（一）（一） 操操 作作 方方 法法 1.3.1 1.3.1 函数的基本性质函数的基本性质 函数的单函数的单调性调性 教师教师 20122012年年9 9月月2121日日 数学公开课数学公开课问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试，得他经过测试，得到了以下一些数据：到了以下一些数据：时间间隔隔 t刚记忆完完毕20分分钟后后60分分钟后后8-9小小时后后1天天后后2天天后后6天天后后一个一个月后月后记忆量量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量以上数据表明，记忆量y y是时间是时间间隔间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯遗忘曲线斯遗忘曲线”, ,如图如图. .123tyo20406080100思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增逐渐增 大你能看出对应的函数值大你能看出对应的函数值y y有什么变化趋势？通过这个有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待试验，你打算以后如何对待刚学过的知识刚学过的知识? ?思考思考2:“2:“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123T()T()气温气温T T是关于时间是关于时间t的函数曲线图的函数曲线图4812162024to-2248610思考思考:气温发生了怎样的变化气温发生了怎样的变化？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？ 观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律分别反映了相应函数的哪些变化规律： 1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？函数值随着自变量函数值随着自变量x的增的增大大而增而增大大函数值随着自变量函数值随着自变量x的增的增大大而减而减小小用描点法画出下例函数的图像用描点法画出下例函数的图像函数值随着自变量的改变怎样变化？函数值随着自变量的改变怎样变化？x01-1 2 -2y01-1 8 -81）图象在）图象在y轴右侧轴右侧 随着随着x的的 增加增加，y的值在的值在增加增加,图像图像上升上升2）图象在）图象在y轴左侧轴左侧 随着随着x的的 增加增加，y的值在的值在减小减小图像图像下降下降 函数值随着自变量函数值随着自变量x的的增大增大而而增大增大x01-12-2 y122551、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的增增大大而而 _2、 在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的增增大大而而 _ (-,00,+)增大增大减小减小仿照上例：画出函数仿照上例：画出函数f(x)=xf(x)=x2 2的图象，观察的图象，观察其变化规律：其变化规律： 如何利用函数解析式如何利用函数解析式f(x)=xf(x)=x2 2来描述图象这来描述图象这种变化规律种变化规律? ? 函数f (x)在给定区间上为增函数。Oxy如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图像？来描述上升的图像？如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图像？来描述下降的图像？ 函数f (x)在给定区间上为减函数。Oxy一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在区间在区间D上是上是增函数 1增函数增函数一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x1f(x2)，那那么么就就说说f(x)在区间在区间D上是上是减函数 2减函数减函数 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间在某个区间D上是增函上是增函数或是减函数，那么就说函数数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这在这一区间具有（严格的）一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫叫做做y=f(x)的的单调区间单调区间. 二、函数单调区间定义二、函数单调区间定义 练习：1、分别画出下列函数的图象，并根据它们的图象指出其单调区间。（1）y=2x+1 （2）y=(x-1)2-1（3）y= （4）y=2yxoy(1)y=2x+1xo2)y=(x-1)2-112-1yOx增区间增区间为为增区间增区间为为减区间减区间为为减区间减区间为为(4)y=2无单调性无单调性Oyx例例1 下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间-5,5上的函上的函数数 的图象的图象,根据图象说出根据图象说出的单调区间的单调区间,以及在每一区间上以及在每一区间上,是增函数还是减函数是增函数还是减函数.-212345-23-3-4-5-1-112O解：根据函数图象可知解：根据函数图象可知-2,1),3,5上是增函数。上是增函数。函数函数 单调区间有单调区间有-5，-2),-2，1),1,3),3，5, 其中其中 在区间在区间-5,-2),1,3)上是减函数，在区间上是减函数，在区间注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在数，不存在单调性问题。单调性问题。请结合图象说出一次函数与二次请结合图象说出一次函数与二次函数的单调区间函数的单调区间.二次函数y=ax2+bx+c(a0)在 上是增函数在 上是减函数在 上是增函数在 上是减函数在(-,+)上是减函数在(-,+)上是增函数一次函数y=kx+b(k0)yox当k0时,yox当a0时,1 、任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 、作差作差f(x1)f(x2)，变形，变形;3 、定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；4 、下下结结论论（即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的的单单调性）调性） 二、利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的单调性的一般步骤：单调性的一般步骤：例例2 2：证明：函数：证明：函数 在在R R上是单调减函数上是单调减函数证：在证：在R R上任意取两个值上任意取两个值 ，且，且 ， 即即 在在R R上是单调减函数上是单调减函数取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断则则证明：证明：（条件）（条件）（论证结果）（论证结果）（结论）（结论）1.函数函数y(2k1)xb在在(，)上是减函数，则上是减函数，则 () A.k B.k C.k D.k解析：解析： 函数函数y(2k1)xb在在(，)上是减数，上是减数， 2k10， k .答案：答案：对应习题证明：证明：证明：证明：设设x1，x2 （0，+），），且且x1x2，则则111Ox y1f（x）在定义域在定义域上是减函数吗？上是减函数吗？减函数减函数取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）例例4：yOx- -11- -11 取自变量取自变量1 1 1 1， 而而 f( (1) 1) f(1)(1)不不能说能说 在在(- -,0 0) (0 0,+ +)上是上是减减函数函数 要写成要写成(- -,0 0)，(0 0,+ +)的形式。的形式。逗号逗号隔开隔开 巩固例例4、 讨论函数讨论函数y=x24x3的单调性的单调性.解：取解：取x x1 1x x2,2,x,x1 1、x x2 2RR， f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2)=)=（x x1 12 24x4x1 13 3）（）（x x2 22 24x4x2 23 3） = =（x x1 1+x+x2 2)(x)(x1 1x x2 2）-4(x-4(x1 1x x2 2） = (x= (x1 1x x2 2)(x)(x1 1+x+x2 24 4） 则当则当x x1 1x x2 22 2时，时， x x1 1+x+x2 24 4f(xf(x2 2) )， 所以所以 y=f(x)y=f(x)在区间在区间(-,2)(-,2)单调递减。单调递减。 当当2 2x x1 10 0， f(xf(x1 1) )0时，要使时，要使f(x)2ax24(a3)x5在区间在区间(，3)上是减函数，则对称轴上是减函数，则对称轴x 必在必在x3的右的右边，即边，即 3，故，故0a ；当当a0时，不可能在区时，不可能在区间间(，3)上恒为减函数上恒为减函数.综合知：综合知：a的取值范围是的取值范围是0， .答案：答案：0， 设量设量判断差符号判断差符号作差变形作差变形下结论下结论课堂小结课堂小结1 1. . 两个定义：增函数、减函数的定义两个定义：增函数、减函数的定义；(定义法定义法)证明函数单调性，步骤证明函数单调性，步骤: :图象法判断函数的单调性图象法判断函数的单调性：增增函数的图象从左到右函数的图象从左到右减减函数的图象函数的图象从左到右从左到右上升上升下降下降3.一个数学思想：数形结合一个数学思想：数形结合2：两种方法：两种方法如何确定函数如何确定函数的单调区间？的单调区间？选做题：选做题：作业作业: :（必做）（必做）优化指导、活页做优化指导、活页做同步同步 布置作业布置作业课堂课堂 练习：练习： v谢谢观赏