第二讲第二讲 相似矩阵的概念相似矩阵的概念二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质三、方阵相似对角化的条件三、方阵相似对角化的条件 一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1则称矩阵则称矩阵 A 相似于矩阵相似于矩阵 B. 一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念定义定义 设设 A , B 为为 n 阶矩阵阶矩阵, P 为为 n 阶可逆阶可逆矩阵矩阵, 且且P -1AP = B , 对对 A 进行运算进行运算P -1AP 称为对称为对 A 进行相似变进行相似变换，可逆矩阵换，可逆矩阵 P 称为把称为把 A 变成变成 B 的相似变换矩的相似变换矩阵阵.2例如：例如：因为因为所以所以A与与B相似相似.3二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质 相似描述了矩阵之间的一种关系相似描述了矩阵之间的一种关系, , 这种关系这种关系具有下面的性质具有下面的性质: :(1)(1)反身性反身性.本身相似本身相似与AA(2)(2)对称性对称性.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA( (3)3)传递性传递性.,相似相似与与则则相似相似与与相似相似与与若若CACBBA4以下设以下设A，B 是同阶矩阵是同阶矩阵.因而因而 A与与B有相同的特征多项式和特征值有相同的特征多项式和特征值. 性质性质 1 若矩阵若矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 相似相似, 则则|A - E| = |B - E| , 相似的矩阵具有一些共性，也称为相似的矩阵具有一些共性，也称为相似不变性相似不变性：证明证明: 因为因为 A与与B相似相似, 所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵P使使得得5相似变换是不改变特征值的变换相似变换是不改变特征值的变换推论推论 若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵与对角矩阵 = diag( 1 , 2 , , n)相似，则相似，则 1 , 2 , , n 即是即是 A 的的 n 个特征值个特征值.6g(A) 与与 g(B) 相似相似. 证明略证明略. .性质性质3 3 若矩阵若矩阵 A 与与 B 相似相似, k 是常数是常数, m 是是正整数正整数, g(x) = a0xm + a1xm-1 + + am , 则则kA 与与 kB 相似相似,Am 与与 Bm 相似相似,性质性质2 2 若矩阵若矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 相似相似, ,且矩阵且矩阵 A可逆可逆, , 则矩阵则矩阵 B 也可逆也可逆, , 且且 A-1 与与 B-1 相似相似. .7例例1 1 设设 与与相似相似. 试求试求 之值之值.解：解：根据相似矩阵的性质知根据相似矩阵的性质知，5，-4是是A的特征值的特征值，所以所以由第二个等式得由第二个等式得x=4，又又tr(A)=tr( )，可得可得 y=5.8些运算些运算. . 例例2 2 设设在矩阵的运算中在矩阵的运算中, , 对角矩阵的运算很简便对角矩阵的运算很简便, , 如如果一个矩阵能够相似于对角矩阵果一个矩阵能够相似于对角矩阵, , 则可能简化某则可能简化某请看下例请看下例计算计算Ak .9记为记为 .直接计算直接计算, , 运算量很运算量很大也不易大也不易找出规律找出规律. .利用利用A A 相相似于对角似于对角矩阵的性矩阵的性质质. .10相应的可逆矩阵相应的可逆矩阵 P ? 那么那么, , 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵是否每个矩阵都能相似于对角矩阵? ? 如如果能相似于对角矩阵果能相似于对角矩阵, , 怎样求出这个对角矩阵及怎样求出这个对角矩阵及下面我们就来讨论这个问题下面我们就来讨论这个问题. .11定理定理 n 阶矩阵阶矩阵 A 相似于对角矩阵相似于对角矩阵 的充的充要条件是要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.推论推论 若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个不同的特征值个不同的特征值, , 则则A 必能相似于对角矩阵必能相似于对角矩阵. 根据特征向量的性质：根据特征向量的性质：“属于不同特征值的特征向量属于不同特征值的特征向量线性无关线性无关” 知知, , 若若A有有n n个不同的特征值，则个不同的特征值，则A必有必有n n个线个线性无关的特征向量，因此性无关的特征向量，因此A A可以对角化可以对角化. . 有重特征值的方阵有重特征值的方阵A，有可能不可对角化，也有可，有可能不可对角化，也有可能可对角化能可对角化. . 方阵方阵A能否对角化能否对角化, , 关键在于属于多重特关键在于属于多重特征值的线性无关特征向量的个数征值的线性无关特征向量的个数. .三、矩阵可对角化的条件三、矩阵可对角化的条件12 例例 3 设有矩阵设有矩阵问矩阵问矩阵 A 是否可对角化？是否可对角化？ 解：矩阵解：矩阵 A的的特征多项式为特征多项式为13所以所以 A 的三个特征值分别为的三个特征值分别为:由推论知，则由推论知，则A 必能相似于对角矩阵必能相似于对角矩阵.142 2、方阵相似对角化的条件、方阵相似对角化的条件. . 1 1、相似矩阵和相似变换的概念；、相似矩阵和相似变换的概念； 小结：小结：15