带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在有界磁场中的运动一、带电粒子在直边界磁场中的运动一、带电粒子在直边界磁场中的运动u 带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动Bm,qm,qv由洛伦兹力提供向心力由洛伦兹力提供向心力由洛伦兹力提供向心力由洛伦兹力提供向心力rmv2qvB qvB = =轨道半径：轨道半径：轨道半径：轨道半径：qBmvr =运动周期：运动周期：运动周期：运动周期：vT =2 rqB2 m= =对于确定磁场，有对于确定磁场，有T m/q，仅由粒子种类，仅由粒子种类决定，与决定，与R和和v无关。无关。角速度：角速度：角速度：角速度：频率：频率：频率：频率：动能：动能：动能：动能：u 解决带电粒子在匀强磁场中运动的解决带电粒子在匀强磁场中运动的解决带电粒子在匀强磁场中运动的解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本环节基本环节基本环节基本环节n 找圆心：找圆心：找圆心：找圆心：l已知已知两个速度方向两个速度方向：可找到两条：可找到两条半径，其交点是圆心。半径，其交点是圆心。l已知已知入射方向入射方向和和出射点出射点的位置：的位置：通过入射点作入射方向的垂线，通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作中垂线，连接入射点和出射点，作中垂线，交点是圆心。交点是圆心。vvOvOn 定半径：定半径：定半径：定半径：l 几何法求半径几何法求半径几何法求半径几何法求半径l 公式求半径公式求半径公式求半径公式求半径n 算时间：算时间：算时间：算时间：qBqBT Tt =t =q q q q mm q q q q= = = =2 2 = 2= 2 注意：注意： 应以弧度表示应以弧度表示u 解决带电粒子在匀强磁场中偏转的解决带电粒子在匀强磁场中偏转的解决带电粒子在匀强磁场中偏转的解决带电粒子在匀强磁场中偏转的基本思路基本思路基本思路基本思路BLv(1)先画好辅助线（半径、速度及延长线）。先画好辅助线（半径、速度及延长线）。 yR RO(2)偏转角由偏转角由 sin = L/R求出。求出。(3)侧移由侧移由 R2=L2 (Ry)2 解出。解出。(4)经历时间由经历时间由 得出。得出。注意：注意：注意：注意：这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点。交点不再是宽度线段的中点。 这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！ 当带电粒子从同一边界入射当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同出射时速度与边界夹角相同对称性对称性u 带电粒子在带电粒子在直边界直边界磁场中的运动磁场中的运动Oyx Bv60例、例、如图，在第如图，在第I象限范围内有垂直象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁平面的匀强磁场场B。质量为。质量为m、电量大小为、电量大小为q的的带电粒子带电粒子带电粒子带电粒子( (不计重力不计重力) )，在在xOy平面里经原点平面里经原点O射入磁场中，初速度为射入磁场中，初速度为v0，且与且与x轴成轴成60角，试分析计算：穿越磁场时运动方向角，试分析计算：穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？带电粒子在磁场中运动时间多发生的偏转角多大？带电粒子在磁场中运动时间多长？长？如粒子带正电，则：如粒子带正电，则：如粒子带正电，则：如粒子带正电，则：如粒子带负电，则：如粒子带负电，则：如粒子带负电，则：如粒子带负电，则：带电粒子带电粒子带电粒子带电粒子60120例例例例如图，在足够大的屏如图，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为的上方有磁感应强度为B的匀的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，为屏上一小孔，PC与与MN垂直。一束质量为垂直。一束质量为m、电荷量为、电荷量为q的粒子（不计的粒子（不计重力）以相同的速率重力）以相同的速率v从从P处射入磁场区域，粒子入射方处射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且散开在与向在与磁场垂直的平面里，且散开在与PC夹角为夹角为的范的范围内，则在屏围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为（上被粒子打中区域的长度为（ ）qB2mvA.qB2mvcosB.qB2mv(1-sin)C.qB2mv(1-cos)D.MMN NC C P P D y y x x O Ov v v v a aB60练、练、 一个质量为一个质量为m电荷量为电荷量为q的带电粒子（不计重力）的带电粒子（不计重力）从从x轴上的轴上的P(a，0)点以速度点以速度v，沿与，沿与x正方向成正方向成60的的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出和射出点的坐标。点的坐标。BqBqmvmva ar r3 32 2= = = = = = =aqaqmvmvB B2 23 3= = = =得得得得射出点坐标为（射出点坐标为（0， ） a a3 3O O 解析解析解析解析 ：例、例、如图，长为如图，长为如图，长为如图，长为L L的水平不带电极板间有垂直纸面向内的水平不带电极板间有垂直纸面向内的水平不带电极板间有垂直纸面向内的水平不带电极板间有垂直纸面向内的匀强磁场的匀强磁场的匀强磁场的匀强磁场B B，板间距离也为，板间距离也为，板间距离也为，板间距离也为L L，现有质量为，现有质量为，现有质量为，现有质量为mm，电量，电量，电量，电量为为为为q q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁场以速度处垂直磁场以速度处垂直磁场以速度处垂直磁场以速度v v平行极板射入磁场，欲使粒子不平行极板射入磁场，欲使粒子不平行极板射入磁场，欲使粒子不平行极板射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则粒子入射速度打在极板上，则粒子入射速度打在极板上，则粒子入射速度打在极板上，则粒子入射速度v v应满足什么条件？应满足什么条件？应满足什么条件？应满足什么条件？+q , m+q , mv vL LB BL L例、例、例、例、如图，若电子的电量如图，若电子的电量e，质量，质量m，磁感应强度，磁感应强度B及宽度及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0应满应满足什么条件？足什么条件？deBv0de Bv0r+rcos60 = dde Bv0变化变化变化变化1 1：若若v0向上与边界成向上与边界成60角，则角，则v0应满足什么条件？应满足什么条件？变化变化变化变化2 2：若若v0向下与边界成向下与边界成60角，则角，则v0应满足什么条件？应满足什么条件？rrcos60 = d练、练、练、练、如图，在如图，在如图，在如图，在POQPOQ区域内分布有磁感应强度为区域内分布有磁感应强度为区域内分布有磁感应强度为区域内分布有磁感应强度为B B的匀强的匀强的匀强的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流( (不不不不计重力计重力计重力计重力) )，沿纸面垂直于磁场边界，沿纸面垂直于磁场边界，沿纸面垂直于磁场边界，沿纸面垂直于磁场边界OQOQ方向从方向从方向从方向从A A点垂直边点垂直边点垂直边点垂直边界射入磁场，已知界射入磁场，已知界射入磁场，已知界射入磁场，已知OAOA= =d d，POQPOQ=45=45 ，离子的质量为，离子的质量为，离子的质量为，离子的质量为mm、带电荷量为、带电荷量为、带电荷量为、带电荷量为q q、要使离子不从、要使离子不从、要使离子不从、要使离子不从OPOP边射出，离子进入边射出，离子进入边射出，离子进入边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？磁场的速度最大不能超过多少？磁场的速度最大不能超过多少？磁场的速度最大不能超过多少？ POQAv0BAQBPvB代入数据得：代入数据得：3= (2= (2 ) )d dQMQM = rm- -r rmm2 2d d 2 2PH PH = 2d，QNQN = d，例、例、如图，如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为为水平放置的足够长的平行板，板间距离为 d =1.0102m，A板上有一电子源板上有一电子源P，Q点在点在P点正上方点正上方B板板上，在纸面内从上，在纸面内从P点向点向Q点发射速度在点发射速度在03.2107m/s范围内范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.1103T，已知电子质量，已知电子质量 m=9.11031kg ，电子电量，电子电量 q=1.61019C ，不计电子重力和电子间的相互作用力，不计电子重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。两板上的范围。解析解析解析解析 ：rmr rmmMMN NHH电子打在电子打在A A板上的范围是板上的范围是PH段。段。电子打在电子打在电子打在电子打在B B板上的范围是板上的范围是板上的范围是板上的范围是MNMN段。段。段。段。因因 qvB=mv2/rm得：得： rm=2dq qaOdbcBv v0 0R1例、例、如图，一端无限伸长的矩形区域如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应内存在着磁感应强度大小为强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad中中点点O射入一速率射入一速率v0、方向与、方向与Od夹角夹角=30的正电粒子，粒的正电粒子，粒子质量为子质量为m，重力不计，带电量为，重力不计，带电量为q，已知，已知ad=L。 （1）要）要使粒子能从使粒子能从ab边射出磁场，求边射出磁场，求v0的取值范围的取值范围。 （2）取不同）取不同v0值，求值，求粒子在磁场中运动时间粒子在磁场中运动时间t 的范围？的范围？ （3）从）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。的范围。R R1 1+ +R R1 1sin30sin30= = L L/2/2解：（解：（解：（解：（1 1）得得R1 = L/3 R2R2 R2cos60= L/2得：得：R2 = L。（1 1） v v0 0 例、例、如图，一端无限伸长的矩形区域如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应内存在着磁感应强度大小为强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad中中点点O射入一速率射入一速率v0、方向与、方向与Od夹角夹角=30的正电粒子，粒的正电粒子，粒子质量为子质量为m，重力不计，带电量为，重力不计，带电量为q，已知，已知ad=L。 （1）要）要使粒子能从使粒子能从ab边射出磁场，求边射出磁场，求v0的取值范围的取值范围。 （2）取不同）取不同v0值，求值，求粒子在磁场中运动时间粒子在磁场中运动时间t 的范围？的范围？ （3）从）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。的范围。解：（解：（解：（解：（2 2）q qaOdbcBv v0 0R1R2解：（解：（解：（解：（3 3） t 5 m6Bq4 m3Bq t m3Bq5 m3Bq例、例、例、例、如图，磁感应强度为如图，磁感应强度为如图，磁感应强度为如图，磁感应强度为B B的匀强磁场垂直于的匀强磁场垂直于的匀强磁场垂直于的匀强磁场垂直于 纸面向里，纸面向里，纸面向里，纸面向里，PQPQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点为该磁场的右边界线，磁场中有一点为该磁场的右边界线，磁场中有一点为该磁场的右边界线，磁场中有一点O O到到到到PQPQ的距离为的距离为的距离为的距离为r r。现从点现从点现从点现从点O O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为同的方向射出，它们均做半径为同的方向射出，它们均做半径为同的方向射出，它们均做半径为r r的匀速圆周运动，求带的匀速圆周运动，求带的匀速圆周运动，求带的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界电粒子打在边界电粒子打在边界电粒子打在边界PQPQ上的范围上的范围上的范围上的范围（粒子的重力不计）。粒子的重力不计）。粒子的重力不计）。粒子的重力不计）。分析分析分析分析：从从从从O O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径的半径的半径的半径r r相同，相同，相同，相同，O O为这些轨迹圆周的公共点。为这些轨迹圆周的公共点。为这些轨迹圆周的公共点。为这些轨迹圆周的公共点。O2 2r rP PQ QPQOrO2rrQPMN练、练、练、练、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B B=0.6T=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板abab，在距，在距，在距，在距abab距离距离距离距离为为为为l l=16cm=16cm处，有一点状的放射源处，有一点状的放射源处，有一点状的放射源处，有一点状的放射源S S向各个方向发射向各个方向发射向各个方向发射向各个方向发射 粒子，粒子，粒子，粒子，粒子的速度都是粒子的速度都是粒子的速度都是粒子的速度都是v v=3.010=3.0106 6 m/s m/s，已知，已知，已知，已知 粒子的电荷与粒子的电荷与粒子的电荷与粒子的电荷与质量之比质量之比质量之比质量之比q/mq/m= 5.010= 5.0107 7 C/kg C/kg ，现只考虑在图纸平面中运，现只考虑在图纸平面中运，现只考虑在图纸平面中运，现只考虑在图纸平面中运动的动的动的动的 粒子，求粒子，求粒子，求粒子，求abab上被上被上被上被 粒子打中的区域的长度。粒子打中的区域的长度。粒子打中的区域的长度。粒子打中的区域的长度。 baS l B即：即：2R l R。P P1 1N NP P2 2P1P2=20cm 解：解： 粒子带正电，沿逆时针方向做粒子带正电，沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径匀速圆周运动，轨道半径R为为2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.MMN NB BO OA例、例、例、例、如图，水平放置的平板如图，水平放置的平板如图，水平放置的平板如图，水平放置的平板MNMN上方有方向垂直于纸面向上方有方向垂直于纸面向上方有方向垂直于纸面向上方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为里的匀强磁场，磁感应强度为里的匀强磁场，磁感应强度为里的匀强磁场，磁感应强度为B B，许多质量为，许多质量为，许多质量为，许多质量为mm，带电量，带电量，带电量，带电量为为为为+ +q q的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率 v v 沿位于纸面内的各个方向，沿位于纸面内的各个方向，沿位于纸面内的各个方向，沿位于纸面内的各个方向，由小孔由小孔由小孔由小孔O O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中其中其中其中R=mv/qBR=mv/qB，哪个图是正确的？（，哪个图是正确的？（，哪个图是正确的？（，哪个图是正确的？（ ）以速率以速率以速率以速率 v v 沿纸面各个方向由小孔沿纸面各个方向由小孔沿纸面各个方向由小孔沿纸面各个方向由小孔O O射入磁场射入磁场射入磁场射入磁场2 2R RR R2 2R RO O2 2R RR R2 2R RO O2 2R R2 2R R2 2R RO OR R2 2R R2 2R RO OD.A.B.C.dmm-q-qA A 一条船在静水中的速度为一条船在静水中的速度为一条船在静水中的速度为一条船在静水中的速度为v v，河水的流，河水的流，河水的流，河水的流速为速为速为速为V V，河宽为，河宽为，河宽为，河宽为d d。问船头方向与河岸的夹角为。问船头方向与河岸的夹角为。问船头方向与河岸的夹角为。问船头方向与河岸的夹角为多少时，多少时，多少时，多少时，过河的时间最短过河的时间最短过河的时间最短过河的时间最短？dA题题2v vx xv vy y 河宽一定，欲使过河时间最短，须使河宽一定，欲使过河时间最短，须使河宽一定，欲使过河时间最短，须使河宽一定，欲使过河时间最短，须使v vx x有最大值。当有最大值。当有最大值。当有最大值。当v vx x=v=v时，有过河的最短时间：时，有过河的最短时间：时，有过河的最短时间：时，有过河的最短时间：v vd dt t = = = =v v 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面的平面的平面的平面内的内的内的内的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速、速、速、速度为度为度为度为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时间最短间最短间最短间最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bq mv/Bq d d）题题1dmm-q-qA Av vO O R Rd d带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短mvmvdBqdBqR Rd d= =sinsin = =BqBqmvmvdBqdBqmm arcsinarcsin= =v vmvmvdBqdBqR R arcsinarcsin= =v/Rv/R= = t t = = 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面的平面的平面的平面内的内的内的内的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速、速、速、速度为度为度为度为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时间最短间最短间最短间最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bq mv/Bq d d）题题1 模型识别错误模型识别错误模型识别错误模型识别错误 ！dmm-q-qA Av vO O R Rd du 对象模型：对象模型：质点质点质点质点u 过程模型：过程模型：匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动u 规律：规律：牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律 + + + + 圆周运动公式圆周运动公式圆周运动公式圆周运动公式u 条件：条件：要求时间最短要求时间最短要求时间最短要求时间最短 = = = = = = =v vs st t 速度速度速度速度 v v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s s 有最有最有最有最小值，则要求小值，则要求小值，则要求小值，则要求弦最短弦最短弦最短弦最短。 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面的平面的平面的平面内的内的内的内的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速、速、速、速度为度为度为度为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时间最短间最短间最短间最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bq mv/Bq d d）题题1dmm-q-qA Av v O O中垂线中垂线中垂线中垂线 与边界的夹角为（与边界的夹角为（与边界的夹角为（与边界的夹角为（9090 ）BqmvdBqm2arcsinRvt= = = =2 2q q 2 2q qmvdBqRd22/sin= = =q q 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面的平面的平面的平面内的内的内的内的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速、速、速、速度为度为度为度为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时间最短间最短间最短间最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bq mv/Bq d d）题题1l 启示：要正确识别物理模型启示：要正确识别物理模型启示：要正确识别物理模型启示：要正确识别物理模型B BvO边边边边界界界界圆圆圆圆 带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及粒子粒子轨迹圆轨迹圆与磁场与磁场边界圆边界圆的两圆相交问题。的两圆相交问题。l 带电粒子在带电粒子在圆形圆形磁场中的运动磁场中的运动u 两种基本情形：两种基本情形：两种基本情形：两种基本情形：轨轨轨轨迹迹迹迹圆圆圆圆O O + + = = 两圆心连线两圆心连线OO与点与点C共线。共线。B BO边边边边界界界界圆圆圆圆轨迹圆轨迹圆轨迹圆轨迹圆B BC CA AO O O O1 1R2例、例、例、例、如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁射入磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成角。设电子质量为角。设电子质量为m，电荷量为，电荷量为e，不计电子之间的相互，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：作用力及所受的重力。求： （1）电子在磁场中运动轨迹的半径）电子在磁场中运动轨迹的半径R； （2）电子在磁场中运动的时间）电子在磁场中运动的时间t； （3）圆形磁场区域的半径）圆形磁场区域的半径r。vBOrv 解：解：（1）（2）由几何关系得：圆心角：由几何关系得：圆心角： = = = = （3）由如图所示几何关系可知，由如图所示几何关系可知，所以：所以：例、例、例、例、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm的的圆形筒内有圆形筒内有B= 1104 T 的匀强磁场，方向平行于轴线。的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一束比。现有一束比荷为荷为q/m=2 1011 C/kg的正离子，以不同角度的正离子，以不同角度入射，其入射，其中入射角中入射角 =30，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度子的速度v大小是大小是 （ ） A4105 m/s B 2105 m/s C 4106 m/s D 2106 m/s解：解：r rmvmv2 2qvBqvB= = aObOrr 作入射速度的垂线与作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于的垂直平分线交于O点，点， O点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁场中的轨迹如图示：场中的轨迹如图示：a Ob=2 =60， r=2R=0.2mC例、例、一磁场方向垂直于一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以平面，分布在以O为中心的圆形为中心的圆形区域内。质量为区域内。质量为m、电荷量为电荷量为q的带电粒子，由原点的带电粒子，由原点O开开始运动，初速为始运动，初速为v，方向沿方向沿x正方向。粒子经过正方向。粒子经过y轴上的轴上的P点，此时速度方向与点，此时速度方向与y轴的夹角为轴的夹角为30，P到到O的距离为的距离为L。不计重力。求磁感强度不计重力。求磁感强度B磁场区域的半径磁场区域的半径R。基本思路：基本思路：基本思路：基本思路：By yx xv vO OP PL Lv v3030R Rr r解析：解析：解析：解析：2 2）找出有关半径的几何关系：）找出有关半径的几何关系：）找出有关半径的几何关系：）找出有关半径的几何关系：1 1）作出运动轨迹；作出运动轨迹；作出运动轨迹；作出运动轨迹；L=3r3 3）结合半径、周期公式解。）结合半径、周期公式解。）结合半径、周期公式解。）结合半径、周期公式解。evB = =R Rmvmv2 2qLqLmvmvB B3 3= = = =L LR R3 33 3= = = =UOMP电子束电子束例、例、电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为现的。电子束经过电压为现的。电子束经过电压为现的。电子束经过电压为U U的加速电场后，进入一个圆形的加速电场后，进入一个圆形的加速电场后，进入一个圆形的加速电场后，进入一个圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为的中心为的中心为的中心为O O，半径为，半径为，半径为，半径为r r。当不加磁场时，电子束将通过。当不加磁场时，电子束将通过。当不加磁场时，电子束将通过。当不加磁场时，电子束将通过O O点而打到屏幕的中心点而打到屏幕的中心点而打到屏幕的中心点而打到屏幕的中心MM点。为了让电子束射到屏幕边缘点。为了让电子束射到屏幕边缘点。为了让电子束射到屏幕边缘点。为了让电子束射到屏幕边缘P P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度 ，此时磁场的，此时磁场的，此时磁场的，此时磁场的磁感应强度磁感应强度磁感应强度磁感应强度B B应为多少？应为多少？应为多少？应为多少？又有：又有：由以上各式解得：由以上各式解得：eU eU = =2 21 1mvmv2 2evB = =R Rmvmv2 2R Rr r= = = =2 2q q q qtan2 21 1tantanq q q qe e2 2mUmUr rB B = =R R解析：解析：解析：解析：UOMP电子束电子束r r例例例例、生产显像管阴极时，需要用到去离子水。显像管的工生产显像管阴极时，需要用到去离子水。显像管的工作原理是阴极作原理是阴极K发射的电子束经高压加速电场发射的电子束经高压加速电场(电压电压U)加加速后，垂直正对圆心进入半径为速后，垂直正对圆心进入半径为r的圆形匀强磁场的圆形匀强磁场B ，如，如图。偏转后轰击荧光屏图。偏转后轰击荧光屏P，荧光粉受激发而发光，在极短，荧光粉受激发而发光，在极短时间内完成一幅扫描。若去离子水质量不好，所生产的时间内完成一幅扫描。若去离子水质量不好，所生产的阴极材料中含有少量阴极材料中含有少量SO42，SO42打在荧光屏上，将在打在荧光屏上，将在屏上出现暗斑，称为离子斑，如发生上述情况，试分析屏上出现暗斑，称为离子斑，如发生上述情况，试分析说明暗斑集中在荧光屏中央的原因。说明暗斑集中在荧光屏中央的原因。(电子质量为电子质量为9.11031kg，硫酸根离子，硫酸根离子SO42 质量为质量为1.61025kg)解析：解析：解析：解析：电子或电子或电子或电子或SOSO4 42-2-在电场中加速，有：在电场中加速，有：在电场中加速，有：在电场中加速，有： eU eU = =2 21 1mvmv2 2在磁场中偏转有：在磁场中偏转有：在磁场中偏转有：在磁场中偏转有：evB = =R Rmvmv2 2(1)(1)式与式与式与式与(2)(2)式得式得式得式得设偏转角为设偏转角为设偏转角为设偏转角为 ，则：，则：，则：，则：R Rr r= = = =2 2q q q qtanmUmUq q= Br2 2所以：所以：所以：所以：UOMP电子束电子束r r SO SO4 42-2-的荷质比远小于电子的荷质比，所以相比电子而的荷质比远小于电子的荷质比，所以相比电子而的荷质比远小于电子的荷质比，所以相比电子而的荷质比远小于电子的荷质比，所以相比电子而言，高速言，高速言，高速言，高速SOSO4 42-2-经过磁场几乎不发生偏转，而是集中打在荧经过磁场几乎不发生偏转，而是集中打在荧经过磁场几乎不发生偏转，而是集中打在荧经过磁场几乎不发生偏转，而是集中打在荧光屏的中央，形成暗斑。光屏的中央，形成暗斑。光屏的中央，形成暗斑。光屏的中央，形成暗斑。变式：变式：变式：变式：如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为mm，带电量，带电量，带电量，带电量为为为为q q，从，从，从，从MM板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从N N板的小板的小板的小板的小孔孔孔孔a a水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为R R的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，磁感应强度为磁感应强度为磁感应强度为磁感应强度为B B，入射速度方向与，入射速度方向与，入射速度方向与，入射速度方向与OPOP成成成成4545角，要使质角，要使质角，要使质角，要使质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U U为多为多为多为多少？少？少？少？B BvOBqBqT T = =2 2 mm2 2 t t= =T T BqBqmmt t = =例、例、例、例、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O O射入射入射入射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（ ） A A射入时的速度一定较大射入时的速度一定较大射入时的速度一定较大射入时的速度一定较大 B B在该磁场中运动的路程一定较长在该磁场中运动的路程一定较长在该磁场中运动的路程一定较长在该磁场中运动的路程一定较长 C C在该磁场中偏转的角度一定较大在该磁场中偏转的角度一定较大在该磁场中偏转的角度一定较大在该磁场中偏转的角度一定较大 D D从该磁场中飞出的速度一定较小从该磁场中飞出的速度一定较小从该磁场中飞出的速度一定较小从该磁场中飞出的速度一定较小 1 1R R1 1s s1 1 2 2R R2 2s s2 2BqBqmvmvR R= =tRs sCD例、例、如图，半径为如图，半径为 r=3102m的圆形区域内有一匀强磁场的圆形区域内有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从的从a点处射入磁点处射入磁场，该粒子荷质比为场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使粒，不计重力。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以何（以v0与与oa的夹角表示）？最大偏转角多大？的夹角表示）？最大偏转角多大？ 说明：说明：说明：说明：半径确定时，通过的弧越半径确定时，通过的弧越长，偏转角度越大。而弧小于半长，偏转角度越大。而弧小于半个圆周时，弦越长则弧越长。个圆周时，弦越长则弧越长。R =mv/Bq=5102m r解析：解析：解析：解析：OaBv v0 0b R Rr r = 37，sin = r/R最大偏转角为最大偏转角为 2 = 74。OaBv v0 0解析：解析：解析：解析：R = mv0/Bq=1.5102m = r/22Rv0 因此，在因此，在因此，在因此，在abab上方的粒子可能出现上方的粒子可能出现上方的粒子可能出现上方的粒子可能出现的区域为以的区域为以的区域为以的区域为以aOaO为直径的半圆，如图所为直径的半圆，如图所为直径的半圆，如图所为直径的半圆，如图所示。在示。在示。在示。在abab下方粒子可能出现的区域为下方粒子可能出现的区域为下方粒子可能出现的区域为下方粒子可能出现的区域为以以以以a a为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，aOaO为半径所作圆与磁场为半径所作圆与磁场为半径所作圆与磁场为半径所作圆与磁场相交的部分，如图。相交的部分，如图。相交的部分，如图。相交的部分，如图。最大偏转角为最大偏转角为180，射时粒子的方向应与，射时粒子的方向应与oa的夹角为的夹角为30。v0拓展：拓展：拓展：拓展：若改粒子射入磁场的速度为若改粒子射入磁场的速度为v0=3.0105m/s，其，其它条件不变。用斜线画出该批粒子在磁场中可能出它条件不变。用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域。现的区域。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以其入射时粒子的方向应如何（以v0与与oa的夹角表示）的夹角表示）？最大偏转角多大？最大偏转角多大？例、例、例、例、如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。这些粒子射点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的圆周长的1/3。将磁感应强度的大小从原来的。将磁感应强度的大小从原来的B1变为变为B2，结果，结果相应的弧长变为原来的一半，则相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于多少？等于多少？P PP P3 3例、例、例、例、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于电粒子，但由于环状磁场的束缚环状磁场的束缚环状磁场的束缚环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径为外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被缚，若被缚的带电粒子的荷质比为的带电粒子的荷质比为 q/m=4107C/kg，中空区域中带电，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：粒子具有各个方向的速度。试计算： （1）粒子沿环状的半径方向）粒子沿环状的半径方向 射入磁场，不能穿越磁场的最射入磁场，不能穿越磁场的最 大速度。大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁）所有粒子不能穿越磁 场的最大速度。场的最大速度。OB BR R2 2R R1 1R R2 2r rvv答案：答案：答案：答案：（1）1.5107m/s， （2）1.0107m/s。例、例、例、例、如图如图如图如图，带电质点质量为带电质点质量为带电质点质量为带电质点质量为mm，电量为电量为电量为电量为q q，以平行于以平行于以平行于以平行于OxOx 轴轴轴轴的速度的速度的速度的速度v v 从从从从y y 轴上的轴上的轴上的轴上的a a 点射入图中第一象限所示的区域点射入图中第一象限所示的区域点射入图中第一象限所示的区域点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从为了使该质点能从为了使该质点能从为了使该质点能从 x x 轴上的轴上的轴上的轴上的 b b 点以垂直于点以垂直于点以垂直于点以垂直于 OxOx 轴的速度轴的速度轴的速度轴的速度v v 射出射出射出射出，可在适当的地方加一个垂直于可在适当的地方加一个垂直于可在适当的地方加一个垂直于可在适当的地方加一个垂直于 xyxy平面、磁感应强平面、磁感应强平面、磁感应强平面、磁感应强度为度为度为度为 B B的匀强磁场的匀强磁场的匀强磁场的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内若此磁场仅分布在一个圆形区域内若此磁场仅分布在一个圆形区域内若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径试求这圆形磁场区域的最小半径试求这圆形磁场区域的最小半径试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计重力忽略不计重力忽略不计重力忽略不计。yOaxbv02 2R RB BO Or rr rMMN N解解解解 ：质点在磁场中圆周运动半径为质点在磁场中圆周运动半径为r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是质点在磁场区域中的轨道是1/4 圆周，如图中圆周，如图中MM、N N两点间的圆弧两点间的圆弧两点间的圆弧两点间的圆弧。在通过在通过在通过在通过MM、N N两点的不同的圆中，最小两点的不同的圆中，最小两点的不同的圆中，最小两点的不同的圆中，最小的一个是以的一个是以的一个是以的一个是以MNMN 连线为直径的圆周。连线为直径的圆周。连线为直径的圆周。连线为直径的圆周。圆形磁场区域的最小半径圆形磁场区域的最小半径圆形磁场区域的最小半径圆形磁场区域的最小半径qBqBmvmvMNMNR R2 22 21 1= = = = = = = （0808四四四四川川川川延延延延考考考考卷卷卷卷）一一一一质质质质量量量量为为为为mm，带带带带电电电电量量量量为为为为 + +q q 的的的的带带带带电电电电粒粒粒粒子子子子（不不不不计计计计重重重重力力力力），以以以以初初初初速速速速度度度度 v v0 0 沿沿沿沿 + +x x 轴轴轴轴方方方方向向向向运运运运动动动动，从从从从 O O点点点点处处处处进进进进入入入入一一一一个个个个边边边边界界界界为为为为圆圆圆圆形形形形的的的的方方方方向向向向垂垂垂垂直直直直纸纸纸纸面面面面向向向向里里里里的的的的匀匀匀匀强强强强磁磁磁磁场场场场中中中中，磁磁磁磁感感感感应应应应强强强强度度度度大大大大小小小小为为为为 B B。粒粒粒粒子子子子进进进进入入入入磁磁磁磁场场场场做做做做圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动的的的的轨轨轨轨道道道道半半半半径径径径大大大大于于于于圆圆圆圆形形形形磁磁磁磁场场场场的的的的半半半半径径径径，改改改改变变变变圆圆圆圆形形形形磁磁磁磁场场场场圆圆圆圆心心心心的的的的位位位位置置置置，可可可可以以以以改改改改变变变变粒粒粒粒子子子子在在在在磁磁磁磁场场场场中中中中的的的的偏偏偏偏转转转转角角角角度度度度。为为使使使使粒粒粒粒子子子子从从从从磁磁磁磁场场场场中中中中射射射射出出出出后后后后一定能打到一定能打到一定能打到一定能打到 y y 轴上轴上轴上轴上，求满足此条件下磁场半径求满足此条件下磁场半径求满足此条件下磁场半径求满足此条件下磁场半径 r r 的范围的范围的范围的范围。题目题目BxyOv0BBBxyOv0B3030O OP PA Av v0 0变式：变式：变式：变式：如图，倾角如图，倾角如图，倾角如图，倾角3030 的斜面的斜面的斜面的斜面OAOA的左侧有一竖直档板，其上的左侧有一竖直档板，其上的左侧有一竖直档板，其上的左侧有一竖直档板，其上有小孔有小孔有小孔有小孔P P，质量，质量，质量，质量mm=410=4102020kgkg，带电量，带电量，带电量，带电量q q=+210=+2101414 C C的粒的粒的粒的粒子，从小孔以速度子，从小孔以速度子，从小孔以速度子，从小孔以速度v v0 0=310=3104 4m/sm/s水平射向磁感应强度水平射向磁感应强度水平射向磁感应强度水平射向磁感应强度B B=0.2T=0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域。该粒子、方向垂直纸面向里的一正三角形区域。该粒子、方向垂直纸面向里的一正三角形区域。该粒子、方向垂直纸面向里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域后能垂直打在后能垂直打在后能垂直打在后能垂直打在OAOA面上，粒子重力不计。求：面上，粒子重力不计。求：面上，粒子重力不计。求：面上，粒子重力不计。求：（1 1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；）粒子在磁场中做圆周运动的半径；）粒子在磁场中做圆周运动的半径；）粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2 2）粒子在磁场中运动的时间；）粒子在磁场中运动的时间；）粒子在磁场中运动的时间；）粒子在磁场中运动的时间；（3 3）正三角形磁场区域的最小边长。）正三角形磁场区域的最小边长。）正三角形磁场区域的最小边长。）正三角形磁场区域的最小边长。a ab bc co o1 16060e eg gf f解：解：（1 1）由）由得：得： 3030O OP PA Av v0 0a ab bc co o1 16060e eg gf f（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知）画出粒子的运动轨迹如图，可知（3）由数学知识可得：）由数学知识可得： 得：得：例、例、如图，质量为如图，质量为m、带电量为、带电量为+q 的粒子以速度的粒子以速度v 从从O点沿点沿y 轴正方向射入磁感应强度为轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿过处穿过x轴，速度方向与轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为轴正方向的夹角为30，同时进入场强，同时进入场强为为 E、方向沿与与、方向沿与与 x 轴负方向成轴负方向成60角斜向下的匀强电场角斜向下的匀强电场中，通过了中，通过了 b点正下方的点正下方的 C点。不计重力，试求：点。不计重力，试求： （1）圆形匀强磁场区域的最小面积；）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）C点到点到 b点的距离点的距离 h。v vyxEbO3060v vhAO2O1v vyxEbO3060v vhAO2O1解：解：解：解：( (1) 反向延长反向延长vb交交y 轴于轴于O2 点，作点，作bO2 O的角平分线的角平分线交交x 轴于轴于O1 ， O1即为圆形轨道的圆心，半径为即为圆形轨道的圆心，半径为R = OO1 =mv/qB，画出圆形轨迹交，画出圆形轨迹交b O2于于A点，如图虚线所示。点，如图虚线所示。最小的圆形磁场区域是以最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示：为直径的圆，如图示：S Smin min = = r r2 23 3 m m2 2v v2 24 4q q2 2B B2 2= =OA OA = 2= 2r rqBqBmvmv3 3= =hsin 30=vth cos 30 =21qEm t2(2) b到到C 受电场力作用，做类平抛运动受电场力作用，做类平抛运动t=2mv/qEtan 30例、例、例、例、如图，质量为如图，质量为如图，质量为如图，质量为mm、电量为、电量为、电量为、电量为q q的正离子，从的正离子，从的正离子，从的正离子，从A A点正对圆心点正对圆心点正对圆心点正对圆心O O以某一速度射入半径为以某一速度射入半径为以某一速度射入半径为以某一速度射入半径为R R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B B。要使带电。要使带电。要使带电。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A A点射出，问发生碰撞的点射出，问发生碰撞的点射出，问发生碰撞的点射出，问发生碰撞的最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t t ？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。子的重力。子的重力。子的重力。t = t = m / Bqm / Bq2 2次次次次B BvOB BvOO O + + = = 解析解析解析解析 根据根据根据根据对对称性可以看出粒子与筒壁碰称性可以看出粒子与筒壁碰称性可以看出粒子与筒壁碰称性可以看出粒子与筒壁碰撞撞撞撞时时其速度方向一定是沿其速度方向一定是沿其速度方向一定是沿其速度方向一定是沿圆圆筒半径方向的。筒半径方向的。筒半径方向的。筒半径方向的。粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能出出出出现现3 3次、次、次、次、4 4次、次、次、次、5 5次次次次n n次碰撞。次碰撞。次碰撞。次碰撞。例、例、例、例、如图，在半径为如图，在半径为如图，在半径为如图，在半径为 R R 的圆筒内有匀强磁场，质量为的圆筒内有匀强磁场，质量为的圆筒内有匀强磁场，质量为的圆筒内有匀强磁场，质量为mm，带电量为带电量为带电量为带电量为 q q 的带电粒子在小孔的带电粒子在小孔的带电粒子在小孔的带电粒子在小孔 A A 处以速度处以速度处以速度处以速度 v v 向着圆心射向着圆心射向着圆心射向着圆心射入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时电量和动能皆无损失）电量和动能皆无损失）电量和动能皆无损失）电量和动能皆无损失） 无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在磁场中的各段轨迹磁场中的各段轨迹磁场中的各段轨迹磁场中的各段轨迹圆弧对应的圆心角的余角总和圆弧对应的圆心角的余角总和圆弧对应的圆心角的余角总和圆弧对应的圆心角的余角总和一定是一定是一定是一定是360360 。B BvO设粒子在磁场中的轨道半径为设粒子在磁场中的轨道半径为r，如图。，如图。把磁场圆周分为把磁场圆周分为n等份，粒子经等份，粒子经n1次碰撞返回次碰撞返回A，则有：则有：解：解：解：解：r = R tan2 2n 2 n n= R = R tantan 两次碰撞间粒子运动时间：两次碰撞间粒子运动时间：两次碰撞间轨迹圆圆心角：两次碰撞间轨迹圆圆心角：A AO Ov vR Rr rO O C C思考：思考：思考：思考：上述解答是基于粒子在筒壁内绕上述解答是基于粒子在筒壁内绕上述解答是基于粒子在筒壁内绕上述解答是基于粒子在筒壁内绕筒壁一周经筒壁一周经筒壁一周经筒壁一周经n n次碰撞射出的情况，若粒次碰撞射出的情况，若粒次碰撞射出的情况，若粒次碰撞射出的情况，若粒子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢？子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢？子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢？子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢？将将将将B B代入后可得代入后可得代入后可得代入后可得解：解：解：解：A AO Ov vR Rr rO O C C （1 1）设带电粒子在圆筒内绕筒壁）设带电粒子在圆筒内绕筒壁）设带电粒子在圆筒内绕筒壁）设带电粒子在圆筒内绕筒壁k k周、与筒壁经周、与筒壁经周、与筒壁经周、与筒壁经n n次连续碰次连续碰次连续碰次连续碰撞后仍能从撞后仍能从撞后仍能从撞后仍能从A A孔射出，则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心角孔射出，则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心角孔射出，则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心角孔射出，则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心角为为为为 满足：满足：满足：满足：（2 2）如图所示，）如图所示，）如图所示，）如图所示，AOC=AOC=，而，而，而，而 + =+ =，有，有，有，有所以带电粒子在磁场中运动的时间为所以带电粒子在磁场中运动的时间为( (n n+1)+1) =2=2k k r= R tan2 2k=k=1,2,3,1,2,3,与与k相对应的相对应的n的取值范围为的取值范围为n2k-1的正整数。的正整数。即得：即得：又：又：又：又： r = mv/Bqr = mv/BqmvmvB BqRqRcotcotk k = =n n+1+1例例例例、平平行行金金属属板板M、N间间距距离离为为d。其其上上有有一一内内壁壁光光滑滑的的半半径径为为R的的绝绝缘缘圆圆筒筒与与N板板相相切切，切切点点处处有有一一小小孔孔S。圆圆筒筒内内有有垂垂直直圆圆筒筒截截面面方方向向的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度为为B。电电子子与与孔孔S及及圆圆心心O在在同同一一直直线线上上。M板板内内侧侧中中点点处处有有一一质质量量为为m，电电荷荷量量为为e的的静静止止电电子子，经经过过M、N间间电电压压为为U的的电电场场加加速速后后射射入入圆圆筒筒，在在圆圆筒筒壁壁上上碰碰撞撞n次次后后，恰恰好好沿沿原原路路返返回回到到出出发发点点。（不不考考虑虑重重力力，设设碰碰撞撞过过程程中中无无动动能能损失）求：损失）求： 电子到达小孔电子到达小孔S时的速度大小；时的速度大小； 电子第一次到达电子第一次到达S所需要的时间；所需要的时间； 电子第一次返回出发点所需的时间。电子第一次返回出发点所需的时间。MMN Nm em eO OR RS S解：解： 根据根据得得加速后获得的速度加速后获得的速度 设电子从设电子从M到到N所需时间为所需时间为t1，则：则：得得电子在磁场做圆周运动的周期为电子在磁场做圆周运动的周期为电子在圆筒内经过电子在圆筒内经过n次碰撞回到次碰撞回到S，每段圆弧对应的圆心角每段圆弧对应的圆心角n次碰撞对应的总圆心角次碰撞对应的总圆心角在磁场内运动的时间为在磁场内运动的时间为t2（n=1，2，3，）MNSm eO1R例、例、例、例、如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径磁场分布在以直径磁场分布在以直径磁场分布在以直径A A2 2A A4 4为边界的两个半圆形区域为边界的两个半圆形区域为边界的两个半圆形区域为边界的两个半圆形区域 、中，中，中，中，A A2 2A A4 4与与与与A A1 1A A3 3的夹角为的夹角为的夹角为的夹角为6060，一质量为，一质量为，一质量为，一质量为mm、带电量为、带电量为、带电量为、带电量为+ +q q的粒的粒的粒的粒子以某一速度从子以某一速度从子以某一速度从子以某一速度从 区的边缘点区的边缘点区的边缘点区的边缘点A A1 1处沿与处沿与处沿与处沿与A A1 1A A3 3成成成成3030角的方向角的方向角的方向角的方向射入磁场，随后该项粒子以垂直于射入磁场，随后该项粒子以垂直于射入磁场，随后该项粒子以垂直于射入磁场，随后该项粒子以垂直于A A2 2A A4 4的方向经过圆心的方向经过圆心的方向经过圆心的方向经过圆心O O进入进入进入进入区，最后再从区，最后再从区，最后再从区，最后再从A A4 4处射出磁场，已知该粒子从射入到处射出磁场，已知该粒子从射入到处射出磁场，已知该粒子从射入到处射出磁场，已知该粒子从射入到射出磁场所用时间表为射出磁场所用时间表为射出磁场所用时间表为射出磁场所用时间表为 t t ，求，求，求，求 区和区和区和区和区中磁感应强度的大区中磁感应强度的大区中磁感应强度的大区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。小（忽略粒子重力）。小（忽略粒子重力）。小（忽略粒子重力）。qtqtmmB B3 35 52 2 = = = =qtqtmmB B6 65 51 1 = = = =A A3 3A A4 4A A2 2A A1 1O O60 30A A3 3A A4 4A A2 2A A1 1O O60 30解：解：解：解：粒子在磁场中的运动轨迹如图示粒子在磁场中的运动轨迹如图示: 用用B1 , B2 , R1 , R2 , T1 , T2 , t1 , t2分别表示在磁场分别表示在磁场区和区和区区中的磁感应强度，轨道半径和周期及运动时间。中的磁感应强度，轨道半径和周期及运动时间。设圆形区域的半径为设圆形区域的半径为r，则，则 R1= A1A2 =r，R2=r/2。t1 = T1/6， t2 = T2/2由由 qvB = mv2/R 得：得：R1= mv/qB1 = r ，R2= mv/ qB2 = r/2 ， B2= 2B1 T1 =2R1/v= 2m/qB1T2 =2R2/v= 2m/qB2t1 + t2 = t 即即 m3qB1 + mqB2 = t例、例、例、例、如图，如图，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为两正对小孔，为两正对小孔， 板右侧有两宽度均为板右侧有两宽度均为d的匀强磁场区域，磁感的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为应强度大小均为B，方向如图。磁场区域右侧有一个荧光屏。，方向如图。磁场区域右侧有一个荧光屏。取屏上与取屏上与S1、S2共线的共线的O点为原点，向上为正方向建立点为原点，向上为正方向建立x轴。电轴。电子枪子枪K发射出的热电子经发射出的热电子经S1进入两板间，电子的质量为进入两板间，电子的质量为m，电，电荷量为荷量为e，初速度可以忽略。，初速度可以忽略。（1）求）求U在什么范围内，电子不能打到荧光屏上？在什么范围内，电子不能打到荧光屏上？（2）试定性地画出能打到荧光屏上电子运动的轨迹。）试定性地画出能打到荧光屏上电子运动的轨迹。（3）求电子打到荧光屏上的位置坐标）求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差和金属板间电势差U的函的函数关系。数关系。NddBBM+-OxS1S2荧荧光光屏屏K（1）根据动能的定理得：根据动能的定理得： eU0 = mv02/2 欲使电子不能打到荧光屏上，应有：欲使电子不能打到荧光屏上，应有： r = mv0/eB d ，（2）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图所示。时运动的轨迹如图所示。解：解：解：解： 由此由此 即可解得：即可解得： U B2d2e/2m。OxdBdB（4）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r，穿过磁场区，穿过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为域打到荧光屏上的位置坐标为x，则由（，则由（2）中的轨迹图可得：）中的轨迹图可得： 注意到：注意到： r=mv/eB 和和 eU = mv2/2 所以，电子打到荧光屏上的位置坐标所以，电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差和金属板间电势差U的函数关系为：的函数关系为：练：练：练：练：在真空中，半径为在真空中，半径为在真空中，半径为在真空中，半径为 R R=0.2m=0.2m的圆形区域内存在垂直纸面的圆形区域内存在垂直纸面的圆形区域内存在垂直纸面的圆形区域内存在垂直纸面向外的向外的向外的向外的B B=1T=1T的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直纸面向里的大小也为纸面向里的大小也为纸面向里的大小也为纸面向里的大小也为B B的匀强磁场，一带正电的粒子从边的匀强磁场，一带正电的粒子从边的匀强磁场，一带正电的粒子从边的匀强磁场，一带正电的粒子从边界上的界上的界上的界上的P P点沿半径向外，以速度点沿半径向外，以速度点沿半径向外，以速度点沿半径向外，以速度v v0 0=510=5103 3m/sm/s进入外围磁场，进入外围磁场，进入外围磁场，进入外围磁场，已知粒子带电量已知粒子带电量已知粒子带电量已知粒子带电量q q=510=5106 6 C C，质量，质量，质量，质量mm=210=2101010 kg kg，不计，不计，不计，不计重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到P P点所需点所需点所需点所需时间（计算结果可以用时间（计算结果可以用时间（计算结果可以用时间（计算结果可以用 表示）。表示）。表示）。表示）。Pv v0 0BB解析：解析：解析：解析：由洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力提供向心力，qvqv0 0B B = = mvmv0 02 2/ /r r ，r r = 0.2 m= 0.2 m=R R。轨迹如图所示轨迹如图所示轨迹如图所示轨迹如图所示。T T = 2 = 2 r/Bqr/Bq = 8= 8 10105 5 s s运动周期为运动周期为运动周期为运动周期为 t t = 2= 2T T = 16 = 16 10105 5 s s例、例、例、例、如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度、方向水平向右，电场宽度为为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为大小均为B。一个质量为。一个质量为m、电量为、电量为q、不计重力的带正电、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁磁场区域进入右侧磁 场区域后，又回到场区域后，又回到O点，然点，然 后重复上述运动过程。求：后重复上述运动过程。求： （1）中间磁场区域的宽度）中间磁场区域的宽度d； （2）带电粒子的运动周期。）带电粒子的运动周期。B B1 1E EO OB B2 2L Ld dO O1 1O O3 3O O2 2由以上两式，可得由以上两式，可得（2）在电场中运动时间）在电场中运动时间在中间磁场中运动时间在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间则粒子的运动周期为则粒子的运动周期为带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：解：（解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是等是等边三角形，其边长为边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：。所以中间磁场区域的宽度为： B B1 1E EO OB B2 2L Ld dO O1 1O O3 3O O2 2例、例、例、例、 如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a a、b b、c c和和和和d d，外筒，外筒，外筒，外筒的半径为的半径为的半径为的半径为r r0 0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场方向的均匀磁场方向的均匀磁场方向的均匀磁场B B。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为mm、带、带、带、带电量为电量为电量为电量为+ +q q的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝a a的的的的S S点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点S S，则两，则两，则两，则两电极之间的电压电极之间的电压电极之间的电压电极之间的电压U U应是多少？应是多少？应是多少？应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中） OabcdqS解析解析解析解析 ：qUmv212=qBvRvm2=2mBqrU220=半径半径 R = r0例、例、例、例、如图，很长的平行边界面如图，很长的平行边界面如图，很长的平行边界面如图，很长的平行边界面MM、N N与与与与N N、P P间距分别为间距分别为间距分别为间距分别为l l1 1与与与与l l2 2，其间分别有磁感应强度为，其间分别有磁感应强度为，其间分别有磁感应强度为，其间分别有磁感应强度为B B1 1与与与与B B2 2的匀强磁场区的匀强磁场区的匀强磁场区的匀强磁场区 和和和和，磁场方向均垂直纸面向里。己知，磁场方向均垂直纸面向里。己知，磁场方向均垂直纸面向里。己知，磁场方向均垂直纸面向里。己知B B1 1 B B2 2，一个带正电，一个带正电，一个带正电，一个带正电的粒子电量为的粒子电量为的粒子电量为的粒子电量为q q，质量为，质量为，质量为，质量为mm，以大小为，以大小为，以大小为，以大小为v v0 0的速度垂直边界的速度垂直边界的速度垂直边界的速度垂直边界MM与磁场方向射人与磁场方向射人与磁场方向射人与磁场方向射人MNMN间磁场区，试讨论粒子速度间磁场区，试讨论粒子速度间磁场区，试讨论粒子速度间磁场区，试讨论粒子速度v v0 0应满应满应满应满足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面P P射射射射出？（不计粒于重力）出？（不计粒于重力）出？（不计粒于重力）出？（不计粒于重力）Nl2l1B1B2MPv0v0O1O2 R R1 1R R1 1R R2 2R R2 2 + = + = /2/2R R1 1= = mvmv0 0/B/B1 1q qR R2 2= = mvmv0 0 /B /B2 2q ql1 = R1 sinl2 = R2(1cos )解析解析解析解析 ：mmq q( (B B1 1l l1 1+ +B B2 2l l2 2) )v v0 0讨论讨论讨论讨论 ：如图，直角坐标系内，质量为如图，直角坐标系内，质量为如图，直角坐标系内，质量为如图，直角坐标系内，质量为mm，带电量为，带电量为，带电量为，带电量为+ +q q的离的离的离的离子从原点子从原点子从原点子从原点O O沿沿沿沿y y轴正方向以初速度轴正方向以初速度轴正方向以初速度轴正方向以初速度v v0 0出发，重力不计。现要出发，重力不计。现要出发，重力不计。现要出发，重力不计。现要求在离子运动的空间内加上某种求在离子运动的空间内加上某种求在离子运动的空间内加上某种求在离子运动的空间内加上某种“ “场场场场” ”（每个象限最多（每个象限最多（每个象限最多（每个象限最多一种场）后，该电荷能通过点一种场）后，该电荷能通过点一种场）后，该电荷能通过点一种场）后，该电荷能通过点P P( (a a, ,b b) )，试设计一种能实，试设计一种能实，试设计一种能实，试设计一种能实现这一目的的方案。要求：现这一目的的方案。要求：现这一目的的方案。要求：现这一目的的方案。要求： （1 1）需说明运动性质并画出轨迹图。）需说明运动性质并画出轨迹图。）需说明运动性质并画出轨迹图。）需说明运动性质并画出轨迹图。 （2 2）用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的表用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的表 达式。（用题设已知条件和有关常数）达式。（用题设已知条件和有关常数）y yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0解：方案一：解：方案一：解：方案一：解：方案一： 在直角坐标系在直角坐标系xOy内加上垂直纸面向里的匀强内加上垂直纸面向里的匀强磁场磁场B，使电荷，使电荷(m，q)在洛伦兹力作用下绕在洛伦兹力作用下绕O点从点从O到到P作匀作匀速圆周运动，其轨道半径为速圆周运动，其轨道半径为R，电荷运动轨迹如图示。，电荷运动轨迹如图示。y yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0O O 由图知由图知电荷作匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供电荷作匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供 方案二：方案二：方案二：方案二：在在x轴上轴上O 点固定一带负电的点电荷点固定一带负电的点电荷Q, 使电荷使电荷( m，q )在在库仑力作用下绕库仑力作用下绕O 点从点从O到到P作匀速圆周运动，其轨道半作匀速圆周运动，其轨道半径为径为R,电荷运动轨迹如图示。电荷运动轨迹如图示。Ry yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0Q由图知由图知由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得： y yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0qaqamvmvB B0 02 2= = = =y yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0) )( (2 22 22 20 0b ba aq qamvamvB B+ + + += = = =y yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0RQakqakqmvmvb ba aQ Q2 2) )( (2 20 02 22 2+ + + += = = =y yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0B B1 1B B2 2y yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0E Ey yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0EB By yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0E Ey yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0E Ey yx xO OP P( (a, a,- - - -b b) )v v0 0B B