第五章第五章 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换本章主要内容本章主要内容离散非周期信号的傅立叶变换；离散周期信号的傅立叶变换；傅立叶变换的性质；系统的频率响应与频域分析；CTFT:连续时间傅立叶变换the continuous time Fourier transformsDTFT:离散时间傅立叶变换 the discrete time Fourier transformsCFS:连续时间傅立叶级数 the continuous Fourier seriesDFS:离散时间傅立叶级数the discrete Fourier series常见英语缩写常见英语缩写5.1 5.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 -离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 主要内容主要内容从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换常用离散时间信号的傅立叶变换常用离散时间信号的傅立叶变换离散时间傅立叶变换的收敛性离散时间傅立叶变换的收敛性一、从傅里叶级数到傅里叶变换一、从傅里叶级数到傅里叶变换 这里我们将采用与讨论连续时间傅里叶变换相同的思路，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。 从离散时间周期信号的傅里叶级数，分析得出离散时间傅里叶变换。 具体过程如下：周期信号非周期信号取出 中的一个周期作为 ，设该周期的非零项为离散周期信号的傅里叶级数：其中系数定义定义:离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换由上定义式将其代入 的表达式，得则参考P255图5.1注意：是一个周期性的函数。当当 时，时，当当 时，时，注意：积分区域为任意 间隔。离散时间傅里叶逆变换离散时间傅里叶逆变换综上，非周期序列的傅立叶变换对：离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换离散时间信号离散时间信号 的频谱的频谱 上述变换对表明，离散时间傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系，也就是，有限序列的傅里叶变换的等间隔样本，就是周期信号的傅里叶系数 。二、常用离散时间信号的傅立叶变换二、常用离散时间信号的傅立叶变换例例5.1求其傅里叶变换。解：解：由非周期序列的傅里叶变换公式：时时,低通特性低通特性,时时,高通特性高通特性,单调指数衰减单调指数衰减摆动指数衰减摆动指数衰减例例5.1 5.1 傅里叶变换的模和相位傅里叶变换的模和相位例例5.2求其傅里叶变换。解：解：由由实偶序列实偶序列 实偶函数实偶函数例例5.25.2中实偶离散信号和它的傅里叶变换中实偶离散信号和它的傅里叶变换实偶离散信号：对应的傅里叶变换例例5.3 矩形脉冲矩形脉冲:求其傅里叶变换。解：解：由由实偶序列实偶序列 实偶函数实偶函数 本例题的时域信号为实偶序列，对应的傅里叶变换也是实偶函数，从而再次验证了例5.2的结论：例例5.35.3中中N N1 12 2时的矩形脉冲序列及对应的傅里叶变换时的矩形脉冲序列及对应的傅里叶变换非周期矩形脉冲傅里叶变换的两点比较非周期矩形脉冲傅里叶变换的两点比较:1. 与对应的离散周期性矩形脉冲频谱系数相比较显然有显然有周期离散矩形脉冲的傅里叶级数系数：非周期离散矩形脉冲的傅里叶变换：连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换：2. 与对应的连续时间矩形脉冲比较离散时间矩形脉冲的傅里叶变换：三、离散时间傅立叶变换的收敛性三、离散时间傅立叶变换的收敛性这是一个无限项的求和，条件条件1： 条件条件2：例5.1，5.2是无限长序列其傅里叶变换存在。此时若上式成立，需要以下两个收敛条件：若上式成立，需要以下两个收敛条件：例例5.4 离散时间非周期信号 解：解：求傅里叶变换。 5.2 5.2 周期信号的离散时间傅里叶变换周期信号的离散时间傅里叶变换 连续周期信号的傅里叶变换的求解思路:先构造一个频域冲激，然后求出对应的时域信号。得到：对离散周期信号采用同样的思路。积分的求解参考P265图5.8的X（jw），在任意一个2pi宽度有一个非零的冲激。由于周期信号的傅里叶级数为：K取0N1时上式中的各项参考图P263 Fig5.9:如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有： 可以看出，周期序列的傅里叶变换，可以直接从它的傅里叶系数得到。其形式与周期性连续时间傅里叶变换的形式是基本一样的。周期连续时间信号的傅里周期连续时间信号的傅里叶变换叶变换周期离散时间信号的傅里周期离散时间信号的傅里叶变换叶变换对比如图所示如图所示:例例5.5解：，求傅里叶变换，求傅里叶变换 。 这里这里比较比较: :与连续时间情况下对应的一致与连续时间情况下对应的一致. .例例5.6解：解：，求均匀脉冲串傅里叶变换。，求均匀脉冲串傅里叶变换。 5.3 5.3 离散时间傅立叶变换的性质离散时间傅立叶变换的性质一一. 周期性周期性比较比较: :这是与连续时间傅里叶变换（这是与连续时间傅里叶变换（ CTFTCTFT ）不同）不同二二. 线性线性如果如果则则是以是以 为周期的。为周期的。三三. 时移与频移性时移与频移性四四. 时间反转时间反转:如果如果则有则有如果如果则则例：求例：求的傅里叶变换。的傅里叶变换。解：解：利用时移性质和线性性质利用时移性质和线性性质: :又又由线性性质由线性性质五五. 共轭对称性共轭对称性1.1. 若若 是实序列，则是实序列，则如果则有因此2.2. 若若是实偶信号是实偶信号, ,则则结论：结论： 是实偶函数，则是实偶函数，则 也是实偶信号。也是实偶信号。由共轭对称性知由于由时间反转性质结论：结论： 是虚奇函数。是虚奇函数。3. 若是实奇信号,则于是有:4.4.若将实信号用实偶部来表示，即说明说明: :这些结论与连续时间情况下完全一致。这些结论与连续时间情况下完全一致。六六. 时域差分与求和时域差分与求和如果则有时域差分时域差分时域求和时域求和例例: :求的傅里叶变换。解：解：由积分时域求和性质求解：七七. 时域与频域的尺度变换时域与频域的尺度变换n是k的整倍数，k为正整数其它n即信号的反转性质书书P268P268，图，图5.135.13则例：由尺度变换即八八. 频域微分特性频域微分特性如果则有九九. 帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理若则信号的能量为：非周期信号能量非周期信号能量周期信号功率周期信号功率5.4 5.4 时域卷积性质时域卷积性质若若卷积特性是频域分析卷积特性是频域分析LTILTI系统的理论基础。系统的理论基础。则则例例: :利用卷积性质，证明单位阶跃函数的傅里叶变换。证明：证明：已知累加器可表示为：则由卷积性质：5.5 5.5 时域相乘性质时域相乘性质调制特性调制特性调制特性在信息传输中是极其重要的。调制特性在信息传输中是极其重要的。周期卷积周期卷积若若则则例例: :由此可见，周期卷积可以转化成非周期卷积来求解。由此可见，周期卷积可以转化成非周期卷积来求解。见例题见例题5.155.15求求解解: : 5.7 5.7 对偶性对偶性主要内容主要内容1.离散时间傅里叶变换与离散时间离散时间傅里叶变换与离散时间傅立叶级傅立叶级 数的对偶性数的对偶性2. 离散时间傅里叶变换与连续时间傅里离散时间傅里叶变换与连续时间傅里 叶级数间的对偶叶级数间的对偶一、离散时间周期信号傅里叶变化与傅一、离散时间周期信号傅里叶变化与傅 里叶级数的对偶性里叶级数的对偶性对离散周期序列对离散周期序列系数系数 也是周期性序列，记为也是周期性序列，记为令令则上式可变为则上式可变为即即与离散信号的傅里叶与离散信号的傅里叶级数表示式相同级数表示式相同所以离散时间傅里叶级数有如下对偶关系：所以离散时间傅里叶级数有如下对偶关系：例例: :利用傅立叶系数的对偶性，可以从时移利用傅立叶系数的对偶性，可以从时移 频移，频移， 过程如下：过程如下：利用时移性质有利用时移性质有: :由对偶性有由对偶性有: :即是即是频移特性频移特性P157P157傅里叶级数的时傅里叶级数的时间反转性质间反转性质二、离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级二、离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级 数间的对偶数间的对偶是一个以是一个以 为周期的连为周期的连续函数续函数离散时间信号离散时间信号 的傅里叶变换对：的傅里叶变换对：连续信号的傅里叶级数表示式：连续信号的傅里叶级数表示式：据此可以构造如下周期性连续时间信号及其傅里叶系数：据此可以构造如下周期性连续时间信号及其傅里叶系数： 利用这一对偶关系利用这一对偶关系, ,可以将可以将DTFTDTFT的若干特性对偶到的若干特性对偶到CFSCFS中去。中去。DTFTDTFT与与CFSCFS的对偶的对偶 即可得到离散时间傅里叶变换和周期连续时间傅里叶级数之间，如下对偶关系： 例例: :从连续傅里叶级数的从连续傅里叶级数的时域微分时域微分到离散傅里叶变换的到离散傅里叶变换的频频域微分域微分。-CFS-CFS的时域微分特性的时域微分特性对偶性质：对偶性质：-DTFT-DTFT的频域微分特性的频域微分特性再由再由再由对偶性质：再由对偶性质：可以将对偶关系归纳图如下表可以将对偶关系归纳图如下表连续连续周期周期离散离散非周期非周期连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数CFSCFS离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数DFSDFS离散离散周期周期离散离散周期周期连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换CTFTCTFT连续连续非周期非周期连续连续非周期非周期离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换DTFTDTFT离散离散非周期非周期连续连续周期周期时域的离散性时域的离散性 频域的周期性频域的周期性 时域的连续性时域的连续性 频域的非周期性频域的非周期性非周期、连续非周期、连续 非周期、非周期、离散离散周期周期、 离散离散周期周期、 连续连续连续、非周期信号连续、非周期信号离散离散、非周期信号非周期信号连续、连续、周期周期信号信号时域的周期性时域的周期性 频域的离散性频域的离散性离散离散、周期周期信号信号时域的非周期性时域的非周期性 频域的连续性频域的连续性时域信号时域信号频域频谱频域频谱5.8 5.8 离散时间离散时间LTILTI系统的频域分析系统的频域分析一、一、LTILTI系统的频域分析系统的频域分析时域：时域：频域：频域：LTI二、由线性常系数差分方程表征的系统二、由线性常系数差分方程表征的系统对如下线性常系数差分方程：对如下线性常系数差分方程：两边傅里叶变换，有差分和线性性质得：两边傅里叶变换，有差分和线性性质得：例：例：对对LTILTI系统系统对求其单位冲激响应对求其单位冲激响应 。解解：由差分方程的频率响应的求解公式由差分方程的频率响应的求解公式 5.9 5.9 小结小结1.1.从离散时间傅里叶级数入手，推导出非周期离散时间的从离散时间傅里叶级数入手，推导出非周期离散时间的傅里叶变换，进而推导出周期性序列的傅里叶变换；傅里叶变换，进而推导出周期性序列的傅里叶变换；2.2.通过对通过对DTFTDTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性关系，特性关系， DTFTDTFT许多性质在许多性质在CTFTCTFT中都有相对应的结论中都有相对应的结论, ,它它们也存在一些差别（们也存在一些差别（DTFTDTFT总是以总是以22为周期的）；为周期的）；3.3.通过卷积特性的讨论通过卷积特性的讨论, ,对对LTILTI系统建立了频域分析的方法，系统建立了频域分析的方法，同样地同样地, ,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础；供了理论基础；4.4.对偶性的讨论，将连续时间信号对偶性的讨论，将连续时间信号 、离散时间信号、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具联系起周期信号与非周期信号频域描述的几种工具联系起来来, ,并为这种联系提供了重要的理论根据；并为这种联系提供了重要的理论根据；5.5.线性常系数差分方程描述的线性常系数差分方程描述的LTILTI系统，容易求出系统系统，容易求出系统的频率响应函数，实现系统的频域分析的频率响应函数，实现系统的频域分析, ,思路与连续思路与连续时间时间LTILTI系统的情况也完全类似。系统的情况也完全类似。3.3.通过卷积特性的讨论通过卷积特性的讨论, ,对对LTILTI系统建立了频域分析系统建立了频域分析的方法，同样地的方法，同样地, ,相乘特性的存在则为离散时间信相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础；号的传输技术提供了理论基础；本章作业本章作业第一节：第一节：5.1a 5.2b 5.4a 5.5 第二节：第二节：5.3b第三节：第三节：5.13第第37节：节：5.6第八节：第八节：5.19 5.20