章末归纳总结章末归纳总结1学习命题，首先根据能否判断语句的真假看是否是命题，掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性2由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性理解3要注意：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”，可见：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论，例如，原命题“若AB，则ab”的否命题是“若AB，则ab”，而原命题的否定是“若AB，则ab.”4充要条件的判断是通过判断命题“若p则q”的真假来判断的因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念5准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，熟练判断“pq”、“pq”、“p”形式的命题的真假6准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定例1判断下列命题的真假(1)xR，若x30，则x30；(2)若x3或x5，则(x3)(x6)0.解析(1)x30x30，命题为真(2)当x5时，(x3)(x6)0，命题为假点评(1)实际上是“pq”命题的真假(2)中实质上是x3,5时，有(x3)(x6)0，显然是错误的，它不是“pq”形式的复合命题分别指出由下列各组命题构成的“pq”、“pq”、“p”形式的复合命题的真假(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆(2)p：角平分线上的点到角两边距离不相等；q：线段中垂线上的点到线段的两端点距离相等(3)p：22,3,4；q：矩形菱形正方形(4)p：正六边形的对角线都相等；q：凡是偶数都是4的倍数答案(1)p真、q真，pq真；pq真；p假(2)p假、q真，pq真；pq假；p真(3)p真、q真，pq真；pq真；p假(4)p假、q假，pq假；pq假；p真.例2若m0或n0，则mn0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假解析逆命题：若mn0，则m0或n0，逆命题为真否命题：若m0且n0，则mn0，否命题为真(逆命题与否命题是等价的)逆否命题：若mn0，则m0且n0，逆否命题为假(逆否命题与原命题等价)点评命题的否定形式与命题的否命题不同，前者是只否定原命题的结论，而后者是同时否定条件和结论若a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2bxc0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假解析逆命题：“若ax2bxc0(a、b、cR)有两个不相等的实数根，则ac0.”它是假命题否命题：“若ac0，则方程ax2bxc0(a、b、cR)没有两个不相等的实数根”它是假命题逆否命题：“若ax2bxc0(a、b、cR)没有两个不相等的实数根，则ac0.”它是真命题.例3对命题p：“1是集合x|x2a中的元素”，q：“2是集合x|x2a中的元素”，则a为何值时，“p或q”是真命题？a为何值时，“p且q”是真命题？分析分别把命题p，q转化为对应的a的范围，然后由真值表，结合集合的运算求出a的范围解析由1是集合x|x21，由2是集合x|x24，即使得p，q为真命题的a的取值集合分别为Pa|a1，Ta|a4当p，q至少一个为真命题时，“p或q”为真命题，则使“p或q”为真命题的a的取值范围是PTa|a1；当p，q都为真命题时，“p且q”才是真命题，则使“p且q”为真命题的a的取值范围是PTa|a4点评“p或q”是真命题，可以转化为并集的运算；“p且q”是真命题，可以转化为交集的运算设命题p：方程x2(2k1)x0的两实根都小于2；命题q：方程x22x(3k1)0有两正实根，若命题“p或q”为真，而命题“p且q”为假，求实数k的取值范围例4已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围解析解不等式x28x200得p：Ax|x10，或x0得q：Bx|x1a，或x0例5判断下列命题的真假(1)所有的质数是奇数(2)xR，x210.(3)存在一个实数x，使x2x10.(4)存在两条相交直线垂直于同一平面