人口增长模型人口增长模型认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提，试建立人口增长模型，并根据表一 对模型作检验，最好预报2010年美国人口数量。一、问题背景一、问题背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长(1) 条件假设人口群体的规模相当大，以至于人口随时间的增减的变化过程可以认为是连续，并且是充分光滑的。假设该地区内的人口是封闭的群体，即不存在迁入和迁出。只考虑生育和死亡对人口的影响。(2) 符合假设r人口增长率（单位时间人口的增长量与当时人口之比）t时间x(t)t时刻人口数量二、模型假设二、模型假设考虑时间由tt+t，时间段内人口的数量变化量： x=x(t+t)-x(t) (1)另一方面，从增长率看 x=x(t)rt (2)由（1），（2）相等三、模型构建三、模型构建令令t0，两边取极限模型模型模型模型四、模型求解四、模型求解求解过程略随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )五、模型检验五、模型检验利用最小二乘法获参数r,x0估计人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数六、模型改进六、模型改进dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0xm/2参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r , xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计r=0.2557, xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4 (百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数r=0.2490, xm=434.0x(2010)=306.0