双曲线双曲线 的简单几何性质的简单几何性质xyOlF思考：思考：点点M(x, y)与定点与定点F(c, 0)的距离和它到定直线的距离和它到定直线 的距离比是常数的距离比是常数 (ca0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.M解：解：设点设点M(x,y)到到l的距离为的距离为d，则，则即即化简得化简得 (c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设设c2a2 =b2，(a0,b0)故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线的双曲线.b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化为:M点点M的轨迹也包括双的轨迹也包括双曲线的左支曲线的左支.双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率.对于双曲线对于双曲线是相应于右焦点是相应于右焦点F(c, 0)的的右准线右准线类似于椭圆类似于椭圆是相应于左焦点是相应于左焦点F(-c, 0)的的左准线左准线xyoFlMFl点点M到左焦点与左准线的距到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义离之比也满足第二定义.想一想：想一想：中心在原中心在原点，焦点在点，焦点在y轴上轴上的双曲线的准线的双曲线的准线方程是怎样的？方程是怎样的？xyoF相应于上焦点相应于上焦点F(0,c)的是的是上准线上准线相应于下焦点相应于下焦点F(0, -c)的是的是下准线下准线F基础练习基础练习1.双曲线的中心在原点双曲线的中心在原点,离心率为离心率为4, 一条准线方一条准线方 程是程是 ,求双曲线的方程求双曲线的方程.2. 双曲线双曲线4y2-x2=16的准线方程是的准线方程是；两准线间；两准线间 的距离是的距离是; 焦点到相应准线的距离是焦点到相应准线的距离是 .3.双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 一条准线方程一条准线方程 是是 , 则双曲线的方程是则双曲线的方程是 . A. B. C. D.D4.双曲线双曲线 上的一点上的一点P到它的右焦点的到它的右焦点的 距离为距离为8, 那么那么P到它的左准线的距离到它的左准线的距离 .例例1、证明：证明：P说明：说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径称为双曲线的焦半径.y.F2F1O.x|练习练习1:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.YXA1A2B1B2F1F2oF2F1证明:(1)设已知双曲线的方程是:则它的共轭双曲线方程是:渐近线为：渐近线为:可化为：故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c),c=c所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？练习练习2、 已知双曲线已知双曲线F1、F2是它的左、右焦点是它的左、右焦点. 设点设点A(9,2), 在曲线上求点在曲线上求点M，使，使 的值最小的值最小,并求这个最小值并求这个最小值.xyoF2MA由已知：由已知：解：解：a=4, b=3, c=5,双曲线的右准线为双曲线的右准线为l:作作MNl, AA1l, 垂足分别是垂足分别是N, A1,NA1当且仅当当且仅当M是是 AA1与双曲线的交点时取等号与双曲线的交点时取等号,令令y=2, 解得解得: