2.2.3 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义1问题提出问题提出1.1.如何求作两个非零向量的和向量、差如何求作两个非零向量的和向量、差向量？向量？2.2.相同的几个数相加可以转化为数乘运相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如算，如3 33 33 33 33=53=15.3=53=15.那么相那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究运算呢？这需要从理论上进行探究. . abaabba+ba- - b2探究一：向量的数乘运算及其几何意义探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考思考1 1：已知非零向量已知非零向量a，如何求作向，如何求作向量量aaa和（和（a）（）（a） （a）？）？aaO OaaA AB BC CaaaO OM MN NP Paaa （a）（a）（a）3思考思考2 2：向量向量aaa和（和（a）（a）（）（a）分别如何简化其表示）分别如何简化其表示形式？形式？ aaa记为记为3a，（a）（a）（a）记为记为3a.思考思考3 3：向量向量3 3a和和3 3a与向量与向量a的大小和的大小和方向有什么关系？方向有什么关系？aaO OaaA AB BC CaaaO OM MN NP P4思考思考4 4：设设a为非零向量，那么为非零向量，那么 a和和 a还是向量吗？它们分别与向量还是向量吗？它们分别与向量a有什么有什么关系？关系？aaa5思考思考5 5： 一般地，我们规定：实数一般地，我们规定：实数与向与向量量a的积是一个向量，这种运算叫做的积是一个向量，这种运算叫做向量向量的数乘的数乘. .记作记作a，该向量的长度与方向，该向量的长度与方向与向量与向量a有什么关系？有什么关系？（1 1）|a|=|=|a| |；（2 2）0 0时时,a与与a方向相同；方向相同； 0 0时时,a与与a方向相反；方向相反； =0 =0时时,a =0.=0.6思考思考6 6：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？ABCDM7探究二探究二: :向量的数乘运算性质向量的数乘运算性质 思考思考1 1：你认为你认为22（5 5a），），2 2a2 2b， a可分别转化为什么运算？可分别转化为什么运算？-2-2 (5(5a)= -10)= -10a ；2 2a 2 2b = b = 2(2(a+ +b) )； (3(3 ) )a =3 =3a a. .8思考思考2 2：一般地，设一般地，设，为实数，则为实数，则(a) )，() a，(ab) )分别分别等于什么？等于什么？(a)=()=() a ；() a = =a a； (a b)=)=ab. .9思考思考3 3：对于向量对于向量a（a00）和）和b，若存，若存在实数在实数，使，使b=a，则向量，则向量a与与b的方的方向有什么关系？向有什么关系？思考思考4 4：若向量若向量a（a00）与）与b共线，则共线，则一定存在实数一定存在实数，使，使b=a成立吗？成立吗？思考思考5 5：综上可得向量共线定理：综上可得向量共线定理：向量向量a（a00）与）与b共线，当且仅当有唯一一共线，当且仅当有唯一一个实数个实数，使，使b=a. . 若若a0 0，上述定理，上述定理成立吗？成立吗？10思考思考6 6：若存在实数若存在实数，使，使 ，则则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？思考思考7 7：如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、 的关系如何？的关系如何？A AB BP PO O11思考思考8 8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算，对于任意向量，对于任意向量a、b，以及任意实数以及任意实数、x x、y y，(x(xayyb）可）可转化为什么运算？转化为什么运算？ (x(xayyb b）=x=xayyb b. . 12理论迁移理论迁移 例例1 1 计算计算（1 1）（）（3 3）44a； （2 2）3 3（ab b）2 2（ab b）a；（3 3）（）（2 2a3 3b bc）（）（3 3a2 2b bc c）. .132b3babO O例例2 2 如图，已知任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量a， b b，试作试作 = =ab b， = =a2 2b b， = =a3 3b b. .你能判断你能判断A A、B B、C C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abA AB BC C14例例3 3 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD的两条对的两条对角线相交于点角线相交于点M M，且，且 = =a， = =b b，试用试用a, ,b b表示向量表示向量 、 、 、 M MA B A B D CD Cab15小结作业小结作业1.1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减但实数与向量不能相加、相减. .实数除实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量是数乘向量. .2.2.若若a=0=0，则可能有，则可能有=0=0，也可能有，也可能有a=0.=0.3.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论可以证明的结论. .向量共线定理是平面向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据数量关系的理论依据. .16作业：作业：P90P90练习：练习：3 3，4 4，5 5，6.6.17个人观点供参考，欢迎讨论