by wkyby wky习题课习题课Signals and Systemsby wkyby wky第第2章章 信号的时域分析信号的时域分析第第3章章 系统的时域分析系统的时域分析第第4章章 周期信号的频域分析周期信号的频域分析第第5章章 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析第第6章章 系统的频域分析系统的频域分析信号与系统习题课信号与系统习题课by wkyby wky2-1 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (1)f(t) = u(t) - 2 u(t-1) -1 0 1 t1-1-2u(t)- 2 u(t-1)f(t)1-1-1 0 1 tby wkyby wky2-1 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (2)f(t) = u(t+1) - 2u(t) + u(t-1) 1-1-1 0 1 tf(t)1-1-1 0 1 tu(t+1)- 2u(t)u(t-1)by wkyby wkyf(t)1-12-1 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (2)f(t) = u(t+1) - 2u(t) + u(t-1) 另一种思路：另一种思路：f(t) = u(t+1) - u(t) -u(t) - u(t-1) u(t+1) - u(t)=? -1 0 1 tu(t) - u(t-1)=? -u(t) - u(t-1)=? by wkyby wky2-1 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (4)f(t) = d d (t-1) - 2d d (t-2) + d d (t-3)f(t)1-12-2-3 -2 -1 0 1 2 3 t(1)(-2)(1)by wkyby wky2-2 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (1)f(t) = u(t) u(3-t) f(t)1-1-3 -2 -1 0 1 2 3 tu(t)u(3-t)=u-(t-3)u(t-3)by wkyby wky2-2 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (1)f(t) = u(t) u(3-t) f(t)1-1-3 -2 -1 0 1 2 3 tby wkyby wky2-2 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (3) f(t) = e-2t sin(2t) u(t) e-2tsin(2t)0 p p 2p 3p 2p 3p t1-1e-2t sin(2t) u(t)by wkyby wky2-2 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (3) f(t) = et sin(2t) u(t) 0 p p 2p 3p 2p 3p t1-1etet sin(2t) u(t)by wkyby wky2-2 定性绘出下列信号的波形定性绘出下列信号的波形 (5) f(t) = (t-2) u(t) f(t)1-12-2-3 -2 -1 0 1 2 3 tt-2t(t-2) u(t)by wkyby wky2-4 利用单位阶跃信号利用单位阶跃信号u(t)表示下列信号表示下列信号 -2 0 2 tf(t)2f(t)=(t +2+2) u(t +2+2) u(- -t) + 2 u(t) u(2- -t)= (t +2+2)u(t +2+2) - - t u(t) - -2u(t - -2) = (t +2+2)u(t +2+2) - - u(t) + 2u(t) - -u(t - -2)(a)by wkyby wky2-4 利用单位阶跃信号利用单位阶跃信号u(t)表示下列信号表示下列信号 (b)f(t)213-3 -2 -1 0 1 2 3 tu(t+3) u(3-t) u(t+2) u(2-t) u(t+1)u(1-t) f(t)=u(t+3)u(3-t) +u(t+2)u(2-t) +u(t+1)u(1-t) =u(t+3)-u(t-3) +u(t+2)-u(t-2) +u(t+1)-u(t-1) by wkyby wky2-4 利用单位阶跃信号利用单位阶跃信号u(t)表示下列信号表示下列信号 (c)0 1 2 3 4 tf(t)2-1f(t) = 2u(t-1)u(2-t) -u(t-2)u(3-t) +u(t-3)u(4-t) =2u(t-1)-u(t-2) -u(t-2)-u(t-3) +u(t-3)-u(t-4) =2u(t-1) -3u(t-2) +2u(t-3) -u(t-4) by wkyby wky2-5 写出下列信号的时域表达式写出下列信号的时域表达式 (a)f(t)1-1-1 0 1 tf(t)= t u(t) -u(t -1) +u(t-1) 或者或者 f(t)= t u(t)u(1-t) +u(t-1) by wkyby wky2-5 写出下列信号的时域表达式写出下列信号的时域表达式(c)f(t)1-1-1 0 1 tf(t)=-tu(t+1) -u(t) + t u(t) -u(t-1) = -t u(t+1)u(-t) + t u(t) u(1-t) by wkyby wky2-5 写出下列信号的时域表达式写出下列信号的时域表达式(e)f(t)1-1-1 0 1 tf(t)= u(t+1) -u(t) +(1-2t) u(t) -u(t-1) - u(t -1) f(t)= u(t+1)u(-t) +(1-2t)u(t) u(1-t) - u(t -1) by wkyby wky2-10 已知信号波形已知信号波形, 绘出下列信号波形绘出下列信号波形f(t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 t12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(-t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(t+2)12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(-3t)by wkyby wky2-10 已知信号波形已知信号波形, 绘出下列信号波形绘出下列信号波形f(t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 t12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(-t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(5-3t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(-3t)by wkyby wky连续连续LTI系统的响应系统的响应 经典时域分析方法经典时域分析方法全解齐次解特解全解齐次解特解 卷积法卷积法完全响应零输入响应零状态响应完全响应零输入响应零状态响应齐次解中齐次解中0-时刻时刻对应的分量对应的分量卷积积分卷积积分固有响应固有响应强迫强迫响应响应by wkyby wky例题：简单例题：简单RC电路电路+f (t)1W1W1F+uc(t)已知已知 f (t) = (1+e3t )u(t)初始条件初始条件uC(0-)=1V求求uC(t)。解：解：根据电容电流根据电容电流 iC(t)=C duC(t)/dt得微分方程得微分方程 uC(t) + uC(t)= f (t) 特征方程特征方程 s + 1 = 0得特征根得特征根 s1=1by wkyby wky(1) 零输入响应（与齐次解形式相同）零输入响应（与齐次解形式相同）uCx(t) = K1et根据初始条件根据初始条件uC(0-)=1V得到得到 K1=1，即零输入响应即零输入响应 uCx(t) = et(2) 冲激响应冲激响应 h(t) = Aet u(t) 代入原微分方程代入原微分方程 Aet u(t) + Aet d d(t) + Aet u(t) = d d(t) 解得解得 A = 1，即即 h(t) = et u(t) by wkyby wky(3) 零状态响应零状态响应uCf(t) = f (t)* * h(t) by wkyby wky= (e0 - -1/2e3t ) - (- (et - -1/2et ) = (1 - - 1/2et - -1/2e3t) u(t) (4) 完全响应完全响应=零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应uC(t) = uCx(t) + uCf(t) = et u(t) + (1 - - 1/2et - -1/2e3t) u(t) (3) 零状态响应零状态响应uCf(t) = f (t)* * h(t) by wkyby wky齐次解齐次解 uCh(t) = K1et特解特解 uCp(t) = A+Be3t 特解代入原微分方程特解代入原微分方程 3Be3t + A+Be3t = 1+e3t 解得解得 A = 1， B =-1/2 特解特解 uCp(t) = 1 1/2e3t 全解全解(完全响应完全响应)=齐次解齐次解 + 特解特解uC(t) = K1et + (1 1/2e3t ) 【采用经典法：】【采用经典法：】by wkyby wky根据初始条件根据初始条件 uC(0+)= uC(0-)=1V得到得到 K1 +11/2 =1，即即K1 = 1/2 全解全解 uC(t) = 1/2 et + (1 1/2e3t ) 齐次解齐次解（固有响应（固有响应）特解特解（强迫响应）（强迫响应）比较：比较：完全响应完全响应=零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应= et + (1 - - 1/2et - -1/2e3t)by wkyby wky习题习题 3-4已知微分方程为已知微分方程为 y(t) + 3 y (t) = f(t)，t 0; y(0) =1，求系统的固有响应求系统的固有响应(齐次解齐次解) yh(t)、强迫响应、强迫响应(特解特解) yp(t)和完全响应和完全响应(全解全解) y(t) 解：系统特征方程为解：系统特征方程为 s+3=0,解得特征根解得特征根 s=-3 齐次解的形式为齐次解的形式为 yh(t)=Ke-3t by wkyby wky(1)当输入当输入f(t)=u(t)时，特解形式为时，特解形式为yp(t)=A 代入原方程，得代入原方程，得A =1/3，即，即yp(t)= 1/3 全解全解y(t) = yh(t) + yp(t) = Ke-3t + 1/3 根据初始条件有根据初始条件有y(0)= K+1/3=1, 得得K =2/3 y(t) = 2/3 e-3t + 1/3(2)当当f(t)=e-tu(t)时，特解形式为时，特解形式为yp(t)=Ae-t 代入原方程代入原方程, 得得A =1/2, 即即yp(t)= e-t 全解全解y(t) = yh(t) + yp(t) = Ke-3t + e-t 根据初始条件有根据初始条件有y(0)= K+1/2=1, 得得K =1/2 y(t) = e-3t + e-t(3)当当f(t)=e-3tu(t)时，因为特征根时，因为特征根 s=-3 特解形式为特解形式为yp(t)=At e-3t 代入原方程代入原方程, 得得A =1, 即即yp(t)= t e-3t 全解全解y(t) = yh(t) + yp(t) = Ke-3t + t e-3t 根据初始条件有根据初始条件有y(0)= K=1, y(t) = e-3t + t e-3t = (1+ t) e-3tby wkyby wky习题习题 3-6 (1)已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为y(t) +5 y(t) + 4 y(t) =2 f (t) + 5f(t), t 0;初始状态初始状态y(0-) =1，y(0-) =5， 求系统的零输入响应求系统的零输入响应yx(t)。 解：系统特征方程为解：系统特征方程为 s2+5s+4=0 ,解得特征根解得特征根 s1=-1, s2=-4 by wkyby wky零输入响应与齐次解的形式相同：零输入响应与齐次解的形式相同： yx(t)=K1e-t + K2e-4t根据初始状态，有根据初始状态，有 y(0-) = yx(0-) = K1+ K2 = 1 y(0-) = yx(0-) = -K1 -4 K2 = 5 解出解出 K1= 3, K2 = -2 零输入响应为零输入响应为 yx(t) = 3 e-t - 2 e-4tby wkyby wky习题习题 3-6 (2)已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为y(t) +4 y(t) + 4 y(t) =3 f (t) + 2f(t), t 0;初始状态初始状态y(0-) =-2，y(0-) =3， 求系统的零输入响应求系统的零输入响应yx(t)。 解：系统特征方程为解：系统特征方程为 s2+4s+4=0 ,解得特征根解得特征根 s1= s2= -2 by wkyby wky零输入响应与齐次解的形式相同：零输入响应与齐次解的形式相同： yx(t)= (K1 + K2t)e-2t根据初始状态，有根据初始状态，有 y(0-) = yx(0-) = K1= -2 y(0-) = yx(0-) = -2K1 + K2 = 3 解出解出 K1= -2 , K2 = -1 零输入响应为零输入响应为 yx(t) = (-2-t) e-2tby wkyby wky习题习题 3-7 (1)已知连续时间已知连续时间LTI系统的微分方程为系统的微分方程为y(t) + 3 y(t) = f(t), t 0;求系统在输入激励求系统在输入激励 f(t) = e-3tu(t)作用下系统作用下系统的零状态响应的零状态响应yf(t)。 解解: (1) 系统特征方程为系统特征方程为 s+3=0 ,解得特征根解得特征根 s=-3, 且满足且满足nm by wkyby wky冲激响应与齐次解的形式相同：冲激响应与齐次解的形式相同： h(t)= Ke-3t u(t) 代入原微分方程代入原微分方程 ，有，有 Ke-3-3t d d(t)- -3 Ke-3-3t u(t)+ 3 Ke-3-3t u(t)= d d(t)即即 Ke-3-3t d d(t) = d d(t)利用冲激函数的筛选特性：利用冲激函数的筛选特性：f (t) d d (t) = f(0) d d(t) 得得 K d d(t) = d d(t)，即，即 K =1 冲激响应冲激响应 h(t)= e-3t u(t)(2) 当输入当输入f(t) = e-3tu(t) 时，零状态响应时，零状态响应为为yf(t) = h(t) * * f(t) = t e-3t u(t) by wkyby wky习题习题 3-7 (5)已知连续时间已知连续时间LTI系统的微分方程为系统的微分方程为y(t) +4 y(t) + 3 y(t) = f(t), t 0;求系统在输入激励求系统在输入激励 f(t) = e-2tu(t)作用下系统作用下系统的零状态响应的零状态响应yf(t)。 解：解：(1) 系统特征方程为系统特征方程为 s2+4s+3=0 ,解得特征根解得特征根 s1=-1, s2=-3 , 且满足且满足nm by wkyby wky冲激响应与齐次解的形式相同：冲激响应与齐次解的形式相同： h(t)= (K1et + K2e3t) u(t) 代入原微分方程代入原微分方程 ，有，有 (K1e-t + K2e-3t) d d (t)+ +2(-K1e-t -3 K2e-3t) d d(t) + (K1e-t + 9K2e-3t) u(t)+4(K1e-t + K2e-3t)d d(t)+ (-K1e-t -3 K2e-3t) u(t)+ 3(K1e-t + K2e-3t) u(t) = d d(t)化简得化简得(K1e-t +K2e-3t)d d (t)+ +(2K1e-t -2K2e-3t)d d(t)=d d(t)by wkyby wky利用冲激函数的筛选特性：利用冲激函数的筛选特性：f (t) d d (t) = f(0) d d(t) 以及以及 f (t) d d(t) = f (0) d d(t) - - f(0) d d(t) 得得(K1+K2)d d(t) +( +(K1 +3K2 + 2 2K1 -2-2 K2) ) d d(t) = d d(t)即即 K1+K2 = 0， 3K1+K2 = 1 K1 = ， K2 = - 冲激响应冲激响应 h(t)= (1/2e- -t - -1/2e-3-3t) u(t) (2) 当输入当输入f(t) = e-2tu(t) 时，零状态响应为时，零状态响应为yf(t) = h(t) * * f(t) = (1/2e- -t + +1/2e-3-3t - -e-2-2t) u(t) by wkyby wky习题习题3-8 (1)已知系统微分方程为已知系统微分方程为y (t) + 5 y (t) + 4 y (t) = f(t) +2 f (t) ， t 0f (t) =u(t), y(0-)=2, y (0-)=4求零输入响应、零状态响应和完全响应。求零输入响应、零状态响应和完全响应。解：解：特征方程特征方程 s2 + 5s + 4 = 0得特征根得特征根 s1=1， s2=4by wkyby wkyyx (t) = K1et + K2e4t根据初始状态，有根据初始状态，有y (0-) = yx(0-) = K1+ K2 = 2y(0-) = yx(0-) = - -K1 -4-4 K2 = 4解出解出 K1= 4, K2 =-2，零输入响应为零输入响应为yx(t) = 4 et 2 e4t(1) 求零输入响应求零输入响应(与齐次解形式相与齐次解形式相同同)(2) 求冲激响应求冲激响应(与齐次解形式相同与齐次解形式相同)h(t) = (Aet + Be4t ) u(t) 代入原微分方程代入原微分方程 y (t) + 5 y (t) + 4 y (t) = f(t) +2 f (t)(Aet + Be4t ) d d(t) +(3Aet 3 Be4t ) d d(t) = d d(t) +2d d(t) 利用冲激信号的筛选特性：利用冲激信号的筛选特性：f (t) d d(t) = f (0) d d(t) - - f(0) d d(t) f (t) d d (t) = f(0) d d(t) 得到得到 (A + B) d d(t) - - (- - A - - 4B) d d(t) + (3A - - 3B ) d d(t) = d d(t) +2d d(t) 即即 A + B=1, 4A + B=2, 解得解得 A=1/3, B=2/3冲激响应冲激响应 h(t) = (1/3 et + 2/3 e4t ) u(t) by wkyby wky(3) 求零状态响应求零状态响应 yf(t)= f (t)* *h(t)=h(t)* *f(t) by wkyby wkyy(t) = yx(t) + yf(t) = (4 et 2 e4t )u(t) + (-1/3 et 1/6 e4t + 1/2)u(t)= (11/3 et 13/6 e4t + 1/2)u(t)(4) 完全响应完全响应=零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应by wkyby wky齐次解的形式为齐次解的形式为 yh (t) = A1et + A2e4t求特解求特解：由由 yp (t) = A3 4 A3=2 A3=1/2全解为全解为 y (t) = yh (t) + yp (t) =A1et + A2e4t + 1/2【采用经典法：】【采用经典法：】by wkyby wky如果如果y (0+) = y (0-), y(0+)= y(0-)根据初始状态，有根据初始状态，有y (0+) = A1+ A2 + 1/2 = 2y(0+) = - -A1 -4-4 A2 = 4解出解出 A1= 10/3, A2 =-11/6，全解为全解为 y (t) = 10/3 et 11/6 e4t + 与卷积法结果不同！与卷积法结果不同！by wkyby wky取初值取初值 y (0+) = y (0-)=2, y(0+)=5 根据初始状态，有根据初始状态，有y (0+) = A1+ A2 + 1/2 = 2y(0+) = - -A1 -4-4 A2 = 5解出解出 A1= 11/3, A2 =-13/6，全解为全解为 y (t) = 11/3 et 13/6 e4t + 与卷积法结果相同！与卷积法结果相同！by wkyby wky习题习题3-8 (2)已知系统微分方程为已知系统微分方程为y (t) + 4 y (t) + 4 y (t) = 3f(t) +2 f (t) ， t 0f (t) =e-tu(t), y(0-)=-2, y (0-)=3求零输入响应、零状态响应和完全响应。求零输入响应、零状态响应和完全响应。解：解：特征方程特征方程 s2 + 4s + 4 = 0得特征根得特征根 s1= s2=2，且满足，且满足nm by wkyby wky yx(t)= (K1 + K2t)e-2t根据初始状态，有根据初始状态，有 y(0-) = yx(0-) = K1= -2 y(0-) = yx(0-) = -2K1 + K2 = 3 解出解出 K1= -2 , K2 = -1 零输入响应为零输入响应为 yx(t) = (-2-t) e-2t(1) 求零输入响应求零输入响应(与齐次解形式相与齐次解形式相同同)by wkyby wky(2) 求冲激响应求冲激响应(与齐次解形式相同与齐次解形式相同)h(t) = (A + Bt)e-2t u(t) 代入原微分方程代入原微分方程 y (t) + 4 y (t) + 4 y (t) = 3f(t) +2 f (t)(A+ Bt ) e-2t d d(t) +2(-2A-2Bt +B) e-2t d d(t) + (4A+4Bt -4B) e-2t u(t) + 4(A+ Bt ) e-2t d d(t) +(-2A-2Bt +B) e-2t u(t) +4(A+ Bt ) e-2tu(t)= d d(t) +2d d(t) by wkyby wky即即(A+Bt)e-2-2td d(t)+ 2Be- -2 2td d(t)=3d d(t)+2 2d d(t) 利用冲激信号的筛选特性：利用冲激信号的筛选特性：f (t) d d(t) = f (0) d d(t) - - f(0) d d(t) f (t) d d (t) = f(0) d d(t) , 得到得到: : Ad d(t) - - (- -2A + +B)d d(t) + 2B d d(t) = 3d d(t) +2d d(t) 即即 A =3, - - (- -2A + +B) + 2B =2, 解得解得 A=3, B=-4冲激响应冲激响应 h(t) = (3 4t) e2t u(t) by wkyby wky(3) 求零状态响应求零状态响应 yf(t)= f (t)* *h(t)=h(t)* *f(t) by wkyby wky习题习题 3-11已知连续时间已知连续时间LTI系统的微分方程系统的微分方程, 求系统的冲激响应求系统的冲激响应 h(t)。 (1) y(t) + 3 y(t) = 2f(t), t 0;(2) y(t) + 4 y(t) = 3f(t) + 2f(t), t 0;(3) y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 4f(t), t 0;by wkyby wky(1) y(t) + 3 y(t) = 2f(t), t 0;解：系统特征方程为解：系统特征方程为 s+3=0 ,解得特征根解得特征根 s= -3, 且满足且满足nm 冲激响应与齐次解形式相同冲激响应与齐次解形式相同, h(t)= Ke-3t u(t) 代入原微分方程代入原微分方程 ，有，有 Ke-3-3t d d(t) - -3 Ke-3-3t u(t)+ 3 Ke-3-3t u(t)= 2d d(t)即即 Ke-3-3t d d(t) = 2d d(t)利用冲激函数的筛选特性：利用冲激函数的筛选特性：f (t) d d (t) = f(0) d d(t) 得得 K d d(t) = 2d d(t)，即，即 K =2 冲激响应冲激响应 h(t)= 2e-3t u(t)by wkyby wky(2) y(t) + 4 y(t) = 3f(t) + 2f(t), t 0;解：系统特征方程为解：系统特征方程为 s+4=0 ,解得特征根解得特征根 s= -4, 且存在且存在n=m 冲激响应含有冲激响应含有d d(t)项, h(t)= Ae-4t u(t) + B d d(t)代入原微分方程代入原微分方程 ，有，有Ae-4-4td d(t) - -4Ae-4-4t u(t) + Bd d (t) + 4Ae-4-4t u(t) + 4B d d(t) = 3d d (t)+ 2d d(t)即即 Bd d (t)+Ae-4-4td d(t)+4+4Bd d (t) = 3d d (t)+2d d(t)利用冲激函数的筛选特性：利用冲激函数的筛选特性：f (t) d d (t) = f(0) d d(t) 得得 B = 3, A+4B = 2，即，即 A = -10, B = 3 冲激响应冲激响应 h(t)= -10e-4t u(t) + 3d d(t)by wkyby wky(3) y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 4f(t), t 0;解：系统特征方程为解：系统特征方程为 s2+3s+2=0 ,解得特征根解得特征根 s1=-1, s2=-2, 且满足且满足nm 冲激响应与齐次解形式相同冲激响应与齐次解形式相同, h(t)= (K1et + K2e2t) u(t) 将冲激响应代入原微分方程将冲激响应代入原微分方程 ，有，有 (K1e-t + K2e-2t) d d (t)+ +2(-K1e-t -2 K2e-2t) d d(t) + (K1e-t + 4K2e-2t) u(t)+3(K1e-t + K2e-2t)d d(t)+ (-K1e-t -2 K2e-2t) u(t)+ 2(K1e-t + K2e-2t) u(t) = 4d d(t)利用冲激函数的筛选特性：利用冲激函数的筛选特性：f (t) d d (t) = f(0) d d(t)，以及，以及f (t) d d(t) = f (0) d d(t) - - f(0) d d(t)，得得 (K1+K2)d d(t) +( +(K1+2K2+K1- -K2) )d d(t) = 4d d(t)即即 K1= 4， K2 = -4冲激响应冲激响应 h(t)= (4e- -t - -4e-2-2t) u(t) by wkyby wky习题习题4-1 比较周期方波的对称性，比较周期方波的对称性，写出写出Fourier级数展开式。级数展开式。by wkyby wkyfa(t)A-T -T/4 T/4 T t(a)fa(t)偶对称，偶对称，Fourier级数展开式中只含级数展开式中只含有直流分量和余弦分量。有直流分量和余弦分量。by wkyby wkyfb(t)A-T T/2 T/2 T t(b)信号为信号为fa(t)右移右移T/4，即，即fb(t)= fa(t-T/4)，根据时移特性可以得到根据时移特性可以得到fb(t)的的Fourier系数。系数。by wkyby wky(c)fc(t)=2 fa(t)-A ，偶对称，且半波镜像对，偶对称，且半波镜像对称，称，Fourier级数展开式中只含有奇次级数展开式中只含有奇次谐波的余弦分量。谐波的余弦分量。C0=0fc(t)A-A-T -T/4 T/4 T tby wkyby wky(d)信号为信号为fc(t)右移右移T/4，即，即fd(t)= fc(t-T/4)，根据时移特性可以得到根据时移特性可以得到fd(t)的的Fourier系数。系数。C0=0-T T/2 T/2 T tfd(t)A-Aby wkyby wky(d)奇对称，且半波镜像对称，奇对称，且半波镜像对称，Fourier级数级数展开式中只含有奇次谐波的正弦分量展开式中只含有奇次谐波的正弦分量-T T/2 T/2 T tfd(t)A-Aby wkyby wky习题习题4-3 求下列信号指数形式的求下列信号指数形式的Fourier级数系数。级数系数。(1) f (t) = sin 2 2w w0 0t f (t) = 1/(2j) (ej2 2w w0 0t e j2 2w w0 0t) C2= 1/ C-2= -1/ Cn = 0, n 2by wkyby wky(4) f (t) = sin 2 2t + cos 4t + sin 6t f (t) = 1/(2j) (ej2 2t e j2 2t) + 1/2 (ej4 4t e j4 4t) + 1/(2j) (ej6 6t e j6 6t)取取 w w0 0=2 f (t) = 1/(2j) (ejw w0 0t e jw w0 0t) + 1/2 (ej2 2w w0 0t e j2 2w w0 0t) + 1/(2j) (ej3 3w w0 0t e j3 3w w0 0t) C1 ，C-1C2 ， C3 ， C-3 Cn = 0, n 1, 2, 3by wkyby wky-9 9习题习题4-7 已知频谱已知频谱Cn，写出，写出f(t)表达式表达式w wCn3 341 12 2-6 6-3 30由图可知由图可知: w w0 0 = 3, C0=4, C13, C21 , C32by wkyby wkyby wkyby wky习题习题5-1 求非周期信号的频谱函数。求非周期信号的频谱函数。(a)fa(t)2-2 -1 0 1 2 t矩形脉冲的频谱矩形脉冲的频谱 F (jw w) = AtAt Sa(wt/ wt/ 2 2) F p1(t) = Sa(w/ w/ 2 2)时移特性时移特性 F f(t-t0) = F (jw w) e jw wt0 0by wkyby wky习题习题5-1 求非周期信号的频谱函数。求非周期信号的频谱函数。方法一：方法一：fa(t) = 2 p1(t -1.5) + 2 p1(t +1.5)Ffa(t)=2Sa(w/ w/ 2) e w w + +2Sa(w/ w/ 2) ew w=4Sa(w/ w/ 2 2w w)方法二：方法二：fa(t) = 2 p4(t) - - 2 p2(t)Ffa(t)=8Sa(2w w) - - 4Sa(w w)by wkyby wky习题习题5-1 求非周期信号的频谱函数。求非周期信号的频谱函数。(c)fc(t)2-2 -1 0 1 2 tfc(t) = 2 p1(t -0.5) + p1(t -1.5)Ffc(t)=2Sa(w/ w/ 2) e w w + + Sa(w/ w/ 2) ew wby wkyby wky习题习题5-5 利用利用F p1(t) = Sa(w/ w/ 2 2)以及以及Fourier变换的性质求变换的性质求f(t)的的Fourier变换变换(a)f1(t)10 1 2 t F f1(t) = 1/|0.5| F (jw/ w/ 0.5) e jw w = 2Sa(w w/0.5 /2 2) e jw w = 2Sa(w w) e jw w f1(t) = p1(0.5 (t-1)扩展扩展2倍，平移倍，平移1by wkyby wky习题习题5-5 利用利用F p1(t) = Sa(w/ w/ 2 2)以及以及Fourier变换的性质求变换的性质求f(t)的的Fourier变换变换(c)-1 0 1 tF f3(t) = Sa(w w/2) e w w - Sa(w w/2) e w w = Sa(w w/2) e w w - e w w = 2j Sa(w w/2) sin (w w)f3(t) = p1(t+)- p1(t- )f3(t)1-1by wkyby wky习题习题5-6 利用利用Ff(t) = F(jw w)以及以及Fourier变换的性质求变换的性质求Fourier变换变换(1) F f(t-5) = F (jw w) e j5w w (时移特性时移特性)(2) F f(5t) = 1/5 F (jw w/5) (展缩特性展缩特性) F f(-5t) = 1/5 F (-jw w/5)by wkyby wkyEx.6-1 Find the differential equation of an LTI system with the following frequency responseObtain the steady-state response y(t) of the system, if the input is f(t)=cos(3t)u(t)已知频率响应，求微分方程；已知频率响应，求微分方程；根据输入根据输入f(t)计算稳态响应计算稳态响应y(t) 。by wkyby wky微分方程为微分方程为y(t) + 6y(t) + 8y(t) = 4f (t)，t0输入输入f(t)=cos(3t)u(t)时的稳态响应为时的稳态响应为y(t) = ReH(j3).ej3t = |H(j3)|.cos(3t+(3)by wkyby wkyEx.6-3 Find the zero-state response y(t) of an LTI system with the following frequency responseif the input is f(t)=u(t)已知频率响应已知频率响应H(jw w)和输入和输入f(t)，计算零状态响，计算零状态响应应y(t) 。by wkyby wky解：输入信号解：输入信号u(t)的频谱为的频谱为 零状态响应零状态响应y(t)的频谱为的频谱为by wkyby wky利用利用函数的筛选特性，可得函数的筛选特性，可得by wkyby wkyEx.6-4 Find the Fourier Transform Y(jw w) of the output of an LTI system when the input is f(t)= e-4t u(t)(1) If the differential equation of the system is y(t) + 3y(t) = 2f (t)，t0(2) If the differential equation of the system is y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f (t)+5f (t)，t0已知动态方程和输入，求响应的频谱已知动态方程和输入，求响应的频谱Y(jw w) 。by wkyby wky(1) 对于微分方程对于微分方程y(t) + 3y(t) = 2f (t)，t0 频率响应为频率响应为 输入信号的频谱为输入信号的频谱为by wkyby wky所以所以响应的频谱响应的频谱为为如果求时域响应，如果求时域响应，y(t) = 2(e-3t -e-4t) u(t)by wkyby wky(2) 对于微分方程对于微分方程y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f (t)+5f (t)，t0 频率响应为频率响应为 输入信号的频谱为输入信号的频谱为by wkyby wky所以所以响应的频谱响应的频谱为为如果求时域响应，如果求时域响应，y(t) = (-1/2e-2t +4e-3t -7/2e-4t) u(t)