=PA-OA=8-5=3（cm）答：OP=3cm。ABCDPO.相交弦定理：相交弦定理：PAPB=PCPD 探探索索：如如果果把把两两弦弦相相交交点点P移移到到圆圆外外，并并且且有有一一条条线线段段是是切切线线，会会产产生生什什么么现现象象，得得出出什什么么比例关系？比例关系？ OCBPA切割线定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。的比例中项。 PA2=PBPCOCBPA例例1 1、已知、已知: :如图如图,O的割线的割线PAB交交O于点于点A和和B，PA=6, ,AB=8, ,PO=10.9, ,求求O的半径。的半径。 OCPBA例例2、已知两个以、已知两个以O为圆心的同心圆为圆心的同心圆, ,AB切切大圆于大圆于B，AC切小圆于切小圆于C, ,交大圆于交大圆于D、E, ,AB=12, ,AO=15, ,AD=8, ,求两圆的半径。求两圆的半径。 OCEABDCPAOD。B例例3、如图、如图,割线割线PAB、PCD分别交分别交 O于于A、B和和C、D。若。若PC=2，CD=16，PA AB=1 2。求。求AB的长的长OPABCDE例例4、如图，已知、如图，已知 PAB、PCD是是 O的割线的割线,PE切切 O于点于点E，PE=6cm，PC=3cm，PA=4cm，AC=2cm求求BD的长的长例例5、已知、已知AB是是O的直径的直径, ,AC是弦是弦, ,CDAB, ,D为为垂足垂足, ,AE是是O的切线的切线, ,A为切点且为切点且AE=AC，求证：求证：EFEB=ADAB OBAECDF例例6、已知：、已知：O的两弦的两弦AB、CD的延长线交的延长线交圆外一点圆外一点E，EFDA交交CB的延长线于的延长线于F，FG切切O于于G，求证：求证：FG=FE ODCEAFGB例例7、已知：、已知：ABC内接于内接于O，AB的延长线与过的延长线与过点点C的切线的切线GC相交于相交于D，BE与与AC相交于点相交于点F，且且CB=CE， 求求证：（证：（1）BEDG （2）CB2CF2=BFFE OBADGCEF