5.向心加速度向心加速度向心加速度1.1.定义定义: :任何做匀速圆周运动的物体具有的指向任何做匀速圆周运动的物体具有的指向_的加速度。的加速度。2.2.匀速圆周运动中匀速圆周运动中, , 物体所受的合力方向物体所受的合力方向_,_,所以物体的加速度方向也所以物体的加速度方向也_。3.3.大小大小:a:an n= =_= =_。圆心圆心指向圆心指向圆心指向圆心指向圆心2 2r r【思考辨析】【思考辨析】(1)(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。( () )(2)(2)匀速圆周运动是匀变速运动。匀速圆周运动是匀变速运动。( () )(3)(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变。匀速圆周运动的加速度的大小不变。 ( () )(4)(4)根据根据a an n= = 知加速度知加速度a an n与半径与半径r r成反比。成反比。( () )(5)(5)根据根据a an n=2 2r r知加速度知加速度a an n与半径与半径r r成正比。成正比。( () )(6)(6)物体做匀速圆周运动时物体做匀速圆周运动时, ,速度变化量为零。速度变化量为零。 ( () )提示提示: :(1)(1)。匀速圆周运动的加速度总是指向圆心。匀速圆周运动的加速度总是指向圆心, ,所以其方向不断变化。所以其方向不断变化。(2)(2)。匀速圆周运动的加速度的方向时刻发生变化。匀速圆周运动的加速度的方向时刻发生变化, ,加速度时刻发生变化加速度时刻发生变化, ,是变加速运动。是变加速运动。(3)(3)。由于匀速圆周运动的线速度大小、角速度大小。由于匀速圆周运动的线速度大小、角速度大小不变不变, ,由由a an n= = 或或a an n=2 2r r知知, ,匀速圆周运动的加速度的匀速圆周运动的加速度的大小不变。大小不变。(4)(4)。根据。根据a an n= = 知知, ,当线速度大小一定时当线速度大小一定时, ,加速度加速度a an n与半径与半径r r成反比。成反比。(5)(5)。根据。根据a an n=2 2r r知知, ,当角速度大小一定时当角速度大小一定时, ,加速度加速度a an n与半径与半径r r成正比。成正比。(6)(6)。速度是矢量。速度是矢量, ,速度方向变化时速度方向变化时, ,速度变化量为初、速度变化量为初、末速度的矢量差。末速度的矢量差。一向心加速度的理解一向心加速度的理解【典例】【典例】(2018(2018武威高一检测武威高一检测) )下列关于向心加速度下列关于向心加速度的说法中正确的是的说法中正确的是( () )A.A.向心加速度的方向始终指向圆心向心加速度的方向始终指向圆心B.B.向心加速度的方向保持不变向心加速度的方向保持不变C.C.在匀速圆周运动中在匀速圆周运动中, ,向心加速度是恒定的向心加速度是恒定的D.D.在匀速圆周运动中在匀速圆周运动中, ,向心加速度的大小不断变化向心加速度的大小不断变化【解析】【解析】选选A A。向心加速度的方向始终指向圆心。向心加速度的方向始终指向圆心, ,和线和线速度的方向垂直速度的方向垂直, ,不改变线速度的大小只是改变线速度不改变线速度的大小只是改变线速度的方向的方向, ,由于加速度是矢量由于加速度是矢量, ,因此向心加速度是时刻变因此向心加速度是时刻变化的化的, ,向心加速度大小不变向心加速度大小不变, ,故故B B、C C、D D项错误项错误,A,A项正确。项正确。【核心归纳】【核心归纳】1.1.物理意义物理意义: :描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢, ,只能表示速度方向变化的快慢只能表示速度方向变化的快慢, ,不表示速度大小变化的不表示速度大小变化的快慢。快慢。2.2.方向特点方向特点: :(1)(1)指向圆心指向圆心: :无论是匀速圆周运动无论是匀速圆周运动, ,还是变速圆周运动还是变速圆周运动, ,向心加速度的方向都指向圆心向心加速度的方向都指向圆心( (或者说与线速度方向垂或者说与线速度方向垂直直) )。(2)(2)时刻改变时刻改变: :无论向心加速度的大小是否变化无论向心加速度的大小是否变化, ,向心加向心加速度的方向随线速度方向的改变时刻改变速度的方向随线速度方向的改变时刻改变, ,所以圆周运所以圆周运动的向心加速度是时刻改变的。动的向心加速度是时刻改变的。3.3.匀速圆周运动中的匀速圆周运动中的“变变”与与“不变不变”: :(1)“(1)“不变不变”量量: :匀速圆周运动的角速度、周期、转速匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变不变, ,线速度、加速度这两个矢量的大小不变。线速度、加速度这两个矢量的大小不变。(2)“(2)“变化变化”量量: :匀速圆周运动的线速度、加速度这两匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变个矢量的方向时刻改变, ,故它们在时刻变化。故它们在时刻变化。【易错提醒】【易错提醒】(1)(1)因为匀速圆周运动的加速度方向时刻改变因为匀速圆周运动的加速度方向时刻改变, ,所以匀所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。速圆周运动是变加速曲线运动。(2)(2)变速圆周运动中变速圆周运动中, ,物体的加速度并不指向圆心物体的加速度并不指向圆心, ,向心向心加速度只是物体的加速度在沿半径方向上的分量。加速度只是物体的加速度在沿半径方向上的分量。【过关训练】【过关训练】1.(1.(多选多选)(2018)(2018长沙高一检测长沙高一检测) )下列关于向心加速度下列关于向心加速度的说法中正确的是的说法中正确的是( () )A.A.向心加速度越大向心加速度越大, ,物体速率变化越快物体速率变化越快B.B.向心加速度越大向心加速度越大, ,物体速度的大小和方向均变化越快物体速度的大小和方向均变化越快C.C.在匀速圆周运动中在匀速圆周运动中, ,向心加速度是时刻变化的向心加速度是时刻变化的D.D.向心加速度的方向始终与速度方向垂直向心加速度的方向始终与速度方向垂直【解析】【解析】选选C C、D D。向心加速度只改变线速度的方向。向心加速度只改变线速度的方向, ,不不改变线速度的大小改变线速度的大小, ,向心加速度是描述线速度方向变化向心加速度是描述线速度方向变化的物理量的物理量, ,故故A A、B B项错误项错误; ;匀速圆周运动的向心加速度匀速圆周运动的向心加速度大小不变大小不变, ,方向时刻改变方向时刻改变, ,故向心加速度时刻变化故向心加速度时刻变化, ,不恒不恒定定, ,故故C C项正确项正确; ;向心加速度的方向始终与速度方向垂直向心加速度的方向始终与速度方向垂直, ,从而只改变线速度的方向从而只改变线速度的方向, ,而不改变线速度大小而不改变线速度大小, ,故故D D项项正确。正确。2.(20182.(2018大理高一检测大理高一检测) )关于做匀速圆周运动物体的关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向向心加速度方向, ,下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.始终指向圆心始终指向圆心B.B.与线速度方向始终相反与线速度方向始终相反C.C.与线速度方向始终相同与线速度方向始终相同D.D.始终保持不变始终保持不变【解析】【解析】选选A A。向心加速度的方向始终指向圆心。向心加速度的方向始终指向圆心, ,和线和线速度的方向垂直速度的方向垂直, ,不改变线速度的大小只是改变线速度不改变线速度的大小只是改变线速度的方向的方向, ,由于加速度是矢量由于加速度是矢量, ,因此向心加速度是时刻变因此向心加速度是时刻变化的化的, ,故故B B、C C、D D项错误项错误,A,A项正确。项正确。【补偿训练】【补偿训练】(2018(2018定西高一检测定西高一检测) )物体做匀速圆周运动过程物体做匀速圆周运动过程中中, ,其向心加速度其向心加速度 ( () )A.A.大小和方向均保持不变大小和方向均保持不变B.B.大小和方向均时刻改变大小和方向均时刻改变C.C.大小保持不变、方向时刻改变大小保持不变、方向时刻改变D.D.大小时刻改变大小时刻改变, ,方向保持不变方向保持不变【解析】【解析】选选C C。做匀速圆周运动的物体加速度是矢量。做匀速圆周运动的物体加速度是矢量, ,方向时刻指向圆心方向时刻指向圆心, ,是变化的是变化的, ,向心加速度的大小不变向心加速度的大小不变, ,故故C C项正确。项正确。二向心加速度公式的理解与应用二向心加速度公式的理解与应用【典例】【典例】(2018(2018松原高一检测松原高一检测) )关于匀速圆周运动的关于匀速圆周运动的向心加速度向心加速度a= a= 和和a=a=2 2r r。下列说法正确的是。下列说法正确的是 ( () )A.A.向心加速度与圆周运动的半径向心加速度与圆周运动的半径r r总是成反比总是成反比B.B.向心加速度与圆周运动的半径向心加速度与圆周运动的半径r r总是成正比总是成正比C.C.向心加速度的这两个公式是互相矛盾的向心加速度的这两个公式是互相矛盾的D.D.当线速度一定时当线速度一定时, ,向心加速度与半径成反比向心加速度与半径成反比; ;当角速当角速度一定时度一定时, ,向心加速度与半径成正比向心加速度与半径成正比【解析】【解析】选选D D。根据。根据a=a=2 2r r可知可知, ,在角速度一定的情况在角速度一定的情况下下, ,向心加速度与圆周运动的半径向心加速度与圆周运动的半径r r是成正比的是成正比的, ,故故A A项项错误错误; ;根据根据a= a= 可知可知, ,在线速度一定的情况下在线速度一定的情况下, ,向心加向心加速度与圆周运动的半径速度与圆周运动的半径r r是成反比的是成反比的, ,故故B B项错误项错误; ;根据根据a= a= 和和a=a=2 2r r可知可知, ,当线速度一定时当线速度一定时, ,向心加速度与半向心加速度与半径成反比径成反比; ;当角速度一定时当角速度一定时, ,向心加速度与半径成正比向心加速度与半径成正比, ,故故C C项错误项错误,D,D项正确。项正确。【核心归纳】【核心归纳】1.1.公式的推导公式的推导: :设质点沿半径为设质点沿半径为r r的圆周做匀速圆周运的圆周做匀速圆周运动动, ,在某时刻在某时刻t t位于位于A A点的速度为点的速度为v vA A, ,经过很短的时间经过很短的时间tt后运动到后运动到B B点点, ,速度为速度为v vB B, ,把速度矢量把速度矢量v vA A和和v vB B的始端移至的始端移至一点一点, ,求出速度矢量的改变量求出速度矢量的改变量v=vv=vB B-v-vA A, ,如图甲、乙所如图甲、乙所示。示。图乙中的矢量三角形与图甲中的图乙中的矢量三角形与图甲中的OABOAB是相似三角形是相似三角形, ,用用v v表示表示v vA A和和v vB B的大小的大小, ,用用l表示弦表示弦ABAB的长度的长度, ,则有则有: : 故故 所以加速度所以加速度a an n= = 而当而当tt趋近于零时趋近于零时, , 表示线速度的大小表示线速度的大小v,v,于是得于是得到到a an n= = 再由再由v=rv=r得得a an n=2 2r r。2.2.向心加速度公式向心加速度公式: :(1)a(1)an n= = =2 2r=v:r=v:由于由于v=r,v=r,所以向心加速度也可所以向心加速度也可以是以是a an n=v=v。(2)a(2)an n= =4= =42 2f f2 2r:r:由于由于= =2f,= =2f,所以向心加速所以向心加速度也可以是度也可以是a an n= =4= =42 2f f2 2r r。【易错提醒】【易错提醒】(1)(1)匀速圆周运动中匀速圆周运动中vv是初、末速度的矢量差是初、末速度的矢量差, ,不是初、不是初、末速度大小之差。末速度大小之差。(2)(2)确定两个物理量之间的关系时确定两个物理量之间的关系时, ,应确定其关系式中应确定其关系式中的变量、不变量的变量、不变量, ,当关系式中只有两个变量时当关系式中只有两个变量时, ,两者才两者才可能是正比例关系或者反比例关系。可能是正比例关系或者反比例关系。【补偿训练】【补偿训练】1.1.关于匀速圆周运动的向心加速度关于匀速圆周运动的向心加速度, ,下列说法正确的下列说法正确的是是( () )A.A.由于由于a= ,a= ,所以线速度大的物体的向心加速度大所以线速度大的物体的向心加速度大B.B.由于由于a= ,a= ,所以转动半径大的物体的向心加速度小所以转动半径大的物体的向心加速度小C.C.由于由于a=a=2 2r,r,所以角速度大的物体的向心加速度大所以角速度大的物体的向心加速度大D.D.以上结论都不正确以上结论都不正确【解析】【解析】选选D D。根据。根据a= a= 可知可知, ,线速度大的物体的向线速度大的物体的向心加速度不一定大心加速度不一定大, ,还要看半径还要看半径, ,故故A A项错误项错误; ;根据根据a= a= 可知可知, ,转动半径大的物体的向心加速度不一定小转动半径大的物体的向心加速度不一定小, ,还要还要看线速度看线速度, ,故故B B项错误项错误; ;根据根据a=a=2 2r r可知可知, ,角速度大的物角速度大的物体的向心加速度不一定大体的向心加速度不一定大, ,还要看半径还要看半径, ,故故C C项错误项错误; ;由由以上分析可知以上分析可知D D项正确。项正确。2.2.如图所示如图所示, ,半径为半径为R R的圆环竖直放置的圆环竖直放置, ,一轻弹簧一端固一轻弹簧一端固定在环的最高点定在环的最高点A,A,一端系一带有小孔穿在环上的小球一端系一带有小孔穿在环上的小球, ,弹簧原长为弹簧原长为 R R。将小球从静止释放。将小球从静止释放, ,释放时弹簧恰无释放时弹簧恰无形变形变, ,小球运动到环的最低点时速率为小球运动到环的最低点时速率为v,v,这时小球向心这时小球向心加速度的大小为加速度的大小为 ( () )【解析】【解析】选选A A。小球沿圆环运动。小球沿圆环运动, ,其运动轨迹就是圆环其运动轨迹就是圆环所在的圆所在的圆, ,轨迹的圆心就是圆环的圆心轨迹的圆心就是圆环的圆心, ,运动轨迹的半运动轨迹的半径就是圆环的半径径就是圆环的半径, ,小球运动到环的最低点时小球运动到环的最低点时, ,其向心其向心加速度的大小为加速度的大小为 , ,加速度方向竖直向上加速度方向竖直向上, ,选项选项A A正确。正确。【拓展例题】【拓展例题】考查内容考查内容: :生活中的圆周运动生活中的圆周运动【典例】【典例】如图甲所示如图甲所示, ,修正带是通过两个齿轮的相互咬修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的合进行工作的, ,其原理可简化为图乙所示。则齿轮边缘其原理可简化为图乙所示。则齿轮边缘上上A A、B B两点具有相同的两点具有相同的 ( () )A.A.线速度的大小线速度的大小B.B.周期周期C.C.向心加速度的大小向心加速度的大小D.D.角速度角速度【正确解答】【正确解答】选选A A。修正带的传动属于齿轮传动。修正带的传动属于齿轮传动,A,A与与B B的线速度大小相等的线速度大小相等; ;二者的半径不同二者的半径不同, ,由由v=rv=r可知可知A A与与B B的角速度不相等的角速度不相等, ,故故A A项正确项正确,D,D项错误项错误; ;二者角速度不相二者角速度不相等等, ,根据根据T= T= 可知可知, ,二者的周期不相等二者的周期不相等, ,故故B B项错误项错误; ;由由向心加速度公式向心加速度公式a an n= ,A= ,A的半径大于的半径大于B B的半径可知的半径可知,A,A的的向心加速度小于向心加速度小于B B的向心加速度的向心加速度, ,故故C C项错误。项错误。