第第 10 章章 无限脉冲响应滤波器无限脉冲响应滤波器10.1 无限脉冲响应滤波器基础无限脉冲响应滤波器基础10.2 低通模拟滤波器低通模拟滤波器10.3 双线形变换双线形变换10.4 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计10.5 切比雪夫切比雪夫型滤波器设计型滤波器设计10.8 带通、高通和带阻带通、高通和带阻 IIR 滤波器滤波器返回infinite impulse response filter(IIR)无限脉冲响应滤波器bilinear transformation 双线性变换prewarping equation 预扭曲方程Butterworth filter 巴特沃斯滤波器 Chebyshev Type I filter 切比雪夫I 型滤波器 Chebyshev Type II filter 切比雪夫II 型滤波器 elliptic filter 椭圆滤波器Impulse invariance method 脉冲响应不变法10.1 无限脉冲响应滤波器基础无限脉冲响应滤波器基础 滤波器新的输出，和过去的输出及过去的输入和现在滤波器新的输出，和过去的输出及过去的输入和现在输入有关。输入有关。差分方程差分方程 akyn-k= bkxn-k Nk=0 Mk=0若若 a0=1，则，则 yn=-a1yn-1 - - aNyn-N + b0xn+b1n-1+bMxn-M传输函数传输函数H(z)= b0+b1z-1+ b2z-2+bMz-M 1+ a1z-1+a2z-2+aNz-N 这种递归滤波器的极点由分母多项式确定，这种递归滤波器的极点由分母多项式确定，这就可能使滤波器不稳定，同时递归滤波器这就可能使滤波器不稳定，同时递归滤波器很难实现线性相位，也就是递归滤波器使相很难实现线性相位，也就是递归滤波器使相位失真，但实现某种性能要求时比非递归滤位失真，但实现某种性能要求时比非递归滤波器所需要的系数少。波器所需要的系数少。 设计递归滤波器的方法是选择具有待求特性设计递归滤波器的方法是选择具有待求特性的原型模拟滤波器，然后将其转换为数字滤的原型模拟滤波器，然后将其转换为数字滤波器。波器。返回返回10.2 低通模拟滤波器低通模拟滤波器 在连续域中，滤波器用在连续域中，滤波器用 S 而不用而不用 Z 来描述。来描述。简单低通模拟滤波器的传输函数为简单低通模拟滤波器的传输函数为 H(s)= 1 s+1频率响应为频率响应为 H()= s用用 j代替代替 1 j +1幅度幅度 |H()|= 1 2 +1 |H()|0 |H()|1具有低通特性具有低通特性=1弧度弧度/秒秒 |H()|= 20log( )=-3dB 12 12 即即 f=/2=1/2 Hz 为它的带宽为它的带宽为使滤波器更通用，传输函数变为为使滤波器更通用，传输函数变为H(s)= p1 s+p1H()= = p1 j+p1 1 1+j/p1其幅度其幅度|H()|= 1 (/p1)2+1=p1 时，出现时，出现 3dB图图 通常模拟滤波器类型包括：巴特沃斯、切比雪夫通常模拟滤波器类型包括：巴特沃斯、切比雪夫型、型、切比雪夫切比雪夫型和椭圆滤波器等。型和椭圆滤波器等。图图返回返回10.3 双线性变换双线性变换 它为模拟滤波器和数字滤波器之间的转换提供了一种它为模拟滤波器和数字滤波器之间的转换提供了一种方法。方法。 s 2fs z 1 z+1 z用用 ej 代替可得到离散时间傅立叶变换代替可得到离散时间傅立叶变换2fs =2fs =2fs ej 1 ej+1 ej/2(ej/2- e-j/2) ej/2(ej/2+ e-j/2) ej/2e-j/2 ej/2+e-j/2 sin= 和和 cos= eje-j 2j ej+e-j 2将将 s 变为变为 j 则有则有 2fs tan(/2) 预扭曲方程预扭曲方程 数字频率数字频率 范围范围 0 弧度弧度 模拟频率模拟频率 范围范围 0 弧度弧度/秒秒 逆双线性变换逆双线性变换 2tan-1 (/2fs)图图 10.5 给出了数字频率给出了数字频率 和模拟频率和模拟频率 之间的关系。之间的关系。 双线性变换建立了数学域和模拟域之间的另一种联系：双线性变换建立了数学域和模拟域之间的另一种联系：数字滤波器的稳定区域是数字滤波器的稳定区域是 Z 平面单位圆内，模拟滤波器平面单位圆内，模拟滤波器的稳定区域在的稳定区域在 S 复平面的左半部复平面的左半部图图 例1：一阶模拟低通滤波器的传输函数 H(s)=wp1/(s+wp1)。滤波器的-3dB频率是2000弧度/秒。求出与此模拟滤波器相对应的数字滤波器的传输函数H(z),采样频率为1500Hz. 预扭曲的数字滤波器幅度响应如图预扭曲的数字滤波器幅度响应如图 10.10 所示，可所示，可看出预扭曲的滤波器的截止频率非常接近所要求的值看出预扭曲的滤波器的截止频率非常接近所要求的值 318.3 Hz。图图 返回返回10.4 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计 巴特沃斯滤波器是巴特沃斯滤波器是 IIR 无限脉冲响应滤波器中最简单的。无限脉冲响应滤波器中最简单的。它的传输函数它的传输函数 H(s)= p1S+p1|H()|= 1 (/p1)2+1一阶模拟巴特沃斯滤波器一阶模拟巴特沃斯滤波器 n阶模拟巴特沃斯滤波器具有负责的传输函数阶模拟巴特沃斯滤波器具有负责的传输函数 H(s)，其滤波器形状其滤波器形状|H()|= ，与一阶相似。，与一阶相似。 1 (/p1)2n+1阶数越高，滚降越陡，图阶数越高，滚降越陡，图10.12 显示显示 n=1,2,3,4时模拟时模拟巴特沃斯滤波器形状。巴特沃斯滤波器形状。图图描述数字描述数字 IIR 滤波器的术语：滤波器的术语：(由图由图10.13(a)、(b)看看)图图 p 通带波纹：通带内最大和最小增益之差通带波纹：通带内最大和最小增益之差 p 取取 3dB (巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器) 1 p : 通带边缘增益（对应的频率通带边缘增益（对应的频率fp1） (或或20log(1 p)dB) s ：阻带波纹，对应的阻带边缘增益，：阻带波纹，对应的阻带边缘增益， 对应频率对应频率 fs1 阻带边缘频率。阻带边缘频率。 阻带边缘的增益为阻带边缘的增益为20logsdB 设计时阻带边缘频率和阻带衰减（设计时阻带边缘频率和阻带衰减（-20logs）或阻）或阻带增益（带增益（20logs）要给出。图）要给出。图 10.14 说明非线性相说明非线性相位响应，表明滤波后的信号在某种程度上有相位失真。位响应，表明滤波后的信号在某种程度上有相位失真。对于对于 n 阶巴特沃斯滤波器，满足通带和阻带设计要求阶巴特沃斯滤波器，满足通带和阻带设计要求所需的阶数所需的阶数 n n log( - 1) 2log( ) 1s2s1 p1s1 : 模拟滤波器预扭曲阻带边缘频率。模拟滤波器预扭曲阻带边缘频率。p1 : 模拟滤波器预扭曲通带边缘频率。模拟滤波器预扭曲通带边缘频率。设计低通巴特沃斯滤波器步骤：设计低通巴特沃斯滤波器步骤：1) 确定待求通带边缘频率确定待求通带边缘频率 fp1 Hz 、待求阻带边缘频率、待求阻带边缘频率 fs1 Hz 和待求阻带衰减和待求阻带衰减 - 20logsdB(或待求阻带增或待求阻带增 益益 20logsdB)。通带边缘频率必须对应。通带边缘频率必须对应 3dB增益。增益。4) 由已给定的阻带衰减由已给定的阻带衰减 - 20logs(或增益或增益- 20logs) 确定阻带边缘增益确定阻带边缘增益 s 。3) 计算预扭曲模拟频率以避免双线性变化带来的失真。计算预扭曲模拟频率以避免双线性变化带来的失真。 由由 =2fs tan(/2) 求得求得 p1和和 s1，单位是弧度，单位是弧度/秒。秒。2) 用式用式 =2f/fs 把由把由 Hz 表示的待求边缘频率转成表示的待求边缘频率转成 由弧度表示的数字频率，得到由弧度表示的数字频率，得到 p1 和和s1 。5) 用下式计算所需滤波器的阶数：用下式计算所需滤波器的阶数： n log( - 1) 2log( ) 1s2s1 p1 n 取整数取整数6)把把 p1代入代入 n 阶模拟巴特沃斯滤波器传输函数阶模拟巴特沃斯滤波器传输函数H(s)7) 中，并对中，并对 H(s) 进行双线性变换得到进行双线性变换得到 n 阶数字传阶数字传输输8) 函数函数 H(z)。滤波器实现所需的差分方程可直接滤波器实现所需的差分方程可直接从从 传输函数传输函数 H(s) 求出。把求出。把 =2fs tan(/2) 代入：代入：|H()|= 1 (/p1)2+1即可得滤波器形状即可得滤波器形状|H()|例例 10.6 设计具有巴特沃斯特性的低通设计具有巴特沃斯特性的低通 IIR 滤波器，滤波器， - 3 dB 频率为频率为 1 200 Hz。在。在 1 500 Hz 处处 增益降到增益降到 25 dB。采样速率为。采样速率为 8 000 Hz。 选择合适的滤波器阶数并画出滤波器形状。选择合适的滤波器阶数并画出滤波器形状。解：解：1) fp1=1200Hz， fs1=1500HZ -20logs=25， fs=8000Hz2) p1= 2 fp1 弧度弧度 s1= 2 fs1/fs=0.375 弧度弧度3) p1=2fs tan(p1/2)=8152.4 弧度弧度/秒秒 p1= 2fs tan(s1弧度弧度/秒秒4) 20logs =-25 s=10-25/205) =10.6 取取 n=11 n log( - 1) 2log( ) 1s2s1 p16) 模拟滤波器形状模拟滤波器形状 1 (/p1)2n+1|H()|= = 1 ()22+1 |H()|= 1 ()22+1返回返回10.5 切比雪夫切比雪夫型滤波器设计型滤波器设计 切比雪夫滤波器传输函数非常复杂，但滤波器形状切比雪夫滤波器传输函数非常复杂，但滤波器形状表达式非常简单，表达式非常简单，n 阶切比雪夫阶切比雪夫型滤波器的形状定义为型滤波器的形状定义为|H()|= 1 1+2Cn2(/p1)Cn(x)= cos(ncos-1(x) 对于对于|x|1 cosh(ncosh-1(x) 对于对于|x|1参数参数 取决与通带波纹取决与通带波纹 滤波器阶数大于滤波器阶数大于 1，切比雪夫滤波器具有比巴特沃夫，切比雪夫滤波器具有比巴特沃夫滤波器更陡峭的滚降特性。滤波器更陡峭的滚降特性。图图 切比雪夫滤波器的参数示于图切比雪夫滤波器的参数示于图 图图 切比雪夫滤波器的阶数可由切比雪夫滤波器的阶数可由n cosh-1(/) cosh-1(s1/p1 )= (1/s2) 1低通切比雪夫低通切比雪夫型滤波器的设计步骤：型滤波器的设计步骤：= (1/(1 p)2) 14）由指定的通带边缘增益）由指定的通带边缘增益 20log(1- p) ，确定通带边，确定通带边 缘增益缘增益 1- p 。由下式计算参数。由下式计算参数：3）对数字频率采用预扭曲以避免双线性变换引起的误差。）对数字频率采用预扭曲以避免双线性变换引起的误差。 由由 =2fs tan(/2) 得到得到p1和和 s1，单位是弧度，单位是弧度/秒。秒。2）用公式）用公式 =2f/fs 将待求的边缘频率转换为数字频率将待求的边缘频率转换为数字频率 （用弧度表示），得到（用弧度表示），得到 p1 和和 s1 。1）确定待求的通带与阻带边缘频率）确定待求的通带与阻带边缘频率 fp1 和和fs1 、待求的、待求的 通带边缘增益通带边缘增益 20log(1- p) 和待求的阻带衰减和待求的阻带衰减 -20logs（或待求的阻带增益（或待求的阻带增益 20logs ）。）。5）由指定的衰减）由指定的衰减-20logs（或增益（或增益 20logs），确定），确定 阻带边缘增益阻带边缘增益 s 。计算式如下：。计算式如下：= (1/s2) 16）用下式计算所需的阶数：）用下式计算所需的阶数：n ， n 取整数取整数 cosh-1(/) cosh-1(s1/p1 )7）将）将 p1 和和 p 代入代入 n 阶模拟切比雪夫阶模拟切比雪夫型滤波器的型滤波器的 传输函数传输函数 H(s)，并对其进行双线性变换，得到，并对其进行双线性变换，得到 n 阶数字滤波器传输函数阶数字滤波器传输函数 H(z)。实现滤波器所需的差。实现滤波器所需的差 分方程可由传输函数分方程可由传输函数 H(z) 直接得到。将直接得到。将 =2fs tan(/2) 代入下式可得滤波器的形状代入下式可得滤波器的形状|H()|H()|= 1 1+2Cn2(/p1)例例 10.9 对于采样频率为对于采样频率为 20 KHz 的系统，设计具有切的系统，设计具有切 比雪夫比雪夫型特性的型特性的 IIR 滤波器。通带最大增益滤波器。通带最大增益 为为 0 dB，通带边缘在，通带边缘在 5 kHz 处，其增益为处，其增益为 -1 dB。阻带边缘在。阻带边缘在 7.5 kHz处，其增益为处，其增益为 - 32 dB。解：解：1)fp1=5000 Hz , fs1=7500Hz , 20log(1- p) =-1 fs =20000Hz , 20logs= - 322)p1 = 2fp1/fs =0.5 弧度弧度 s1 = 2fs1/fs =0.75 弧度弧度3)p1 = 2fs tan(p1/2) =40000弧度弧度/秒秒 s1 = 2fs tan(s1弧度弧度/秒秒6)n =3.31 n=4 cosh-1(/) cosh-1(s1/p1 )4) 20log(1- p) =-1 1- p=10-1/20=0.89125 = (1/(1- s2) 1 =0.50885) 20logs =-32 s=10-32/20=0.0251 = (1/s2) 1 =39.87) |H()|= 1 1+2Cn2(/p1)= 1 C42(/40000)=2fs tan(/2) 代入上式代入上式|H()|= 1 C42(/2)C4(x)= cos(4cos-1(x) 对于对于|x|1 cosh4(4cosh-1(x) 对于对于|x|1返回返回10.8 带通、高通和带阻带通、高通和带阻 IIR 滤波器滤波器 带通和高通滤波器的阶数要通过对低通滤波器的原带通和高通滤波器的阶数要通过对低通滤波器的原型的计算来选择。型的计算来选择。 图图 10.22 表明了设计步骤表明了设计步骤图图 传输函数传输函数高通高通 HH(s)=HL(pp/s) p 为低通滤波器的截止频率为低通滤波器的截止频率 p为高通滤波器的截止频率为高通滤波器的截止频率带通带通 HBP(s)=HL(p(s2+lu)/s(u - l) l：带通滤波器的低端截止频率：带通滤波器的低端截止频率 l u：带通滤波器的高端截止频率：带通滤波器的高端截止频率 u带阻带阻 HBS(s)= HL(ps(u- l)/(s2+ul)从上的从上的p ，p ，l ，u 都要进行预扭曲计算，避免都要进行预扭曲计算，避免滤波器失真。滤波器失真。 =2fs tan(/2) * 带通和带阻滤波器的阶数都为其低通原型的两倍。带通和带阻滤波器的阶数都为其低通原型的两倍。IIR滤波技术的一个应用就是产生和恢复用于按键电话机的双音多频信号（DTMF)FIGURE 10-25 Touch-Tone keypad.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 10-26 Tone generation filter.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 10-30 DTMF generator.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 10-31 DTMF receiver.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.