三角形与全等三角形三角形与全等三角形 第二十讲1三角形的边、角关系三角形的任意两边之和_大于_第三边；三角形的内角和等于_180_2三角形的分类按角可分为_直角三角形_和_斜三角形_，按边可分为_不等边三角形_和_等腰三角形_3三角形的主要线段(1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等(2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心(3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心(4)中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线(5)垂直平分线：三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点 4全等三角形的性质和判定(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等(2)判定：_两边和夹角_对应相等的两个三角形全等(SAS)；_两角和夹边_对应相等的两个三角形全等(ASA)；_两角和其中一角的对边_对应相等的两个三角形全等(AAS)；_三边_对应相等的两个三角形全等(SSS)；_斜边和一条直角边_对应相等的两个直角三角形全等(HL) 温馨提示(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件1(2010河北)如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，B40，ACD120，则A等于(C) A60B70 C80 D90 2(2011河北)已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为(B)A2B3C5D13 3(2013河北)如图，M为铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成ABC，且B30，C100，如图.则下列说法正确的是(C) A点M在AB上B点M在BC的中点处C点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 4(2014河北)如图，ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若DE2，则BC(C)A2 B3 C4 D5 5(2012河北)如图，AB，CD相交于点O，ACCD于点C，若BOD38，则A等于_52_ 6(2009河北)如图，等边ABC的边长为1 cm，D，E分别是AB，AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在A处，且点A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为_3_cm. 7(2008河北)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_76_ 三角形的三边关系 【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|ab|cab. 【例1】(1)(2013宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(D)A1，2，6B2，2，4C1，2，3D2，3，4(2)(2013德阳)如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是(A)A5.5 B5 C4.5 D4 全等三角形判定的运用 【例2】(1)(2014深圳)如图，ABC和DEF中，ABDE，BDEF，添加下列哪一个条件无法证明ABCDEF(C)AACDF BADCACDF DACBF (2)(2013娄底)如图，ABAC，要使ABEACD，应添加的条件是_BC或AEAD_(添加一个条件即可) 【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 2(1)(2013绥化)如图，A，B，C三点在同一条直线上，AC90，ABCD，请添加一个适当的条件_AECB_，使得EABBCD.(2)(2014邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，ABCD，ABECDF，AFCE.从图中任找两组全等三角形；从中任选一组进行证明 (2)ABECDF，AFDCEB；ABCD，12，AFCE，AFEFCEEF，即AEFC， 运用全等三角形的性质 【例3】已知：如图，在ABC中，D是BC的中点，EDDF，求证：BECFEF. 【点评】利用中线加倍延长法，把BE，CF，EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证 3(2014重庆)如图，ABC中，BAC90，ABAC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E.在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC.(1)求证：BECF；(2)在AB上取一点M，使BM2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：MEBC；DEDN.