相似三角形的性质23.3.3学习目标学习目标1.在理解相似三角形基本性质的在理解相似三角形基本性质的基础上基础上, ,掌握相似三角形对应中线、掌握相似三角形对应中线、对应高线、对应角平分线的比等对应高线、对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比于相似比，周长的比等于相似比, ,面积的比等于相似比的平方。面积的比等于相似比的平方。2.通过实践体会相似三角形的性通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题。质，会用性质解决相关的问题。1.1.相似三角形有何特征？相似三角形有何特征？（对应边成比例，对应角相等）（对应边成比例，对应角相等）2.2.识别三角形相似的主要方法有识别三角形相似的主要方法有那些？那些？两个角对应相等的两个三角形相似。两个角对应相等的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似个三角形相似 。三边对应成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。 1. 1.如图如图, , ABC ABC, 相似比为相似比为K, AD、AD分别为分别为ABC和和ABC的高，的高， 求证求证：AD: AD=KABCDABCD2.2.如图如图, , ABC ABC, 相似比为相似比为K, AD、AD分别为分别为ABC和和ABC的中线，的中线， 求证求证：AD: AD=KCABCDABD 3. 3.如图如图, , ABC ABC, 相似比为相似比为K, AD、AD分别为分别为ABC和和ABC的角平分线，求的角平分线，求证证：AD: AD=KABCDBACD 4. 4.如图如图, , ABC ABC, 相似比为相似比为K,AD、AD分别为分别为ABC和和ABC的高，的高， 求证求证:ABC ：ABC的值的值ABCDABCD相似三角形性质相似三角形性质: 相似三角形对应高的比、对相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。比、周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相相似三角形面积的比等于相似比的平方。似比的平方。一、相似三角形的基本性质：一、相似三角形的基本性质： 对应边成比例，对应角相等对应边成比例，对应角相等二、相似三角形的性质：二、相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平相似三角形面积的比等于相似比的平方。方。例例1 1：如图，：如图，ABC ABC，它，它们的周长分别是们的周长分别是60厘米和厘米和72厘米，厘米，且且AB=15厘米，厘米，BC=24厘米。求：厘米。求：BC、AC、AB、AC。CBACBA例例2:2:有同一块三角形土地的甲有同一块三角形土地的甲、乙乙两幅地图，比例尺分别为两幅地图，比例尺分别为1：200和和1：500，求甲地图与乙地图的相似，求甲地图与乙地图的相似比和面积比。比和面积比。解解因为因为甲、乙两幅地图都与这块三角形土地相似，甲、乙两幅地图都与这块三角形土地相似，所以所以这两幅地图相似。这两幅地图相似。设三角形土地的某一边长为设三角形土地的某一边长为m m，甲地图的对应边为甲地图的对应边为a:200,a:200,乙地图的对应边为乙地图的对应边为a:500a:500，所以这两幅地图相似比为所以这两幅地图相似比为aa200500:=52所以所以 它们的面积比为它们的面积比为25：41.1.相相似似三三角角形形对对应应边边的的比比为为3 5 , ,那那 么么 相相 似似 比比 为为_,_,对对应应角角的的角角平平分分线线的的比比为为_,_,对对应应边边的的中中线线比比为为_，周周长长的的比比 为为 _,_,面面 积积 的的 比比 为为_。3 53 53 59 253 52.2.两个相似三角形对应的中线两个相似三角形对应的中线长分别是长分别是6cm和和18cm，若较，若较大三角形的周长是大三角形的周长是42cm，面，面积是积是12cm2, ,则较小三角形的则较小三角形的周长是周长是 cm，面积，面积 cm2。143.3.把一个三角形变成和它相似的三角把一个三角形变成和它相似的三角形，形，（1 1）如果边长扩大为原来的）如果边长扩大为原来的5倍，那倍，那么面积扩大为原来的倍。么面积扩大为原来的倍。（2 2）如果面积扩大为原来的）如果面积扩大为原来的100倍，倍，那么边长扩大为原来的倍。那么边长扩大为原来的倍。25104.4.两个相似三角形的一对对应边两个相似三角形的一对对应边分别是分别是35厘米和厘米和14 厘米，厘米，（1 1）它们的周长差）它们的周长差6060厘米，这两厘米，这两个三角形的周长分别是个三角形的周长分别是。（2 2）它们的面积之和是）它们的面积之和是58平方厘平方厘米，这两个三角形的面积分别是米，这两个三角形的面积分别是。100厘米厘米、40厘米厘米50平方厘米平方厘米、8平方厘米平方厘米 5. 如图如图, ,在在 ABCD中中, ,E是是AB上一上一点点, ,AC与与DE相交于相交于F, ,AE:EB=1:2, ,求求AEF与与CDF的相似比的相似比. .若若AEF的的面积为面积为5平方厘米平方厘米, ,求求CDF的面积。的面积。BFE DCA6. 求三角形的三条中位线所围成求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积的比的三角形与原三角形的面积的比如果把一个图形按如果把一个图形按 1 : 10 的比例的比例缩小，那么缩小后的图形与原图缩小，那么缩小后的图形与原图形的面积比是多少？形的面积比是多少？7.7.如图如图, ,在在ABC中中, ,AD:DB=1:2,DE BC, ,若若ABC的面的面积为积为9, ,求求S四边形四边形DBCEDBCEABCDE8.8.如图，在如图，在 ABCD中，中，E为为AB延长线上一点，延长线上一点，AB:AE=2:5, ,若若S DFC=12cm2，求，求S SEFBEFBDABCEF9.9.如图，在如图，在 ABCD 中中AE:EB=1:2 , ,若若S AEF=6cm2，求，求S CDFDABCFE10.10.在在ABC中中, , C=90,D是是AC上一点上一点, ,DE AB于于E, ,若若AB=10AB=10，BC=6,DE=2, ,求四边形求四边形DEBC的的面积面积ABCDE11.11.如图如图, , ABC中中, ,点点D,E,F分别在边分别在边AB, BC , AC 上，上，DF BC,EF AB , , AF:FC=2 :3，S ABC=S，求平行四边形求平行四边形BEFD的面积。的面积。 ADEFBC 12.如图如图,ABC,ABC是一是一块锐角三角形余料块锐角三角形余料, ,边边BC=120BC=120毫米毫米, ,高高AD=80AD=80毫米毫米, ,要把它要把它加工成正方形零件加工成正方形零件, ,使正方形的一边在使正方形的一边在BCBC上上, ,其余两个顶点其余两个顶点分别在分别在ABAB、ACAC上上, ,这这个正方形零件的边个正方形零件的边长是多少？长是多少？MPBNQEDCA解：设正方形解：设正方形PQMN是符合要求的，是符合要求的，ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为MNBC，所以，所以AMN ABC所以所以所以所以AEAD=MNBC13.13.如图如图, , ABC中中, ,BC=24, ,高高AD=12, ,矩形矩形EFGH的两个顶点的两个顶点E、F在在BC上上, ,另两个顶点另两个顶点G、H在在AC、AB上上, ,且且EF:EH=4:3, ,求求EF、EH的的长长ABCHEFGKD14.14.如图，如图，D、E是是ABC的边的边AB、AC上的点，且上的点，且ADE= C。求证：求证：ADAB=AEAC。 15.如图，如图，D是是ABC的边的边BC上的点，上的点，且且ADB= BAC。(1)(1)图中有相似的三角形吗？为什么？图中有相似的三角形吗？为什么？(2)求证求证：AB2=BCBD。16.16.如图在梯形如图在梯形ABCD中中, ,AD BC, , A90,BD DC, ,试问：试问：(1)请你猜想图中有相似请你猜想图中有相似三角形吗？请写出来，并说明理由。三角形吗？请写出来，并说明理由。 (2)如果如果CD 3，BC 5，你能求出，你能求出哪些线段的长？哪些线段的长？ADBC17.17.如图已知如图已知1= 2，若再增加一个条，若再增加一个条件能使结论件能使结论ABED=ADBC成立，则这成立，则这个条件可以是个条件可以是_。21ACEBD分析：分析：从角的角从角的角度思考：度思考：D= B或或AED= C 从边的角度思考从边的角度思考：AD:AB=AE:AC18.18.如图，在如图，在Rt ABC中中, ,有正方形有正方形DEFG,且且E、F在斜边在斜边BC上，上，D、G分分别在别在AB、AC上上. .试说明：试说明：EF2=BEFCGFEDCBA解：解：四边形四边形DEFG是正方形是正方形 DEB= GFC=90,EF=DE=FG. 又又 B+ C=90，B+ BDE=90 BDE= CRt BED Rt GFC BEDEFCGF= BEEFFCEF= EF2=BEFCFEDCBA19.19.如图，已知如图，已知BAC=90,BD=DC, DE BC交交AC于于E, ,交交BA的延长线于的延长线于F. .试试说明：说明：AD2=DEDF由由AD2=DEDF，得，得故只要说明故只要说明ADE FDA即可即可分析：分析：ADDEADDF=点评：点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线）证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线）1.1.相似三角形相似三角形对应高的比对应高的比等于等于相似比相似比。2.2.相似三角形相似三角形对应中线的比对应中线的比等于等于相似比相似比。3.3.相似三角形相似三角形对应角平分线的比对应角平分线的比等于等于相相似比似比。相似三角形的性质：相似三角形的性质：4.4.相似三角形相似三角形周长的比周长的比等于等于相似比相似比。5.5.相似三角形相似三角形面积的比面积的比等于等于相似比的相似比的平方平方。