第二章第二章 1. 1. 相遇和追及问题的实质相遇和追及问题的实质相遇和追及问题的实质相遇和追及问题的实质2. 2. 画出物体运动的情景图，理清三大关系画出物体运动的情景图，理清三大关系画出物体运动的情景图，理清三大关系画出物体运动的情景图，理清三大关系 两者速度相等。两者速度相等。两者速度相等。两者速度相等。它往往是物体间能否追上或它往往是物体间能否追上或它往往是物体间能否追上或它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。的切入点。的切入点。的切入点。 研究的两物体能否在研究的两物体能否在研究的两物体能否在研究的两物体能否在相同的时刻相同的时刻相同的时刻相同的时刻到达到达到达到达相同的空相同的空相同的空相同的空间位置间位置间位置间位置的问题。的问题。的问题。的问题。（1 1 1 1）时间关系时间关系时间关系时间关系（2 2 2 2）位移关系）位移关系）位移关系）位移关系（3 3 3 3）速度关系）速度关系）速度关系）速度关系3. 两种典型追及问题两种典型追及问题（1 1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）当当当当v v1 1=v=v2 2时，时，时，时，A A A A未追上未追上未追上未追上B B B B，则，则，则，则A A A A、B B B B永不相遇，此时永不相遇，此时永不相遇，此时永不相遇，此时两者间有最小距离；两者间有最小距离；两者间有最小距离；两者间有最小距离；v1av2v1 v2AB当当当当v v1 1=v=v2 2时，时，时，时，A A A A恰好追上恰好追上恰好追上恰好追上B B B B，则，则，则，则A A A A、B B B B相遇一次，也相遇一次，也相遇一次，也相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；是避免相撞刚好追上的临界条件；是避免相撞刚好追上的临界条件；是避免相撞刚好追上的临界条件；当当当当v v1 1v v2 2时，时，时，时，A A A A已追上已追上已追上已追上B B B B，则，则，则，则A A A A、B B B B相遇两次，且之相遇两次，且之相遇两次，且之相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。后当两者速度相等时，两者间有最大距离。后当两者速度相等时，两者间有最大距离。后当两者速度相等时，两者间有最大距离。（2 2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）速度大者（匀速）速度大者（匀速）速度大者（匀速）当当当当 v v1 1=v=v2 2 时，时，时，时，A A A A、B B B B距离最大；距离最大；距离最大；距离最大；当两者位移相等时，有当两者位移相等时，有当两者位移相等时，有当两者位移相等时，有 v v1 1=2v=2v2 2 且且且且A A A A追上追上追上追上B B B B。A A A A追上追上追上追上B B B B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。av2ABv1=0vBAtov2t0v12t04. 相遇和追及问题的常用解题方法相遇和追及问题的常用解题方法画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。（1 1）基本公式法）基本公式法）基本公式法）基本公式法根据运动学公式，把时间关系渗根据运动学公式，把时间关系渗根据运动学公式，把时间关系渗根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。透到位移关系和速度关系中列式求解。透到位移关系和速度关系中列式求解。透到位移关系和速度关系中列式求解。（2 2）图象法）图象法）图象法）图象法正确画出物体运动的正确画出物体运动的正确画出物体运动的正确画出物体运动的v-tv-tv-tv-t图象，根据图象，根据图象，根据图象，根据图象的斜率、截距、面积的物理意义图象的斜率、截距、面积的物理意义图象的斜率、截距、面积的物理意义图象的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系结合三大关系结合三大关系结合三大关系求求求求解。解。解。解。 （3 3）数学方法）数学方法）数学方法）数学方法根据运动学公式列出数学关系式根据运动学公式列出数学关系式根据运动学公式列出数学关系式根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中判别式求解。判别式求解。判别式求解。判别式求解。例例例例1. A1. A火车以火车以火车以火车以v v1 1=20m/s=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同速度匀速行驶，司机发现前方同速度匀速行驶，司机发现前方同速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距轨道上相距轨道上相距轨道上相距100m100m处有另一列火车处有另一列火车处有另一列火车处有另一列火车B B正以正以正以正以v v2 2=10m/s=10m/s速度匀速度匀速度匀速度匀速行驶，速行驶，速行驶，速行驶，A A车立即做加速度大小为车立即做加速度大小为车立即做加速度大小为车立即做加速度大小为a a的匀减速直线运动。的匀减速直线运动。的匀减速直线运动。的匀减速直线运动。要使两车不相撞，要使两车不相撞，要使两车不相撞，要使两车不相撞，a a应满足什么条件？应满足什么条件？应满足什么条件？应满足什么条件？解1：（公式法）两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由由由由A A A A、B B B B 速度关系：关系：关系：关系： 由由由由A A A A、B B B B位移关系：关系：关系：关系： ( ( ( (包含包含包含包含时间关系关系关系关系) ) ) )v/ms-1B BA At/so10t020在同一个在同一个在同一个在同一个v-tv-tv-tv-t图中画出图中画出图中画出图中画出A A A A车和车和车和车和B B B B车的速度时间图像图线，车的速度时间图像图线，车的速度时间图像图线，车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，形的面积与矩形面积的差，形的面积与矩形面积的差，形的面积与矩形面积的差，当当当当t=tt=tt=tt=t0 0 0 0时梯形与矩形的面时梯形与矩形的面时梯形与矩形的面时梯形与矩形的面积之差最大积之差最大积之差最大积之差最大, , , ,为图中阴影部分三角形的面积为图中阴影部分三角形的面积为图中阴影部分三角形的面积为图中阴影部分三角形的面积. . . .根据题意根据题意根据题意根据题意, , , ,阴影部分三角形的面积不能超过阴影部分三角形的面积不能超过阴影部分三角形的面积不能超过阴影部分三角形的面积不能超过100 .100 .100 .100 .物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。解2：（图像法） 代入数据得代入数据得代入数据得代入数据得 若两车不相撞，其位移关系应为若两车不相撞，其位移关系应为若两车不相撞，其位移关系应为若两车不相撞，其位移关系应为其图像其图像其图像其图像( ( ( (抛物线抛物线抛物线抛物线) ) ) )的顶点纵坐标必为正值的顶点纵坐标必为正值的顶点纵坐标必为正值的顶点纵坐标必为正值, , , ,故有故有故有故有解3：（二次函数极值法）把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。例例例例2.2.一辆汽车在十字路口等候，当绿亮时汽车以一辆汽车在十字路口等候，当绿亮时汽车以一辆汽车在十字路口等候，当绿亮时汽车以一辆汽车在十字路口等候，当绿亮时汽车以3m/s3m/s2 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最大？此时距离是多少？车相距最大？此时距离是多少？车相距最大？此时距离是多少？车相距最大？此时距离是多少？ x汽汽x自自x解1：（公式法）当汽车的速度与自行车的当汽车的速度与自行车的当汽车的速度与自行车的当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的速度相等时，两车之间的速度相等时，两车之间的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间距离最大。设经时间距离最大。设经时间距离最大。设经时间t t t t两两两两车之间的距离最大。则车之间的距离最大。则车之间的距离最大。则车之间的距离最大。则v-tv-tv-tv-t图像的斜率表示物体的加图像的斜率表示物体的加图像的斜率表示物体的加图像的斜率表示物体的加速度速度速度速度当当当当t=2st=2st=2st=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律v/ms-1自行车自行车自行车自行车汽车汽车汽车汽车t/so6t0解2：（图像法）在同一个在同一个在同一个在同一个v-tv-tv-tv-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，图中画出自行车和汽车的速度时间图像，图中画出自行车和汽车的速度时间图像，图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中三根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中三根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中三根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中三角形的面积与矩形面积的差，角形的面积与矩形面积的差，角形的面积与矩形面积的差，角形的面积与矩形面积的差，当当当当t=tt=tt=tt=t0 0 0 0时矩形与三角形时矩形与三角形时矩形与三角形时矩形与三角形的面积之差最大。的面积之差最大。的面积之差最大。的面积之差最大。设经过时间设经过时间设经过时间设经过时间t t t t汽车和自行车汽车和自行车汽车和自行车汽车和自行车之间的距离之间的距离之间的距离之间的距离xxxx，则，则，则，则x汽汽x自自x思考：汽车经过多少时间能追上自行车思考：汽车经过多少时间能追上自行车思考：汽车经过多少时间能追上自行车思考：汽车经过多少时间能追上自行车? ?此时汽车的速度此时汽车的速度此时汽车的速度此时汽车的速度是多大是多大是多大是多大? ?汽车运动的位移又是多大？汽车运动的位移又是多大？汽车运动的位移又是多大？汽车运动的位移又是多大？解3：（二次函数极值法）例例例例4. A4. A、B B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B B车在车在车在车在A A车前车前车前车前84 m84 m处时，处时，处时，处时，B B车速度为车速度为车速度为车速度为4 m/s4 m/s，且正以，且正以，且正以，且正以2 2 m/sm/s2 2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B B车车车车加速度突然变为零。加速度突然变为零。加速度突然变为零。加速度突然变为零。A A车一直以车一直以车一直以车一直以20 m/s20 m/s的速度做匀速的速度做匀速的速度做匀速的速度做匀速运动。经过运动。经过运动。经过运动。经过12 s12 s后两车相遇。问后两车相遇。问后两车相遇。问后两车相遇。问B B车加速行驶的时间车加速行驶的时间车加速行驶的时间车加速行驶的时间是多少？是多少？是多少？是多少？解：设解：设解：设解：设A A A A车的速度为车的速度为车的速度为车的速度为v v v vA A A A，B B B B车加速行驶时间为车加速行驶时间为车加速行驶时间为车加速行驶时间为t t t t，两车，两车，两车，两车在在在在t t t t0 0 0 0时相遇。则有时相遇。则有时相遇。则有时相遇。则有式中，式中，式中，式中，t t t t0 0 0 0=12s=12s=12s=12s，s s s sA A A A 、s s s sB B B B分别为分别为分别为分别为A A A A、B B B B两车相遇前行驶两车相遇前行驶两车相遇前行驶两车相遇前行驶的路程，依题意有的路程，依题意有的路程，依题意有的路程，依题意有式中，式中，式中，式中，s=84ms=84ms=84ms=84m，由，由，由，由式得解得：式得解得：式得解得：式得解得：代入题给数据代入题给数据代入题给数据代入题给数据vA20 m/s，vB4 m/s，a2 m/s2，得：得：得：得：解得：解得：解得：解得： t16 s，t218 s（t t t t2 2 2 2不合题意舍去）不合题意舍去）不合题意舍去）不合题意舍去）因此，因此，因此，因此，B B B B车加速行驶的时间为车加速行驶的时间为车加速行驶的时间为车加速行驶的时间为 6 s6 s6 s6 s。画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，确定它们的位移、时间、速度三大关系。【例例5 5】在平直的公路上，自行车与同方向行在平直的公路上，自行车与同方向行驶的一汽车同时经过驶的一汽车同时经过A A点，自行车以点，自行车以v= 4m/sv= 4m/s速速度做匀速运动，汽车以度做匀速运动，汽车以v v0 0=10 m/s=10 m/s的初速度，的初速度，a= 0.25m/sa= 0.25m/s2 2 的加速度做匀减速运动的加速度做匀减速运动. .试求，经过多长时间自行车追上汽车试求，经过多长时间自行车追上汽车? ?典型问题典型问题3：匀速追匀减速：匀速追匀减速【解析解析】由追上时两物体位移相等由追上时两物体位移相等s s1 1=vt=vt，s s2 2=v=v0 0t-(1/2)att-(1/2)at2 2 s s1 1=s=s2 2一定要特别注意追上前该一定要特别注意追上前该物体是否一直在运动！物体是否一直在运动！t=48s. 但汽车刹车后只能运动但汽车刹车后只能运动t=vt=v0 0/a=40s/a=40s所以，汽车是静止以后再被追上的！所以，汽车是静止以后再被追上的！上述解答是错误的上述解答是错误的汽车刹车后的位移汽车刹车后的位移. .所用时间为所用时间为在这段时间内，自行车通过的位移为在这段时间内，自行车通过的位移为可见可见S S自自S S汽汽，即自行车追上汽车前，汽车已停下，即自行车追上汽车前，汽车已停下【解析解析】自行车追上汽车所用时间自行车追上汽车所用时间练习1 ： 甲车以甲车以6m/s6m/s的速度在一平直的的速度在一平直的公路上匀速行驶，乙车以公路上匀速行驶，乙车以18m/s18m/s的速度从后面的速度从后面追赶甲车，若在两车相遇时乙车撤去动力，追赶甲车，若在两车相遇时乙车撤去动力，以大小为以大小为2m/s2m/s2 2的加速度做匀减速运动，则再的加速度做匀减速运动，则再过多长时间两车再次相遇？再次相遇前何时过多长时间两车再次相遇？再次相遇前何时相距最远？最远距离是多少？相距最远？最远距离是多少？答案：答案：13.5s13.5s； 6s; 36m6s; 36m。练习练习2 2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为匀速行驶，速度均为V V0 0，若前车突然以恒定加速度刹，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为车，已知前车在刹车过程中所行的距离为S S，若要，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为：时应保持的距离至少为：A S. B 2S C. 3S A S. B 2S C. 3S D 4SD 4SA甲甲乙乙v0v0B公式法公式法图象法图象法AAS甲甲乙乙乙乙A甲甲甲甲因两车刹车的加速度相同，所以刹车后的位移相等因两车刹车的加速度相同，所以刹车后的位移相等若甲车开始刹车的位置若甲车开始刹车的位置在在A A点，点， 则两车处于相撞的临界态则两车处于相撞的临界态在在A A点左方，则两车不会相撞点左方，则两车不会相撞在在A A点右方，则两车相撞点右方，则两车相撞v0v0前车刹车所用时间前车刹车所用时间恰好不撞对应甲车在这段时间里恰好不撞对应甲车在这段时间里刚好运动至刚好运动至A A点且开始刹车点且开始刹车其位移其位移所以两车相距至少要有所以两车相距至少要有2S2S解答：解答：S SS SS Sv vO Ot t1 1 t tB BD Dv v0 0A AC Ct t2 2图中图中AOC AOC 面积为前面积为前车刹车后的位移车刹车后的位移梯形梯形ABDOABDO面积为前车面积为前车刹车后后车的位移刹车后后车的位移ACDBACDB面积为后车多面积为后车多走的位移走的位移 也就是为使两车不也就是为使两车不撞撞, ,至少应保持的距至少应保持的距离离图象法：图象法：