工程力学资料力学部分云南交通职业技术学院李昆华 副教授第十三章 资料力学的根本内容q学习与应该掌握的内容q资料力学的根本知识q根本变形的主要特点q内力计算及内力图q应力计算q二向应力形状及强度实际q强度、刚度设计资料力学的根本知识q资料力学的研讨模型q资料力学研讨的物体均为变形固体，简称“构件；现实中的构件外形大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。q杆-长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何外形可用其轴线截面形心的连线和垂直于轴线的几何图形横截面表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面一样的直杆，称为等直杆；q资料力学的主要研讨对象就是等直杆。资料力学的根本知识q变形q构件在载荷作用下，其外形和尺寸发生变化的景象；变形固体的变形通常可分为两种：q弹性变形-载荷解除后变形随之消逝的变形q塑性变形-载荷解除后变形不能消逝的变形q资料力学研讨的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其本身尺寸的变形q变形固体的根本假设q延续性假设q假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充溢了物质q均匀性假设q假设资料的力学性能在各处都是一样的。q各向同性假设q假设变形固体各个方向的力学性能都一样资料力学的根本知识q资料的力学性能q-指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。q构件的承载才干：q强度-构件抵抗破坏的才干q刚度-构件抵抗变形的才干q稳定性-构件坚持原有平衡形状的才干q内力的概念q构件在外力作用时，外形和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改动，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。横截面上内力分析其中：Mx、My、Mz为主矩在x、y、z轴方向上的分量。FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、z轴方向上的分量。FNxFNx使杆件延使杆件延x x方向方向产产生生轴轴向拉向拉压变压变形，称形，称为轴为轴力力FQy,FQzFQy,FQz使杆件延使杆件延y,zy,z方向方向产产生剪切生剪切变变形，称形，称为为剪力剪力Mx Mx 使杆件使杆件绕绕x x轴发轴发生改生改动变动变形，称形，称为为扭矩扭矩MyMy、MzMz使得杆件分使得杆件分别绕别绕y zy z轴产轴产生弯曲生弯曲变变形，称形，称为为弯矩弯矩利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图横截面上内力计算-截面法q截面法求内力步骤q将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；q取其中任一部分并在截面上画出相应内力；q由平衡条件确定内力大小。例：左图左半部分：Fx=0 FP=FN右半部分：Fx=0 FP,=FN,例13-1q知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力解：1、假想从m-n面将机架截开如图；2、取上部，建立如图坐标系，画出内力FN，MZ 方向如图示。程度部分/竖直部分的变形？3、由平衡方程得：Fy=0 FP-FN=0FN=FPMo=0 Fp a - Mz=0Mz =Fp a根本变形(轴向)拉伸、紧缩载荷特点：受轴向力作用变形特点：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN轴力正负规定：轴力与截面法向一样为正FN=P根本变形-剪切载荷特点：作用力与截面平行垂直于轴线变形特点：各横截面发生相互错动内力特点：内力沿截面方向与轴向垂直，简称 剪力FQ剪力正负规定：左下右上为正左下：指左截面左半边物体剪力向下根本变形-改动载荷特点：受绕轴线方向力偶作用力偶作用面平行于横截面变形特点：横截面绕轴线转动内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系T=M根本变形-弯曲平面载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴面内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。笼统记忆：盛水的碗正应力、切应力q应力的概念q单位面积上内力的大小，称为应力q平均应力Pm，如下图FAPm=正应力 单位面积上轴力的大小，称为正应力；切应力 单位面积上剪力的大小，称为切应力应力单位为：1Pa=1N/m2 帕或帕斯卡)常用单位：MPa兆帕，1MPa=106 Pa=1N/mm2A截面面积单元体及简单应力形状对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背叛两面的交线，此关系称为切应力互等定律或切应力双生定律。 在研讨变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一个无限小的正六面体，简称 单元体；此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。 单元受力最根本也是最简单的方式有两种：单向拉压和纯剪切-简称单向应力形状如图位移q构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。q如图：qAA连线称为A点的线位移q角度称为截面m-m的角位移，简称转角q留意，单元K的外形也有所改动应变q分析单元Kq单元原棱长为x，u为绝对伸长量，其相对伸长u/ x的极限称为沿x方向的正应变。u x即： x=limx2. a点的横向挪动aa，使得oa直线产生转角，定义转角为切应变=aaoa=aax)胡克定律q实验证明：q当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系，q即：=q称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa吉帕q同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系q即：=q此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa钢与合金钢E=200-220GPaG=75-80GPa铝与合金铝E=70-80GPaG=26-30GPa木材E=0.5-1GPa橡胶E=0.008GPa总第十二讲q第十四章杆件的内力q14-1轴向拉伸或紧缩杆件的内力q14-2改动圆轴的内力14-1 轴向拉压杆件的内力q定义q以轴向伸长或缩短为主要特征的变形方式，称为轴向拉伸或紧缩q内力的计算q截面法q如左图q内力的表示q轴力图-笼统表示轴力沿轴线变化的情况轴力图q例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示Fx=0 FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示Fx=0 FN2-F3=0得：FN2= - F3=-1.5kN负号表示所画FN2方向与实践相反3)图14-1-4位AB杆的轴力图轴力图q为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。14-2 改动圆轴的内力q改动变形的定义q横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为改动q以改动为主要变形的直杆，通常称为轴q本课程主要研讨圆截面轴q功率、转速和扭矩的关系qM=9549 q扭矩图q仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就是扭矩图。 其中：M为外力矩(N.m)P为功率(kW)n转速(r/min)例14-2 扭矩图v如图，自动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2)2)分分别求求1-11-1、2-22-2、3-33-3截面上的扭矩，截面上的扭矩，即即为BC,CA,ADBC,CA,AD段段轴的扭矩内力如的扭矩内力如图a)a)、b)b)、c);c);均有均有Mx=0 Mx=0 得：得：T1+MB=0T1+MB=0T1=-MB= -350N.mT1=-MB= -350N.mMB+MC+T2=0MB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.mT2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0 MD-T3=0 T3=MD=446N.mT3=MD=446N.m3)3)画出扭矩画出扭矩图如如 d) d)总第十三讲v14-3弯曲梁的内力v14-4弯曲梁的内力图-剪力图和弯矩图14-3 弯曲梁的内力q弯曲梁的概念及其简化q杆件在过杆轴线的纵向平面内，遭到力偶或遭到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。q常见梁的力学模型q简支梁q一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座外伸梁一端或两端伸出支座支外的简支梁悬臂梁一端为固定端，另一端为自在端的梁。梁内力的正负规定q梁的内力q剪力FQq弯矩MCq梁内力的正负规定q内力方向梁的变形14-3 弯曲梁的内力例例14-3 简支梁如左图，知a、q、M=qa2；求梁的内力FAyFBy12 321-1截面内力：(0x1 a)32-2截面内力： (ax22a)解：1求得A、B处反力FAY,FBY；续例14-343-3截面内力：(0 x3 a，此处x3的起点为B点，方向如图)14-4内力图-剪力图1.当：0x1a 时AC段 FQ1=5q.a/62.当：ax22a 时,即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 = FQ1 x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 = FQ3 3.当： 0x3a (起点在B点FQ3=-q.a/614-4内力图-弯矩图v当：0x1a 时，vM1=5q.a.x1/6为直线v当：ax22a 时，为二次曲线；vM2=5qax2-q(x2-a)2/2v当： 0x3a时原点在B点，方向向左，M3为直线vM3=qa2+q.a.x3/6; 典型例题-1q知：G,a,b,l,画梁AB内力图解：1求A,B支座反力( a+b=l )2求x截面内力a) 0xab) axa)或CB,ab段vQmax=Gb/lv最大弯矩在C截面处vMmax=Gab/l本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置方式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即：FQ=FQ(x)Mc=M(x)典型例题-2q简支梁受力偶作用1.求支座反力FAY,FBY得：2.FAY=- FBY =M/l2.AC段X截面处剪力FQ=Fay,3.同理可求得BC段剪力与AC段一样，剪力图如左4.AC段弯矩方程M15.M1=FAYx=M x /L5.BC段弯矩方程M26.M2=FAY x-M=M(x - L)/L典型例题-3悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且M、FQ与q的关系v设梁上作用恣意载荷，坐标原点选在A点左端点形心，现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程得：Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a)MC=0; M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b)在上式中略去高阶微量后，得运用关系式画FQ、M图q(x)=0的区间q(x)=C的区间集中力F作用处力偶M作用处FQ 图水平线q(x)0,斜直线，斜率0q(x)0,斜直线，斜率0,斜直线，斜率0FQ 0,斜直线，斜率0,抛物线，上凹q(x)0,抛物线，下凹FQ =0,抛物线有极值斜率由突变图形成折线有突变突变量=M例题-7vM=3kN.m,q=3kN/m,a=2m解：求A、B处支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN剪力图：如图，将梁分为三段AC：q=0,FQC= FAYCB：q0,FQB=-8.5kNBD：q0,直线,MC=7KN.MCB：q0,抛物线,FQ=0,MB=6.04BD：q0;MBC|x=3a/4=014-8c解答A、B支反力：FA=qa/2;FB=5qa/2AB段：q0；斜直线左上右下A点：FQA=FA=qa/2；B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2D点：FQAB=0；x=a/2BC段：q=0；直线程度C点：FQC=F=qa=FQB弯矩图：AB段：q0；抛物线，上凸A点： MC=0，D点： MD= FA a/2 q.a2/8=qa2/8B点： MB=FA.2a-2qa2=-qa2；BC段:q=0 直线左下右上MC=0,MB=-F.a=-qa2D第15章 杆件的应力与变形总总第十四第十四讲讲q第一讲q拉压杆件的应15-1轴向力与变形q第二讲q15-2改动圆轴的应力与应变q第三讲q15-3弯曲梁的正应力q第四讲q15-4弯曲梁的切应力q15-5弯曲梁的变形第一讲 轴向拉压q15-1轴向拉压杆件的应力与变形q杆件轴向拉压时横截面上的应力q杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式q横向变形与泊松比横截面上的应力q平面假设q杆件的横截面在变形后仍坚持为平面，且垂直于杆的轴线。q横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截面上只需正应力。q两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。q杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式FN轴力A-横截面面积的正负号与FN一样；即拉伸为正紧缩为负例15-1v一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力解：求轴力FN;FN=-F=-20kN=-20x103N求横截面面积：A1=bh=20x25=500mm2A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2求应力由于1-1，2-2截面轴力一样，所以最大应力应该在面积小的2-2截面上=FNA=-20X103300=-66.7MPa 负号表示为压应力轴向变形设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变形l和轴向相对变形线应变分别为：l=l1-l0直杆横截面上的正应力：当应力不超越某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：=E由以上可以得到：式中EA称为杆件的抗拉压刚度此式称为拉压变形公式横向变形与泊松比假设等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1； 那么其横向绝对变形和横向线应变分别为b和;b=b1-b0= b /b0实验阐明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小， 为负 ；杆件轴向紧缩时，横向尺寸增大， 为正；可见， 轴向线应变和横向线应变恒为异号实验还阐明：对于同一种资料，当应力不超越某一极限时，杆件的横向线应变与轴向线应变之比为一负常数：即：或比例系数称为泊松比，是量刚为一的量例15-2 p241q一板状试样如图，知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变=120x10-6,横向线应变=-38x10-6；试求试样资料的弹性模量E和泊松比解：求试件的轴力FN=F=3kN;横截面面积A=bh=120mm2,横截面上的应力=F/A根据胡克定律=E得：泊松比：例15-3 p241钢制阶梯杆如下图；知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。解：画出杆件的轴力图求出个段轴向变形量AC段：CD段：DB段：总变形：l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm由=L/L得：1= -300x10-62= 200x10-63= 400x10-6第二讲 改动圆轴的应力和变形q一、圆轴改动时横截面上的应力q切应变、切应力q切应力分布q圆轴的改动变形计算公式q截面的几何性质q二、圆轴改动时的变形q应力计算 例15-4总总第第1515讲讲一、圆轴改动时横截面上的应力q平面假设：圆周改动变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、外形以及相邻两截面之间的间隔坚持不变，横截面半径仍为直线v横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。v横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。v各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直推断结论：切应变、切应力q横截面上恣意一点的切应变与该点到圆心的间隔成正比由剪切胡克定律可知： 当切应力不超越某一极限值时，切应力与切应变成正比。即：横截面上恣意一点的切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线切应力分布q根据以上结论：q改动变形横截面上的切应力分布如图a)所示扭矩和切应力的关系：如图b)所示：微面积dA上内力对o点的矩为dM=dA整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩即：圆轴的改动变形计算公式由推导的结论式可以得到：或：变形计算公式于是有：改动变形横截面恣意点切应力计算公式外边缘最大切应力计算公式截面的几何性质q极惯性矩p改动截面系数p其中d为圆截面直径d、D为圆环内外径二、圆轴改动时的变形由改动变形计算公式可以计算出，两个相距dx的横截面绕轴线的相对角位移，即相对改动角drad对于相距L的两个横截面间的相对改动角可以经过积分求得：rad对于等截面圆轴，假设在长度为l的某两个截面之间的扭矩均为T，那么该两截面的相对改动角为rad单位长度相对改动角rad/m应力计算 例15-5在图示传动机构中，功率从B轮输入，再经过锥齿轮将一半传送给铅垂轴C，另一半传送给程度轴H。假设知输入功率P1=14kW，程度轴E和H的转速n1=n2=120r/min，锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12，图中d1=70, d2=50, d3=35.求各轴横截面上的最大切应力.分析：此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为改动变形。欲求各传动轴横截面上的切应力，必需求得各轴所受的扭矩，即各轴所遭到的外力偶矩。由题意可知，E、H、C轴所传送的功率分别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min再经过公式：可以求得各轴所遭到的外力矩M1M2M3例15-5 (续)解：1、求各轴横截面上的扭矩：E 轴：H 轴：C 轴：2、求各轴横截面上的最大切应力：E 轴：H 轴：E 轴：应力计算 习题15-10、11如下图,知：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此轴的最大切应力2、C截面相对于A截面的改动角CA；3、相对改动角AB、 BC；解：1、求最大切应力扭矩图如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根据切应力计算公式15-11续2、求C截面相对A截面的改动角改动角计算公式：C截面相对A截面的改动角为：3、相对改动角为：本节要点改动圆轴的切应力计算公式：最大切应力公式改动圆轴的横截面上切应力分布规律相对改动角单位长度相对改动角总第16讲q第三讲 弯曲梁正应力q弯曲正应力公式q弯曲梁截面的最大正应力q惯性矩的平行轴定理q平行轴定理运用举例1q平行轴定理运用举例2q弯曲正应力计算 习题15-14p271q作业第三讲 弯曲梁正应力平面弯曲横力弯曲纯弯曲剪力FQ0弯矩M 0剪力FQ=0弯矩M 0纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度总总第第1616讲讲弯曲正应力公式纯弯曲正应力公式推导：如上图1、2得纵向变形：根据胡克定律，可知：由图3得：几何关系物理关系即对照以上各式，得：其中：Iz为截面对z轴的惯性矩弯曲梁截面的最大正应力由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处.引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为：惯性矩计算：A 定义式：B 积分式：矩形截面Iz的计算： 如图惯性矩的平行轴定理由惯性矩的定义式可知：组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和即：Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，那么其对坐标轴的惯性矩为：对于z轴的惯性矩：对于y轴的惯性矩：平行轴定理运用举例1工字形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。解：可以以为该截面是由三个矩形截面构成，所以：Iz=Iz1+Iz2+Iz3-+123Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)平行轴定理运用举例2求图示截面对z轴的惯性矩解： 截面可分解成如图组合，A1=300x30=9000mm2A2=50x270=00mm2 yc1=-75-15=-90mmyc2=-75=60mmA1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为：I1cz=300x303/12=0.675x106mm4I2cz=50x2703/12=82.0125x106mm4 由平行轴定理得：I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x00=130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,A1A2弯曲正应力计算 习题15-14p271知：A=40MPa(拉),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm求：1) B, D ；2) max(拉解：A=40MPa(拉),y1=10mm; 由公式： 由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有： 最大拉应力在上半部边缘总第17讲q15-4 弯曲梁的切应力q15-5 弯曲梁的变形15-4弯曲梁的切应力总总第第1717讲讲q横力弯曲时，梁的横截面上切应力分布。q横力弯曲时，梁的横截面上切应力计算公式例15-11如下图，知6120柴油机活塞销的外径D=45mm，内径d=28mm，活塞销上的载荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，连杆作用力F=88.4kN。求活塞销的最大正应力和最大切应力。解：活塞销所受的载荷简化为均布载荷，其均布集度为剪力图如例15-11 bFQmax=44.2kN弯矩图如例15-11 c)Mmax=1.18kN.m知活塞销截面为薄壁圆环，那么：活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为：15-5 弯曲梁的变形q梁弯曲变形的概念挠度-梁的横截面形心在垂直雨量轴线方向的位移称为挠度，用w表示。正负规定：图示坐标中上正下负转角-梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用表示。正负规定：逆时针为正，反之为负挠曲线-梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑延续曲线，称为挠曲线，其表示式为转角与挠度w的关系如下图：tan =dw(x)/dx=w即：横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率w=w(x)积分法求梁的变形q积分法求梁的变形挠曲线公式简单推导由前可知：而在数学中有：略去高阶无穷小，得到：挠曲线近似微分方程积分后：式中的积分常数C、D由梁的边境条件和延续条件确定积分法求梁的变形举例习题15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max，wmax；解：求A,B支座反力FA=FB=ql/2=8kN写出梁的弯矩方程如图b)：M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2EIzw=M(x)=q(l-x)x/2-(1)积分后得到:习题15-20续FINE边境条件：x=0, w=0；D=0； x=l , w=0；C=-ql3/24由1可知： max 为 M(x)=0的点；即 x=0 和 x=l 处A,B端点max=Amax=Bmax=C/(EIzz)=(ql3)/(24EIzz)w=qx(l3+x32lx2)/(24EIz)；w=0；x=l/2；w x=l=5ql4/(384EIz)叠加法求梁的变形q叠加法求梁的变形v叠加法v当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时变形的叠加。v实际根底v略参见教材P261v常见简单载荷作用下梁的变形v教材P261。叠加法求梁的变形举例习题15-22q用叠加法求图示梁B截面的转角和C截面的挠度叠加结果为查表总第18讲q16-1资料拉压时的力学性能q16-2轴向拉压时斜截面上的应力16-1资料拉压时的力学性能q低碳钢拉伸时的力学性能v试件v仪器v压力实验机v游标卡尺q应力应变曲线q比例极限pq弹性极限eq屈服极限sq抗拉强度b滑移线颈缩伸长率和断面收缩率q伸长率q断面收缩率v塑性资料： 5% v脆性资料：5%q铸铁拉伸q铸铁等脆性资料在拉伸时，变形很小，应力应变曲线图没有明显的直线部分，通常近似以为符合胡克定律。其抗拉强度b是衡量本身强度的独一目的。时衡量资料塑性的一个重要目的低碳钢和铸铁紧缩时的力学性能q低碳钢紧缩q铸铁紧缩名义屈服极限q对于没有明显屈服阶段的塑性资料，在工程上常以卸载后产生0.2%的剩余应变的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限，用P0.2来表示q冷作硬化q对于这种对资料预加塑性变形，而使其比例极限或弹性极限提高，塑性变形减小的景象称之为冷作硬化。16-2轴向拉压时斜截面上的应力q轴向拉压横截面正应力计算公式q=F/Aq对于和横截面有夹角的斜截面，其面积之间有关系式qA=Acosq如图2：p=F/ A=cosq将p向斜截面法向和切向分解，可得到：q=pcosq=psinq如图3所示图1图2图3斜截面上应力公式q即斜截面上应力公式为：正应力公式为：切应力公式为：q由以上公式可以看出：q在横截面上，即=00 时q=max=；=0对于如铸铁这种脆性资料，其抗拉才干比抗剪才干差，故而先被拉断对于低碳钢这种塑性资料，其抗拉才干比抗剪才干强，故而先被剪断；而铸铁紧缩时，也是剪断破坏。v当=450 时：v=/2；=max=/2应力形状概念q单元体q围绕某研讨点所截取的一个微小六面体，其三个对应面上的应力情况，就是该点在空间的应力情况。q主平面q切应力等于零的平面q主应力q主平面上对应力的正应力； 1 2 3;q应力形状q单向应力形状q三个主平面上只需一对主应力不等于零。q二向应力形状q三向应力形状广义胡克定律q胡克定律q当正应力不超越某一极限值时： =E; = -；q广义胡克定律q设三向应力形状下主应力1方向的伸长应变1；主应力2 、3引起1方向的应变为1 、1，结合上式并利用叠加原理那么有： 1=1- (2 +3)/E；即：这就是广义胡克定律二向应力形状斜截面上的应力q如图为二向应力形状：思索平衡可得到：强度实际第一强度实际q强度实际q就是关于资料在不同的应力形状下失效的假设q第一强度实际最大拉应力实际q只需有一个主应力的值到达单向拉伸时 b，资料就发生屈服；即： 1 b；引入平安系数后，其强度设计准那么强度条件为： qr1 1，q式中： r1称为第一强度实际的相当应力； 为单向拉伸时的许用应力q实验证明，该强度实际较好地解释了石料、铸铁等脆性资料沿最大拉应力所在截面发生断裂的景象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况那么不适宜。第二强度实际q第二强度实际最大伸长线应变实际q这一实际以为，最大伸长线应变1到达单向拉伸的极限值1jx ，资料就发生脆性断裂；即：q 1=1jx ；或： 1- 2 + 3 /E = b/E；q引入平安系数：其强度设计准那么为：q r2= 1- 2 + 3 q式中： r2 为第二强度实际的相当应力。q实验证明，该强度实际较好地解释了石料、混凝土等脆性资料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的景象。但是，其实验结果只和很少资料吻合，因此曾经很少运用。第三强度实际最大切应力实际q第三强度实际最大切应力实际q资料无论处在什么应力形状下，只需最大切应力max到达了单向拉伸时切应力屈服极限s (= s /2)；资料就出现屈服破坏，即： qmax (13)/2;s=s/2q其强度设计准那么为： qr3 =1 3q式中： r3 称为按第三强度实际计算的相当应力q实验证明，这一实际可以较好的解释塑性资料出现塑性变形的景象。但是，由于没有思索2的影响，故按这一实际设计构件偏于平安。第四强度实际q第四强度实际外形改动比能实际q这一实际以为，外形改动比能Ux是引起资料发生屈服破坏的缘由。也就是说，资料无论处在什么应力形状下，只需外形改动比能Ux到达资料在单向拉伸屈服时的外形改动比能Uxs，资料就发生屈服破坏。即：(p291)qUx=Uxsq其强度条件为：qq q式中： r4是按第四强度实际计算的相当应力。q实验证明，第四强度实际比第三强度实际更符合实验结果，因此在工程中得到广泛的运用。强度实际的适用范围q在三向拉伸应力形状，无论是脆性资料还是塑性资料，都会发生断裂，应采用最大拉应力实际，即第一强度实际。q在三向紧缩应力形状，无论是脆性资料还是塑性资料，都会屈服破坏裂，适于采用外形改动比能实际或最大切应力实际，即第四或第三强度实际。q普通而言，对脆性资料宜采用第一、第二强度实际。q普通而言，对塑性资料宜采用第三、第四强度实际。总第19讲q17-1杆件的强度设计准那么q强度失效判别q当构件接受的载荷到达一定的大小时，其资料就会在应力形状最危险的一点处发生强度失效。其表现方式如：铸铁拉伸和改动时的忽然断裂、低碳钢拉伸、紧缩、改动时产生的较大的塑性变形等。q建立资料的失效判据，是经过对资料的有限实验完成的。如低碳钢资料在拉伸和紧缩时，以出现显著塑性变形的屈服极限s或以出现断裂的抗拉强度 b作为资料的失效判据；而铸铁资料在拉伸和紧缩时，以出现破坏的抗拉强度 b作为资料的失效判据。许用应力和平安系数v许用应力v在工程实践中，为了保证受力构件的平安，用大于1的系数除以失效极限应力，做为构件任务应力的极限值，成为许用应力，记做：l对于塑性资料：l对于脆性资料：l对于改动时强度失效判别那么有：其中ns、nb称为塑性资料和脆性资料的平安系数强度设计计算v杆件的强度设计v危险截面：能够最先出现强度失效的截面称为危险截面。v危险点：能够最先出现强度失效的点称为危险点。v强度设计的计算内容：v校核强度v选择截面尺寸v确定答应载荷17-2轴向拉压杆件的强度设计q拉压杆的强度设计准那么为q拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，而且各点均为单向应力形状，根据资料的失效判据，拉压杆的强度设计准那么为：式中max为拉压杆横截面上的最大任务应力为资料的许用应力对于塑性资料= s/ns对于脆性资料拉= b拉/nb; 压= b压/nb；总第20讲 拉压杆强度设计q对于等截面杆，其强度准那么可以写成1、强度校核2、选择截面尺寸3、确定答应载荷例17-1强度校核某铣床任务台的近给液压缸如图示，缸内任务压力p=2MPa，液压缸内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，知活塞杆资料的许用应力=50MPa，试校核活塞杆的强度。解：求活塞杆的轴力：横截面上的应力为：活塞杆强度足够注：在工程中，允许任务应力大于许用应力但不可超出5。例17-2选择截面尺寸习题173，知：h=2b，F=40kN，=100MPa；试设计拉杆截面尺寸h、b。解：求出拉杆的轴力FN;FN=F=40kN拉杆的任务应力 FN/A根据强度准那么，有 , 即 AFN/；而A=hb=2b2 所以：2b2 40103/100=400mm2求得：b 14.14mm；h=2b=28.28mm思索平安，可以取 b=15mm，h=30mm终了例题17-3确定答应载荷如左图，知：木杆面积A1=104mm2， 1=7MPa钢杆面积A2=600mm2，2=160MPa,确定许用载荷G。解：1、求各杆的轴力如图b)列平衡方程，得Fx=0 FN1FN2cos300=0Fy=0 FN2sin300G=0求解上式，得： FN1= 1.73G, FN2=2G2、用木杆确定G由强度准那么： 1 =FN1/A1 1 得：G 1 A1 /1.73=40.4kN3、校核钢杆强度即： 2 =FN2/A2= 2G/A2=80.8103/600 =134.67MPa2 强度足够，故答应载荷G=40.4kN终了总第21讲弯曲梁的强度计算q梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：和对于等截面梁，可以写成：对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准那么设计出截面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准那么进展校核。q弯曲正应力例176 强度校核图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力30MPa，许用压应力60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。分析：1、画出梁的弯矩图确定最大弯矩及其所在截面2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值3、校核强度解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：C点为上压下拉，而B点为上拉下压FAFB例176续 12、求出B截面最大应力最大拉应力上边缘：最大压应力下边缘：例176续 23、求出C截面最大应力最大拉应力下边缘：最大压应力上边缘：由计算可见：最大拉应力在C点且Cmax=28.83MPa=30MPa最大压应力在B点且Bmax=46.13MPa60MPa故梁强度足够例177 梁的截面设计简支梁AB如下图，知：=160MPa，=100MPa，a=0.2m，l=2m，F=200kN，试选择工字钢型号。FAFB解：1、计算梁的约束力FA、FB;由于机构对称，所以FA=FB=210kN2、画出梁的剪力图可以看出FQmax=FA=FB=210kN3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在梁的中点，计算得：Mmax=45kN.m4、运用梁的弯曲正应力准那么选择截面尺寸：max(Mmax/Wz)例177续变形可以得出：查附录C选取22a工字钢，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm；t=12.3mm。校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积A1=(h-2t)d；那么有：由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选22b并校核其切应力强度。相应尺寸：h=250,d=10,t=13,那么：切应力强度足够，应选22b号工字钢fine总第总第2222讲讲q如下图为一台钻床，分析其立柱上截面m-m的内力。截面法：将立柱假想从m-m处截开；分析可知，截面m-m上有内力：FN轴力和 M弯矩称此变形为拉压弯组合变形。拉弯组合变形强度计算对于如上所述的组合变形，通常其强度计算采用叠加原理。即横截面上恣意一点的正应力为：留意：塑性资料脆性资料拉弯组合强度计算例178q上钻床的钻削力F=15kN，偏心距e=0.4m，立柱为铸铁资料，其直径d=125mm，许用拉应力35MPa，许用压应力120MPa，试校核立柱强度解：2.最大拉应力：3.最大压应力：求立柱m-m截面的轴力FN和弯矩M：FN=F=15kN；M=F.e=150.46kN.m那么有：立柱强度足够例1710钢板如下图，试校核强度不思索应力集中影响知：F80kN,b=80,t=10,=10,=140MPa解：如图b)；FNF=80kN,eb/2(b-t)/2=80/2(80-10)/2=5M=FNe=400kN.mmFN引起的应力M引起的应力例1710续因此，最大拉应力为上缺口最低点：下边缘应力为：讨论：显然，钢板的强度不够；引起应力增大的缘由是偏心距呵斥的。因此，处理此类问题就是消除偏心距，如左：正应力分布图如下：总第总第2323讲讲q纯扭圆轴横截面切应力分布q圆轴改动的强度设计准那么q等截面圆轴改动的强度设计准那么为答应切应力；通常，对于塑性资料 0.50.6) ；对于脆性资料： 0.81.0) 改动圆轴强度设计例1711q某传动轴所传送的功率P=80kW，其转速n=580prm，直径d=55mm，资料的答应切应力=50MPa，试校核轴的强度。解：传动轴的外力偶矩为：任务切应力的最大值：强度足够！例1712q汽车传动轴由45无缝钢控制成。知：=60MPa，假设钢管的外径D90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩M=1.5kN.m.试：1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的分量比。解：1、校核强度带入数据后得：max50.33MPa60MPa;强度足够2、设计实心轴直径D1两轴的最大任务切应力相等)3、两轴分量比弯扭组合变形传动机构传动轴如图17-13e为轴CE段横截面的应力分布；边缘上a点为截面的危险点，a点的应力形状为二向应力形状，如图f弯扭组合强度计算准那么q强度公式推导：q由应力公式参考教材P287 得：q第三强度实际：qr3 =1-3 得：q第四强度实际：q.得：用内力表示的强度准那么通常思索到：那么：其中：称为运用第三和第四强度实际进展强度计算时所对应的相当弯矩运用第三强度实际时：运用第四强度实际时：留意：传动轴为塑性资料传动轴为中心对称的圆轴例17-13图示为圆轴AB，在轴的右端联轴器上作用有一力偶M。知：D=0.5m，F1=2F2=8kN, d=90mm, a=500mm,50MPa，试按第四强度实际设计准那么校核圆轴的强度。解：简化机构如图b)，计算相应值：M1=(F1-F2)D/2=1kN.m分别画出轴的扭矩图和弯矩图c),d)可以看出C截面为危险界面。由第四强度准那么，例17-14知：F1=5kN,F2=2kN,a=200,b=60,d0=100,D=160,=200;=80MPa;按第三强度实际设计轴的直径。解：1、画出受力图如b)2、空间力系投影法 xy面：如 c),画出弯矩图如d)求得：MCz=35N.mMBz=420N.m17-14(续)xz面：如图e),画出弯矩图如f)求得：MCy=480N.m3、扭矩图如图h)T=240N.m4、危险点为C点：5、设计轴径：由第三实际得：所以：总第总第2424讲讲q轴向拉伸杆件：式中：l为轴向拉伸的答应伸长量或缩短量q平面弯曲梁：式中：为许用挠度；为许用转角。q改动变形圆轴：式中：max为许用改动角。杆件的刚度准那么与刚度设计例17-15 P317q飞机系统中的钢拉索，其长度为l=3m，接受拉力F=24kN，弹性模量E=200GPa，需用应力=120MPa，要求钢拉索在弹性范围内的许用伸长量l=2mm，试求其横截面面积至少应该为多少？解：钢拉索发生轴向拉伸变形，其轴力为FN=F=24kN1、由等截面轴向拉伸杆件的强度设计准那么， 得：2、由轴向拉压杆件的刚度设计准那么， 得：综合上列强度和刚度设计结果，钢拉索的横截面面积至少应该为：200mm2例17-16q如下图阶梯轴，知：d1=40mm，d2=55mm，MC=1432.5N.m，MA=620.8N.m。轴的许用单位长度改动角=20/m，许用切应力=60MPa，切变模量G=80GPa，试校核轴的强度和刚度。解：由阶梯轴的计算简图b)画出轴的扭矩图c)，得出AB、BC段的扭矩显然，在AB段上AD段各个截面是危险截面，其最大切应力为：BC段的最大切应力为：整个轴的最大切应力所以轴的强度足够例17-16(续刚度校核AD段的单位长度改动角BC段的单位长度改动角因此，轴的最大单位长度改动角所以，轴的刚度足够例17-17q图示为一等截面空心机床主轴的平面简图，知其外径D=80mm,内径d=40mm，AB跨度l=400mm,BC段外伸a=100mm,资料的弹性模量E=210GPa;切削力在该平面上的分力F1=2kN，齿轮啮合力在该平面上的分力F2=1kN，假设主轴C端的许用挠度=0.01mm，轴承B出的许用转角=0.001rad，试校核机床的刚度。解： 机床主轴发生弯曲变形，其惯性矩为：图b)为主轴的计算简图，利用叠加原理，计算出F1、F2单独作用在主轴时C端的挠度。例17-17续1qF1单独作用时C端的挠度如图c),由表15-3查得(p261)qF2单独作用时C端的挠度如图d),由表15-3查得(p261)B点的转角，由几何关系得：qC端的挠度qF1单独作用时B点的转角如图c),由表15-3查得p261qF2单独作用时B点的转角如图d),查表得qB点的转角如上计算可知，主轴满足刚度要求。例17-17续2总第总第2525讲讲q工程上常用于联构造件的螺栓、铆钉、销钉和键等称为结合件q常见结合件的失效方式：q剪切和挤压q衔接件的假定计算：q假定应力是均匀分布在剪切面和积压面上联接件的假定计算剪切的假定计算q假定：切应力均匀分布在剪切面上q切应力计算公式：FQ 为剪切面上的剪力；A 为剪切面面积q剪切强度设计准那么：为资料的许用切应力，可由实验得到；通常在剪切假定计算时，可以参考拉伸许用应力，如钢材=(0.75)(0.8)挤压的假定计算q有效积压面面积q挤压接触面为平面q挤压接触面为曲面q挤压应力q挤压强度设计准那么Fbc为挤压力Abc为有效积压面面积为需用积压应力焊接缝的假定计算q切应力作用面面积:qAmin=lcos450q强度准那么:为焊缝资料的许用切应力胶粘接缝的假定计算q假定：q假定垂直于胶粘接缝方向和沿接缝方向的应力都同时满足q ；其中： b/nb；q ；其中： b/nb；b、b分别为胶粘接缝破坏时的抗拉强度和抗剪强度；通常由垂直于接缝方向的拉伸实验和平行于接缝方向的剪切实验确定。总第总第2626讲讲q提高弯曲梁承载才干的措施q提高弯曲梁强度的措施q合理安排载荷和支座q选择合理的截面外形提高杆件承载才干的措施总第总第2626讲讲1 1q留意：q对拉压强度不同的脆性资料，宜采用上下不对称于中性轴的截面，中性轴位置偏向受拉一侧q等强度梁变截面梁圆轴改动q提高圆轴改动承载才干的措施q合理安排轮系q选用空心轴思 考 题1.矩形截面梁的横截面高度添加到原来的两倍，截面的抗弯才干将增大到原来的几倍？矩形截面梁的横截面宽度添加到原来的两倍，截面的抗弯才干将增大到原来的几倍？2.钢梁和铝梁的尺寸、约束、截面、受力均一样，其内力、最大弯矩、最大正应力及梁的最大挠度能否一样？谢 谢！圆、环的Ip的计算oddA对于圆环，上积分式变为：弯扭组合横截面应力分布图