第四十四讲第四十四讲 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积回回归课本本1.柱体、柱体、锥体、台体的体、台体的侧面面积,就是就是各各侧面面面面积之和之和,表面表面积是是各个面的各个面的面面积之和之和,即即侧面面积与底面与底面积之和之和.2.把柱体、把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面体、台体的面展开成一个平面图形形,称称为它的它的展开展开图,它的它的表面表面积就是就是展开展开图的面的面积.3.圆柱、柱、圆锥、圆台的台的侧面面积及表面及表面积S圆柱柱侧=2rl,S柱柱=2r(r+l);S圆锥侧=rl,S锥=r(r+l);S圆台台侧=(r+r)l,S台台=(r2+r2+rl+rl).4.柱、柱、锥、台体的体、台体的体积V长方体方体=abc,V正方体正方体=a3,V柱柱=Sh,V锥= ,V台台= (S+S+ )h.这是柱体是柱体 锥体体 台体台体统一一计算公式算公式,特特别的的圆柱柱 圆锥 圆台台还可以分可以分别写成写成:V圆柱柱=r2h,V圆锥= r2h,V圆台台= h(r2+rr+r2).5.球的体球的体积及球的表面及球的表面积设球的半径球的半径为R,V球球= R3,S球球=4R2.考点陪考点陪练答案答案:D2.圆台上、下底面面台上、下底面面积分分别是是、4,侧面面积是是6,这个个圆台的体台的体积是是( )答案答案:D3.用与球心距离用与球心距离为1的平面去截球的平面去截球,所得的截面面所得的截面面积为,则球的体球的体积为( )答案答案:B4.(2010广州一模广州一模)如果一个几何体的三如果一个几何体的三视图如下如下图所示所示(单位位长度度: cm),则此几何体的表面此几何体的表面积是是( )A.(80+16 ) cm2 B.96 cm2C.(96+16 ) cm2 D.112 cm2解析解析:将几何体将几何体还原原,如如图:该几何体是由几何体是由边长为4的正方体和一个底面的正方体和一个底面边长为4高高为2的正四棱的正四棱锥构成的构成的,在正四棱在正四棱锥中中,可得可得四棱四棱锥的表面的表面积为S1=4 4 正方体除去一个面的表正方体除去一个面的表面面积为S2=542=80,所以此几何体的表面所以此几何体的表面积答案答案:A5.(2010山山东临沂二模沂二模)有一个正三棱柱有一个正三棱柱,其三其三视图如如图,则其体其体积等于等于( )解析解析:由由图知知该几何体几何体为底面底面为正三角形的三棱柱正三角形的三棱柱,底面三角形高底面三角形高为2,三三棱柱的高棱柱的高为 故体故体积为答案答案:D类型一型一棱柱棱柱 棱棱锥 棱台的表面棱台的表面积 体体积解解题准准备:求解有关多面体表面求解有关多面体表面积问题的关的关键是利用几何是利用几何图形的性形的性质找找到其特征几何到其特征几何图形形,从而体从而体现出高、斜高、出高、斜高、边长等几何元素等几何元素间的关系的关系,如棱柱的矩形、棱如棱柱的矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形等中的直角三角形、棱台中的直角梯形等.1.柱体、柱体、锥体、台体的体体、台体的体积公式之公式之间的关系的关系,可表示可表示为2.解决不解决不规则几何体的几何体的问题应注意注意应用以下方法用以下方法:(1)几何体的几何体的“分割分割”依据已知几何体的特征依据已知几何体的特征,将其分割成若干个易于求体将其分割成若干个易于求体积的几何体的几何体,进而求而求解解.(2)几何体的几何体的“补形形”有有时为了了计算方便算方便,可将几何体可将几何体补成易求体成易求体积的几何体的几何体,如如长方体、正方方体、正方体等体等.【典例典例1】 如如图,三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中中,若若E F分分别为AB AC的中点的中点,平面平面EB1C1将三棱柱分成体将三棱柱分成体积为V1 V2的两部分的两部分,那么那么V1：V2=_.解析解析 设三棱柱的高三棱柱的高为h,上下底的面上下底的面积为S,体体积为V,则V=V1+V2=Sh.E F分分别为AB AC的中点的中点, 答案答案 7：5.类型二型二圆柱、柱、圆锥、圆台的表面台的表面积、体、体积解解题准准备:1.圆柱、柱、圆锥、圆台的台的侧面面积分分别是它是它们侧面展开面展开图的面的面积,因此弄清因此弄清侧面展开面展开图的形状及的形状及侧面展开面展开图中各中各线段与原几何体的关系段与原几何体的关系是掌握它是掌握它们的面的面积公式及解决相关公式及解决相关问题的关的关键.2.计算柱体、算柱体、锥体、台体的体体、台体的体积关关键是根据条件找出相是根据条件找出相应的底面面的底面面积和和高高,要充分利用多面体的截面及旋要充分利用多面体的截面及旋转体的体的轴截面截面,将空将空间问题转化化为平平面面问题.【典例典例2】 已知底面半径已知底面半径为,母母线长为的的圆柱柱,挖去一挖去一个以个以圆柱上底面柱上底面圆心心为顶点点,下底面下底面为底面的底面的圆锥,求所得几何体的表求所得几何体的表面面积和体和体积. 解解 如如图,圆柱一个底面的面柱一个底面的面积为S底底=r2= ( )2=3(cm3).圆柱柱侧面面面面积为:S柱柱侧=2 (cm2).所挖所挖圆锥的母的母线长为=3(cm).类型三型三球的表面球的表面积、体、体积解解题准准备:球的表面球的表面积与体与体积都只与半径都只与半径R有关有关,是以是以R为自自变量的函数量的函数,一个球的半径一个球的半径给定定,它的表面它的表面积、体、体积随之确定随之确定,反反过来来,给定一个球的定一个球的表面表面积或体或体积,这个球的半径也就确定了个球的半径也就确定了.【典例典例3】 如如图,正三棱正三棱锥的高的高为1,底面底面边长为内有一个球与内有一个球与它的四个面都相切它的四个面都相切.求求:(1)棱棱锥的全面的全面积;(2)内切球的表面内切球的表面积与体与体积. (2)设正三棱正三棱锥PABC的内切球球心的内切球球心为O,连接接OP OA OB OC,而而O点点到三棱到三棱锥的四个面的距离都的四个面的距离都为球的半径球的半径r. VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC类型四型四由几何体的三由几何体的三视图求几何体的表面求几何体的表面积与体与体积解解题准准备:已知空已知空间几何体的三几何体的三视图求表面求表面积 体体积是高考考是高考考查的的热点点,对三三视图的的应用是解用是解题的关的关键.主要体主要体现在以下两个方面的在以下两个方面的应用用:一是数一是数据的据的给出出,通通过三三视图的的长 宽 高高对应出空出空间几何体的相关几何体的相关长 宽 高高,从而求表面从而求表面积和体和体积,但是要注意三但是要注意三视图中的数据与原几何体中的数据中的数据与原几何体中的数据不一定一一不一定一一对应,识图时注意甄注意甄别.二是揭示空二是揭示空间几何体的几何体的结构特征构特征.包包括几何体的形状括几何体的形状,平行垂直等平行垂直等结构特征构特征,这些正是数据运算的依据些正是数据运算的依据.【典例典例4】 一几何体按比例一几何体按比例绘制的三制的三视图如如图所示所示(单位位:m):(1)试画出它的直画出它的直观图;(2)求它的表面求它的表面积和体和体积. 分析分析 由三由三视图,正确的画出几何体的直正确的画出几何体的直观图,确定几何体中确定几何体中线段的位置段的位置关系及数量关系关系及数量关系. 解解 (1)直直观图如如图所示所示. (2)解法一解法一:由三由三视图可知可知该几何体是几何体是长方体被截去一个角方体被截去一个角,且且该几何体的几何体的体体积是以是以A1A,A1D1,A1B1为棱的棱的长方体的体方体的体积的的在直角梯形在直角梯形AA1B1B中中,作作BE A1B1,则AA1EB是正方形是正方形, AA1=BE=1 在在Rt BEB1中中,BE=1,EB1=1 BB1= 几何体的表面几何体的表面积S=S正方形正方形AA1D1D+2S梯形梯形AA1B1B+S矩形矩形BB1C1C+S正方形正方形ABCD+S矩形矩形A1B1C1D1=1+2 (1+2)1+1 +1+12=7+ (m2). 几何体的体几何体的体积V= 121= (m3), 该几何体的表面几何体的表面积为(7+ )m2,体体积为m3.解法二解法二:几何体也可以看作是以几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱底面的直四棱柱,其表面其表面积求求法同解法一法同解法一,V直四棱柱直四棱柱D1C1CDA1B1BA=Sh= (1+2)11= (m2). 几何体的表面几何体的表面积为(7+ )m2,体体积为m3. 反思感悟反思感悟 (1)由三由三视图画几何体的直画几何体的直观图,掌握掌握“长对正、正、宽相等相等,高高平平齐”的的规则,是确定几何体特征的关是确定几何体特征的关键.(2)把不把不规则几何体分割成几个几何体分割成几个规则几何体或者是几何体或者是补上一部分使之成上一部分使之成为规则几何体几何体,是求不是求不规则几何体常用方法几何体常用方法.错源一源一问题考考虑不全不全【典例典例1】 是否存在是否存在这样的球的球,在在该球内有距离球内有距离为3的两个平行截面且截的两个平行截面且截面的面面的面积分分别为5和和8?若存在若存在,求出球面的表面求出球面的表面积;若不存在若不存在,请说明明理由理由. 错解解 假假设存在存在满足足题意的球意的球,过圆心与截面的心与截面的圆心作球的心作球的轴截面截面,如如图.圆O是球的大是球的大圆,A1B1,A2B2分分别是两个平行截面是两个平行截面圆的直径的直径,C1,C2分分别是两个截面是两个截面圆的的圆心心,设两截面两截面圆的半径分的半径分别为r1,r2,(r1r2),由由题意可意可得得又又此方程无解此方程无解,所以所以满足足题意的球不存在意的球不存在. 剖析剖析 错解只考解只考虑了两个平行截面都在球心同一了两个平行截面都在球心同一侧的情形的情形,事事实上两个上两个平行截面不一定都在球心的同一平行截面不一定都在球心的同一侧. 正解正解 假假设存在存在满足足题意的球意的球.(1)如果两个平行截面都在球心的同一如果两个平行截面都在球心的同一侧,则解法同解法同错解解.(2)如果两个平行如果两个平行截面在球心两截面在球心两侧,过圆心与截面的心与截面的圆心作球的心作球的轴截面截面,如如图.圆O是球的是球的大大圆,A1B1,A2B2分分别是两个平行截面是两个平行截面圆的直径的直径,C1,C2分分别是两个截面是两个截面圆的的圆心心,设两截面两截面圆的半径分的半径分别为r1,r2(r1r2).由由题意可得意可得又又解得解得R2=9,所以球的表面所以球的表面积S=4R2=36.综上可得上可得,存在存在满足足题意的球意的球,该球的表面球的表面积为36.错源二源二对三三视图的形成的形成认识不清不清【典例典例2】 设某几何体的三某几何体的三视图如如图(尺寸的尺寸的长度度单位位为m).则该几何体几何体的体的体积为_m3. 错解解 该几何体几何体为三棱三棱锥,底面底面为腰腰为4,底底为3的等腰三角形的等腰三角形,高高为2. 剖析剖析 把正把正视图看成三棱看成三棱锥的一个面造成的一个面造成误解解.三三视图中的每一个中的每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影都是整个几何体在某一屏幕上的投影,不一定是某个面留下的投影不一定是某个面留下的投影.这类问题不能孤立的分析某一不能孤立的分析某一视图. 正解正解 由三由三视图可知原几何体是一个三棱可知原几何体是一个三棱锥,由由“长对正正,宽相等相等,高平高平齐”的原的原则可知三棱可知三棱锥的高的高为2,底面三角形的底底面三角形的底边长为4,高高为3,则所所求棱求棱锥的体的体积为V= 342=4.答案答案 4技法一技法一等等积转化思想方法化思想方法【典例典例1】 如如图,一个三棱柱容器中盛有水一个三棱柱容器中盛有水,且且侧棱棱AA1=8,若若AA1B1B水水平放置平放置时,液面恰好液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点的中点,则当底面当底面ABC水平放水平放置置时,液面的高液面的高为多少多少? 解解 当当AA1B1B水平放置水平放置时,纵截面中水的面截面中水的面积占占1- 所以水的体所以水的体积与三棱柱体与三棱柱体积比比为当底面当底面ABC水平放置水平放置时,液面高度液面高度为8 =6.方法与技巧方法与技巧 容器中水的体容器中水的体积不会减少不会减少,运用等运用等积思想可不用思想可不用计算体算体积,而通而通过体体积比比进而化而化为高度比高度比.技法二技法二巧解三棱巧解三棱锥的体的体积【典例典例2】 已知正三棱已知正三棱锥PABC的三条的三条侧棱两两垂直棱两两垂直,侧棱棱长都等于都等于a,如如图1,求此三棱求此三棱锥的体的体积. 解解 解法一解法一:设顶点点P在底面在底面ABC上的射影上的射影为O,则O为ABC的中心的中心,连接接CO延延长交交AB于于M,连接接PM,则CM AB且且M为AB的中点的中点.在在ABC中中,易求得易求得解法二解法二:转换三棱三棱锥顶点点,如如图2.因因为AP PB PC,所以三棱所以三棱锥APBC的高的高为PA,底面底面PBC为直角三角形直角三角形.所以所以VPABC=VAPBC= S PBCAP解法三解法三:由三棱由三棱锥PA PB PC,易易联想到以想到以PBC为底面可以底面可以补成三棱柱成三棱柱ABC-PBC,如如图3,它与三棱它与三棱锥APBC的高均的高均为AP,底面底面为PBC,易易知知锥体的体体的体积是与其等底等高的柱体体是与其等底等高的柱体体积的的 方法与技巧方法与技巧 该题题目目虽小小,但其解法涵盖了求解几何体体但其解法涵盖了求解几何体体积常用的几常用的几种思种思维方法方法.解法一是直接法解法一是直接法,它是它是对应体体积公式的通法公式的通法;解法二是等体解法二是等体积转化法化法,针对锥体的几何特点体的几何特点,变换顶点点,体体积不不变.解法三是解法三是补形法形法,这是直接法遇阻是直接法遇阻时经常采用的常采用的间接求解策略接求解策略.诸如如还可将三棱可将三棱锥补形成形成为四棱柱四棱柱,三棱柱三棱柱补形成形成为平行六面体等平行六面体等,与此法相与此法相对的的还有分割法有分割法,即即将一个几何体分割成几部分来将一个几何体分割成几部分来进行求解行求解.