9.2 9.2 一元一次不等式一元一次不等式我们已经知道了什么是不等式以及不等式的性质，我们已经知道了什么是不等式以及不等式的性质，本节我们将学习一元一次不等式及其解法，本节我们将学习一元一次不等式及其解法，并用它解决一些实际问题。并用它解决一些实际问题。什么叫一元一次方程？什么叫一元一次方程？只含有一个未知数，未知数的次数是只含有一个未知数，未知数的次数是1 1的的方程叫做一元一次方程方程叫做一元一次方程. .问题问题1 1观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？这些不等式有哪些共同特点这些不等式有哪些共同特点? ? 共同特点共同特点: : 这些不等式的两边都是整式这些不等式的两边都是整式, ,只含一个未知数、只含一个未知数、并且未知数的并且未知数的( (最高最高) )指数是指数是1 .1 .1 引入概念引入概念只含有一个未知数，未知数的次数是只含有一个未知数，未知数的次数是1 1的的不等式叫做一元一次不等式不等式叫做一元一次不等式. .关键：关键：含有一个未知数；含有一个未知数；未知数的次数是未知数的次数是1 1；不等式的两边都是等式。不等式的两边都是等式。1.1.下列不等式是一元一次不等式吗？下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）x726； （2）3x2x+1； （3）-4x3； （4） 50； （5） 1.2.2.含有含有_个未知数，并且未知数的次数是个未知数，并且未知数的次数是_的的 不等式，叫做一元一次不等式。不等式，叫做一元一次不等式。3.23.2x x -3-3+428- x+428- x是一元一次不等式，则是一元一次不等式，则m=_.m=_.你会解下面的方程吗？你会解下面的方程吗？ 解一元一次方程的步骤：解一元一次方程的步骤： 去分母去分母 去括号去括号 . . 移项移项 . . 合并同类项合并同类项 . . 系数化为系数化为1 1利用不等式的性质采取与解一元一次方程类利用不等式的性质采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集。集。 例例1 解不等式解不等式,并在数轴上表示解集并在数轴上表示解集. (1) 2(1+x) a a或或x x a a或或x x a a ，一元一次方程的最简形式是，一元一次方程的最简形式是x x= =a a注意：注意：一元一次不等式两边都（或除以）同一一元一次不等式两边都（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。个负数时，不等号的方向改变。1.1.解不等式解不等式, ,并在数轴上表示解集并在数轴上表示解集. . （1） （2） （4） - 58m 移项，得移项，得 12m+8m5615合并同类项，得合并同类项，得 4m16系数化为系数化为1，得，得 m58m 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-40例例 解不等式，并在数轴上表示解集：解不等式，并在数轴上表示解集：的最大整数解是什么？的最大整数解是什么？的正整数解是什么？的正整数解是什么？的非负整数解又是什么呢？的非负整数解又是什么呢？ 这个不等式的解集在数轴上表示为：这个不等式的解集在数轴上表示为：不等式的解集为：不等式的解集为： my xy，求，求k k的取值范围。的取值范围。 5.5.若不等式的若不等式的-3-3x+n0x+n0的解集是的解集是x2,x2,则不等式则不等式 -3 -3x+n0x+na-2bxa-2b的解集是的解集是xx 求关于求关于x x的不等式的不等式ax+b0ax+b0的解集。的解集。7.7.在满足在满足x+2ax+2a3,x0,a03,x0,a0的条件下，的条件下，2 2x+ax+a能达能达到到 的最大值是多少？的最大值是多少？8.8.对非负实数对非负实数x x“四舍五入四舍五入”到个位的值记为到个位的值记为 ,x,即即 当当n n为非负整数时，若为非负整数时，若n- n- xn+ ,xn+ ,则则 =nx=n。 如如=0,=4.=0,=4. 问题：若问题：若 =4,x-1=4,求实数求实数x x的取值范围。的取值范围。走进生活走进生活 一次环保知识竞赛共有一次环保知识竞赛共有25道题道题,答对一道得答对一道得4分分,答答错或不答一道扣错或不答一道扣1分分.竞赛中竞赛中,小明被评为优秀小明被评为优秀(85或或85分以上分以上),小明至少答对几道小明至少答对几道? 分析：分析：不等关系是：答对得分答错或不答扣分不等关系是：答对得分答错或不答扣分85分分 解：解：设小明答对设小明答对x道题道题 由题意，得由题意，得 4x1(25x)85 去括号，得去括号，得 4x25+x 85 移项，得移项，得 4x+x 85+25 合并，得合并，得 5x 110系数化为系数化为1，得，得 x 22 答：小明至少答对答：小明至少答对22道题。道题。通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：1.1.一元一次不等式的概念；一元一次不等式的概念；2.2.一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，（1 1）去分母；（）去分母；（2 2）去括号；（）去括号；（3 3）移项；）移项；（4 4）合并同类项；）合并同类项；（5 5）化系数为）化系数为1 1（有时不等号的方向会改变哦！）（有时不等号的方向会改变哦！）有些实际问题中存在不等关系，有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的答案。从而通过解不等式得到实际问题的答案。空气污染深度调查空气污染深度调查穹顶之下穹顶之下不食人间烟火的不食人间烟火的“公知女神公知女神”2003.42003.4第一个第一个“零距离零距离”报道报道“非典非典”的记者的记者20132013年出版讲述央视年出版讲述央视十年历程的自传性十年历程的自传性作品作品看见看见例例2 2 去年某市空气质量良好（二级以上）的天数占全年去年某市空气质量良好（二级以上）的天数占全年天数（天数（365365）之比达）之比达60%60%，如果明年（，如果明年（365365天）这天）这样的比值要超过样的比值要超过70%70%，那么明年空气质量良好的，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？天数要比去年至少增加多少？解：设明年比去年空气质量良好的天数至少增加解：设明年比去年空气质量良好的天数至少增加x x 天。天。练习：练习：1.1.小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有 功率为功率为100100瓦的白炽灯和瓦的白炽灯和4040瓦的节能灯，它们的瓦的节能灯，它们的 单价分别为单价分别为2 2元和元和3232元。经了解知这两种等的照元。经了解知这两种等的照 明效果和使用寿命都一样。已知小王家所在地的明效果和使用寿命都一样。已知小王家所在地的 电价为每千瓦时电价为每千瓦时0.50.5元，请问当这两种灯的使用元，请问当这两种灯的使用 寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。( (用电量（千瓦时）用电量（千瓦时）= =功率（千瓦）功率（千瓦）时间（时）时间（时）) )2.2.导火线的燃烧速度为导火线的燃烧速度为0.7 0.7 cm/s,cm/s,爆破员点燃后跑爆破员点燃后跑 开的速度为开的速度为5 5m/sm/s，为了点火后跑到为了点火后跑到130130m m出的安全出的安全 地带，导火线至少应有多长？（精确到地带，导火线至少应有多长？（精确到1 1cmcm） 3.3.某县城电影院，为吸引暑假期间的学生观众，增某县城电影院，为吸引暑假期间的学生观众，增 加票房收入，决定在加票房收入，决定在6 6月份向县城内中、小学少月份向县城内中、小学少 年宫预售供七、八两月使用的年宫预售供七、八两月使用的“学生电影（优惠学生电影（优惠 ）兑换券）兑换券”。每张优惠券定价为。每张优惠券定价为1 1元，可随时兑元，可随时兑换当日某一场次电影票一张。如果七、八月间，换当日某一场次电影票一张。如果七、八月间，每天放映每天放映5 5场次，每场次电影票平均每张场次，每场次电影票平均每张3 3元，平元，平均每场次能卖出均每场次能卖出250250张。为了保证每场次的票房张。为了保证每场次的票房收入平均不低于收入平均不低于10001000元，至少应预售这两个月的元，至少应预售这两个月的“优惠券优惠券”多少张？多少张？例例3 3 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：各自推出不同的优惠方案：在甲商场购物超过在甲商场购物超过100100元后，超过元后，超过100100元的部分按元的部分按90%90%收费；在乙商场累计购物超过收费；在乙商场累计购物超过5050元后，超过元后，超过5050元的部分按元的部分按95%95%收费，顾客到哪家商场购物花收费，顾客到哪家商场购物花最少最少? ?分析：分析：我们需要分三种情况讨论：我们需要分三种情况讨论：累计购物不超过累计购物不超过5050元；元；累计购物超过累计购物超过5050元而不超过元而不超过100100元；元；累计购物超过累计购物超过100100元。元。(1)(1)当购物款不超过当购物款不超过5050元时，元时，, ,在两商场在两商场花费一样花费一样; ;(2)(2)当购物款超过当购物款超过5050元而不超过元而不超过100100元时元时, ,在在乙购物合算乙购物合算; ;去括号去括号,得得:移项移项,得得:合并合并,得得:系数化为系数化为1,得得:问题问题5.顾客怎样选择商场购物更合算？顾客怎样选择商场购物更合算？如果在甲合算如果在甲合算,则则如果在如果在乙乙合算合算,则则如果在两商场花费如果在两商场花费一样一样,则则=当累计购物超过当累计购物超过100100元时，设累计购物元时，设累计购物x(x100)x(x100)答答: :(1)(1)当购物款当购物款不超过不超过5050元元时时, ,在两商场花费在两商场花费一样一样; ;(2)(2)当购物款当购物款超过超过5050元而不超过元而不超过100100元元时时, ,在在乙购物合算乙购物合算; ;(3)(3)当购物款当购物款超过超过100100元而不足元而不足150150元时元时, ,在在乙购物合算乙购物合算; ;(4)(4)当购物款当购物款恰好为恰好为150150元元时时, , 在两商场在两商场花费一样花费一样; ;(5)(5)当购物款当购物款超过超过150150元元时时, , 在在甲甲购物购物合算合算. .用不等式建立数学模型解决实际问题的一般用不等式建立数学模型解决实际问题的一般步骤是怎样的步骤是怎样的? ?审审题题设设未知数未知数找找不等关系不等关系列列不等式不等式解解不等式不等式答答1.1.为了保护环境，某企业决定购买为了保护环境，某企业决定购买1010台污水处理台污水处理 设备，现有设备，现有A A、B B两种型号，其中每台价格和月两种型号，其中每台价格和月 处理污水能力及年消耗费用如下表：处理污水能力及年消耗费用如下表：A A型型B B型型价格（万元价格（万元/ /台）台）12121010污水处理量（吨污水处理量（吨/ /月）月）240240200200年消耗费用（万元年消耗费用（万元/ /台）台）1 11 1经预算，该企业购买设备资金不高于经预算，该企业购买设备资金不高于105105万元。万元。(1)(1)请你设计该企业有几种购买方案？请你设计该企业有几种购买方案？(2)(2)该企业每月生产污水量为该企业每月生产污水量为20402040吨，为节约资金吨，为节约资金 ，应选择哪种购买方式？，应选择哪种购买方式？2.2.为响应市政府为响应市政府“创建国家森林城市创建国家森林城市”的号召，某的号召，某 小区计划购进小区计划购进A A、B B两件树苗共两件树苗共1717棵，已知棵，已知A A种树种树 苗每棵苗每棵8080元，元，B B种树苗每棵种树苗每棵6060元。元。（1 1）若购进）若购进A A、B B两种树苗刚好用去两种树苗刚好用去12201220元，问购元，问购 进进A A、B B两种树苗各多少棵？两种树苗各多少棵？（2 2）若购买）若购买B B中树苗的数量小于中树苗的数量小于A A种树苗的数量，种树苗的数量， 请你给出一种费用最省的方案，并求出该方请你给出一种费用最省的方案，并求出该方 案所需费用。案所需费用。3.3.为进一步建设秀美、宜居的生态型环境，某村欲为进一步建设秀美、宜居的生态型环境，某村欲 购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、 丙三种树每棵的价格之比为丙三种树每棵的价格之比为2:22:2：3 3，甲种树每棵，甲种树每棵 200 200元。现计划用元。现计划用2100021000元购买这三种树共元购买这三种树共10001000棵棵（1 1）求乙、丙两种树每棵各多少元。）求乙、丙两种树每棵各多少元。（2 2）若购买甲种树的棵树是乙种树的）若购买甲种树的棵树是乙种树的2 2倍，且恰好倍，且恰好 用完计划资金，则这三种树能购买多少棵？用完计划资金，则这三种树能购买多少棵？（3 3）若又增加了）若又增加了1012010120元的购树款，在购买总棵树元的购树款，在购买总棵树 不变的前提下，求两种树最多可以购买多少不变的前提下，求两种树最多可以购买多少 棵？棵？4.4.学校计划购买学校计划购买4040支钢笔，若干本笔记本（笔记本支钢笔，若干本笔记本（笔记本 数超过钢笔数）。甲乙两家文具店的标价都是钢数超过钢笔数）。甲乙两家文具店的标价都是钢 笔笔1010元元/ /支，笔记本支，笔记本2 2元元/ /本，甲店的优惠方式是本，甲店的优惠方式是 钢笔打钢笔打9 9折，笔记本打折，笔记本打8 8折；乙店的优惠方式是每折；乙店的优惠方式是每 买买5 5支钢笔送支钢笔送1 1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔本笔记本，钢笔不打折，购买的笔 记本打记本打7.57.5折。试问走麦笔记本数在上面范围内折。试问走麦笔记本数在上面范围内 到甲店更合算？到甲店更合算？5.5.商场出售的商场出售的A A型冰箱每台零售价型冰箱每台零售价21902190元，每日耗元，每日耗 电量电量1 1千瓦时，而千瓦时，而B B型节能冰箱每台售价虽比型节能冰箱每台售价虽比A A型型 冰箱高于冰箱高于10%10%，但每日耗电量却为，但每日耗电量却为0.550.55千瓦时。千瓦时。 现将现将A A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价 的的10%10%），问商场至少打几折消费者购买才合算？），问商场至少打几折消费者购买才合算？6.6.旅游者游览某河流风景区，先乘坐摩托艇顺流而旅游者游览某河流风景区，先乘坐摩托艇顺流而 下，然后逆流返回，已知水流速度为每小时下，然后逆流返回，已知水流速度为每小时3 3千米千米 摩托艇在静水中的速度是每小时摩托艇在静水中的速度是每小时1818千米，为了使千米，为了使 浏览时间不超过浏览时间不超过4 4小时，旅游者最远可走出多少千小时，旅游者最远可走出多少千 米？米？7.7.如图在边长为如图在边长为100100米的等边三角形跑道上，有甲、米的等边三角形跑道上，有甲、 乙两人分别从乙两人分别从A A、C C两个顶点同时出发，按逆时针两个顶点同时出发，按逆时针 方向跑步，甲的速度为方向跑步，甲的速度为4 4米米/ /秒，乙的速度为秒，乙的速度为3 3米米/ / 秒，问出发多长时间后，甲、乙二人第一次位于秒，问出发多长时间后，甲、乙二人第一次位于 同一条边上？同一条边上？4 4米米/ /秒秒 A A 甲甲 C 100C 100米米 B B 乙乙3 3米米/ /秒秒