高等院校非数学类本科数学课程高等院校非数学类本科数学课程大大 学学 数数 学学（三）（三）（三）（三）多元微积分学多元微积分学 第一章第一章 多元函数微分学多元函数微分学第一章 多元函数微分学本章学习要求：1.理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。2.知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。3.理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。4.熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。5.理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。6.会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。7.知道二元函数的泰勒公式形式。8.知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。9.熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。10.了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11.11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟12. 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。13.12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约14. 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉15. 格朗日乘数法求条件极值。16.13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些17. 较简单的最大值和最小值的应用问题。第四节第四节第四节第四节 全微分全微分全微分全微分方向导数方向导数方向导数方向导数梯度梯度梯度梯度 我们以二元函数为主我们以二元函数为主, , 进行讲解进行讲解, , 所得结所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中论可容易地推广至三元和三元以上的函数中. .一一. . 全微分全微分回忆一元函数的微分可微可导运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.一元函数的增量多元函数的全增量回忆一元微分的几何意义回忆一元微分的几何意义yDyd 一元: 用切线上的增量近似曲线上的增量. 多元: 用切平面上的增量近似曲面上的增量.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量二元函数全微分的定义二元函数全微分的定义时, 若函数在点 X0 处的全增量可则称函数在点 X0 处可微, 设函数在点的某一邻域称为函数在点 X0 处的全微分, 其中, a , b 是与DX内有定义, 当获得增量且表示为 0有关的常数.无关,仅与 X全微分概念的极限形式其中其中如果函数在区域 中的 每一点均可微, 则称函数在区域 上可微 .函数在区域上的可微性函数在区域上的可微性可微连续可导? 在多元函数中, 三者的关系如何？连续：连续：可微与连续的关系可微与连续的关系可微与连续的关系可微与连续的关系可微与连续的关系可微与连续的关系( ( ( ( ( (可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件) ) ) ) ) )可微：可微：什么关系什么关系什么关系什么关系? ?函数在点 X0 处可微,则必在点 X0 处连续 .可微与连续的关系可微与连续的关系可微与连续的关系可微与连续的关系可微与连续的关系可微与连续的关系( ( ( ( ( (可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件) ) ) ) ) )可微连续可导?在多元函数中在多元函数中, , 可微可微连续连续可微与可导的关系可微与可导的关系可微与可导的关系可微与可导的关系可微与可导的关系可微与可导的关系( ( ( ( ( (可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件可微的必要条件) ) ) ) ) )可微：可微：定理定理若函数可微若函数可微, , 则则即即同理同理, , 取取证证可微连续可导在多元函数中在多元函数中, , 可微可微可偏导可偏导可微连续可导在多元函数中在多元函数中, , 可微可微可偏导可偏导在多元函数中在多元函数中, ,可偏导可偏导可微可微? 例例在点在点 (0, 0) 处连续处连续, , 且有有界的偏导数且有有界的偏导数, , 但不可微但不可微. . 该例留给学生课后研讨 参考书：高等数学中的反例 朱 勇等编 华中工学院出版社 1986年 p 120130逆命题逆命题? ?可 微连续可导连 续可 导连续可导连续可导Ok二元函数可微的充分条件二元函数可微的充分条件二元函数可微的充分条件二元函数可微的充分条件定理定理利用微分中值定理利用微分中值定理由偏导数的连续性由偏导数的连续性要证明函数要证明函数 f ( x , y ) 在点在点 处可微处可微, , 即即要证要证证证故故同理同理其中其中为该极限过程中的无穷小量为该极限过程中的无穷小量. .从而从而, , 函数的全增量函数的全增量又又即函数即函数 f ( x , y ) 在点在点 处可微处可微. . 故由夹逼定理故由夹逼定理, ,得得如果函数在区域中具有连续偏导数和, 则称函数为区域中的类函数 , 记为当不强调区域时, 记为全微分的计算全微分的计算请同学自己看书请同学自己看书请同学自己看书请同学自己看书! ! 将将 y, z 看成常数看成常数: : 将将 x , z 看成常数看成常数: : 例例解解 将将 x , y 看成常数看成常数: :故故 例例解解回头看全微分公式回头看全微分公式这与物理中的叠加原理相符.二二二二. . . . 方向导数方向导数方向导数方向导数回忆一元函数的单侧导数回忆一元函数的单侧导数: :ABCxOyz.P0Pl.利用点函数推广到方向导数的定义方向导数的定义 设函数在内有定义.若点 沿射线 l 趋于时, 极限l 方向的方向导数. 记为存在, 则称该极限值为函数在点处沿比较方向导数与偏导数的概念比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中, 分母在偏导数中, 分母可正、可负.即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时,方向导数与偏导数也是两个不同的概念.单向双向 利用直线方程可将方向导数的定义表示为利用直线方程可将方向导数的定义表示为: :射线 l 的方程:则故怎么计算方向导数？方向导数导计算公式方向导数导计算公式若函数在点处可微,则函数在点处沿任一方向的方向导数存在, 且其中, 各偏导数均为在点处的值.定理定理 例例解解由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处向导数值都等于 1:的两个偏导数均不存在, 但它在该点沿任何方向的方向导数均存在, 且方此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件. 例例只与函数在点只与函数在点 X0 处的偏导数有关处的偏导数有关. .1一个问题：一个问题：该问题仅在不同时为零才有意义.在给定点沿什么方向增加得最快?可微函数现在正式给出的定义grad u且且三三三三. . . . 梯度梯度梯度梯度定义定义设则称向量为函数在点处的梯度, 记为或 梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致, 而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值. 以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中.在中在中可统一表示为从而从而 例例解解设点电荷 q 位于坐标原点, 在点处的电位为其中,为介电系数,求电位 v 的梯度. 其中, 负号说明离点电荷越远, 电位越低, 即电位梯度的方向与电场 E 的方向相反.自己计算一下这一步自己计算一下这一步. . 例例解解 梯度及其运算公式的参考书 工程数学 矢量分析与场论谢树艺 高等教育出版社 1985年谢谢观看！谢谢观看！