第八章 第七节第七节一、方向一、方向导数数 二、梯度二、梯度 三、物理意三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向一、方向导数数定定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向方向导数数.在点 处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作作 方向方向导数数实质上是函数在一点上是函数在一点处沿某一方向的沿某一方向的变化率。化率。定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有对于二元函数为, ) 的方向导数为向角定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有该定理定理对于多元函数任然成立于多元函数任然成立特特别: : 当 l 与 x 轴同向例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向导数 .解解: 向量 l 的方向余弦为例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为例例3. 设是曲面在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：1. 定定义即称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),说明明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意梯度的几何意义同样，三元函数在点处的梯度 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,称为函数 f 的等等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式例例4. 求求解解:例例5. 求求三、物理意三、物理意义函数(物理量的分布)数量数量场 (数量函数)场向量向量场(向量函数)可微函数梯度梯度场( 势 )如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.内容小内容小结1. 方向方向导数数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为2. 梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.思考与思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切切线方方向向 的夹角 .2. P73 题 16曲线1. (1)在点解答提示解答提示:函数沿 l 的方向导数M (1,1,1) 处切线的方向向量2. P73 题 16P51 2，6，7 作作业题 1. 函数在点处的梯度解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A2. 函数提示提示:则