学习内容学习内容 实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。 学习目的和要求学习目的和要求 目的：目的：静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起到重要作用。到重要作用。 要求：要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。熟练掌握图乘法求位移。第四章第四章虚位移原理与静定结构的位移计算虚位移原理与静定结构的位移计算第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 1、结构的位移、结构的位移杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。变形变形是指结构原有形状和尺寸的改变；是指结构原有形状和尺寸的改变；位移位移是指结构上各点位置产生的变化是指结构上各点位置产生的变化线位移（位置移动）线位移（位置移动）角位移（截面转动）。角位移（截面转动）。思考：变形与位移的差别？思考：变形与位移的差别？两者之间的关系：两者之间的关系：两者之间的关系：两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一有变形必有位移；有位移不一有变形必有位移；有位移不一有变形必有位移；有位移不一定有变形。定有变形。定有变形。定有变形。第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 形状的改变称变形；位置的改变称位移形状的改变称变形；位置的改变称位移 Ay Ax AAAB Ax Bx AB= Ax+ BxAAB无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还是相对位移统称是相对位移统称广义位移广义位移绝对位移绝对位移相对位移相对位移FP第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 2、结构位移计算的目的、结构位移计算的目的(1) (1) 结构刚度验算的要求。结构刚度验算的要求。吊车梁允许的挠度吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位高度。最大层间位移移 1/800层高层高(3) (3) 为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础. .(2) (2) 施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取施工措施预先知道结构的变形情况，以便采取施工措施; ; 第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 如屋架在竖向荷如屋架在竖向荷载作用下，下弦载作用下，下弦各结点产生虚线各结点产生虚线所示位移。所示位移。将各下弦杆做得将各下弦杆做得比实际长度短些，比实际长度短些，拼装后下弦向上拼装后下弦向上起拱。起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。建筑起拱第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 3、产生位移的主要原因、产生位移的主要原因各种因素对静定结构的影响各种因素对静定结构的影响内力内力变形变形位移位移荷载荷载温度改变或温度改变或材料胀缩材料胀缩支座移动或支座移动或制造误差制造误差产生位移的主要原因主要三种：产生位移的主要原因主要三种：荷载作用、荷载作用、温度改变和材料胀缩、温度改变和材料胀缩、支座移动和制造误差。支座移动和制造误差。 4 4 体系特征假定体系特征假定(3) (3) 理想联结理想联结叠加原理适用叠加原理适用(1) (1) 线弹性线弹性(2) (2) 小变形小变形可以利用虚功概念计算结构的位移第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 1、功的概念、功的概念功功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作用点的运动路程上对物体作用的效果。用点的运动路程上对物体作用的效果。功功 = = 力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移 理解为广义力理解为广义力广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 实实实实功功功功：力在自身所产生的位移上所作的功。力在自身所产生的位移上所作的功。(1) 常力作功常力作功SFP (2) 变力作功变力作功FP（力与位移有因果关系）（力与位移有因果关系）O第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 虚功虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。：力在非自身所产生的位移上所作的功。（力与位移相互独立）（力与位移相互独立）FP1FP2（此过程力保持为常量）（此过程力保持为常量）虚功具体有两种情况：虚功具体有两种情况： 1 作功双方其一是虚设的；作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。作功双方均是实际存在的，但彼此无关。第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 注意：定义定义“功功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功时对产生位移的原因没有给予限制，作功的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则称称实功实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称虚功虚功；为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念：为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念：1.凡与力相关的因子均称凡与力相关的因子均称广义力广义力（如集中力、分布（如集中力、分布力，力偶等）力，力偶等）2.凡与位移相关的因子均称凡与位移相关的因子均称广义位移广义位移（如线位移、（如线位移、角位移等）角位移等） ：结构产生的各种位移，包括截面的线位移、结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。等都可泛称为广义位移。 广义位移广义位移 ：与与广广义义位位移移对对应应的的就就是是广广义义力力，可可以以是是一一个个集集中中力力，集集中中力力偶偶或或一一对对大大小小相相等等方方向向相相反反的的力或力偶，也可以是一组力系力或力偶，也可以是一组力系。 注注意意：广广义义位位移移与与广广义义力力的的对对应应关关系系，能能够够在在某某一一组组广广义义位位移移上上做做功功的的力力系系，才才称为与这组广义位移对应的广义力。称为与这组广义位移对应的广义力。 广义力广义力第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力；作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力；未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变形称形称虚变形虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。虚变形是合理的，但不一定是真实的。虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却是确定的，真实变形是虚变形中的一个。是确定的，真实变形是虚变形中的一个。广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必须具有功的量纲。须具有功的量纲。回顾（1）质点系的虚功原理 具有理想约束的质点系，在某一位具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：置处于平衡的必要和充分条件是：fi ri=0. 对于任何对于任何可能可能的虚位移，作用于质的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为点系的主动力所做虚功之和为零零。也。也即即（2）刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。虚功之和为零。FPPB-FPP+FBB=0第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 2 2 虚功原理虚功原理（1 1）刚体系的虚功原理）刚体系的虚功原理刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。（2 2）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等恒等于变形体各于变形体各微段外力微段外力在在微段变形微段变形上作的虚功之和上作的虚功之和 Wi i。也即恒有如下虚功方程成立：也即恒有如下虚功方程成立： We = Wi变形体虚功原理的必要性证明变形体虚功原理的必要性证明: :FNM+dMMq刚体位移变形力状态力状态（满足平衡条件）（满足平衡条件）位移状态位移状态（满足约束条件）（满足约束条件）FN dFNFSFS dFS第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 按外力虚功和内力虚功计算按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段虚功总和 = = 微段外力虚功微段外力虚功 + + 微段内力虚功微段内力虚功所以所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系d Wz=d We+d Wi Wz= We+ Wi Wz= We Wi = 0第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 按刚体虚功和变形虚功计算按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段虚功总和 = = 微段刚体虚功微段刚体虚功 + + 微段变形虚功微段变形虚功所以所以基于平衡状态的刚体虚功原理基于平衡状态的刚体虚功原理d Wz= d Wg+d Wid WZ = d Wid Wg = 0 Wz = Wi故有故有 Wz= We Wi第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 对于直杆体系，由于变形互不耦连，有对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:虚功方程虚功方程内力总虚功内力总虚功外力总虚功外力总虚功 力状态的外力和内力都是不变的常力；力状态的外力和内力都是不变的常力；“虚虚”仅仅表明作功双方是相互独立的。当一仅仅表明作功双方是相互独立的。当一方是真实的时候，另一方即可按要求假设。方是真实的时候，另一方即可按要求假设。 当体系没有变形时当体系没有变形时Wi= 0 ,即即 We= 0。说明说明刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例; ;原理说明：第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 从变形类型看从变形类型看：即可以考虑弯曲变形，也可考虑拉伸和剪切：即可以考虑弯曲变形，也可考虑拉伸和剪切变形；变形； 虚功原理的虚功原理的结论具有普遍性。表现在：结论具有普遍性。表现在： 从变形因素看从变形因素看：即可以考虑荷载作用引起的位移，也可考虑：即可以考虑荷载作用引起的位移，也可考虑温度改变和支座移动引起的位移；温度改变和支座移动引起的位移；从结构类型看从结构类型看：即可用于静定结构，又可用于超静定结构；：即可用于静定结构，又可用于超静定结构；从材料性质看从材料性质看：即可用于线弹性结构，又可用于非弹性结构。：即可用于线弹性结构，又可用于非弹性结构。第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 由于作功双方地位平等，所以可虚拟任何一方，由此原理由于作功双方地位平等，所以可虚拟任何一方，由此原理可有两个方面的应用：可有两个方面的应用： 虚功方程同时应用了平衡条件和变形连续条件，因虚功方程同时应用了平衡条件和变形连续条件，因此方程是即可用来代替几何方程，又可代替平衡此方程是即可用来代替几何方程，又可代替平衡方程的综合方程。方程的综合方程。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡问题来求解。 虚力原理虚力原理 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解。 虚位移原理虚位移原理第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 单位荷载法单位荷载法 (Dummy-UnitLoadMethod) 是是 Maxwell,1864和和Mohr, 1874 1874提出，故也称为提出，故也称为Maxwell-MohrMethod。 用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移使虚拟力的虚功正好等于所求位移，故称为单位荷载法故称为单位荷载法。1 1、一般位移计算公式、一般位移计算公式协调的位移状态协调的位移状态平衡的力平衡的力 状状 态态ABkc1c2k kFPq(x)AB考察同一结构的两个状态，欲求考察同一结构的两个状态，欲求 k 点位移点位移 k实际状态 虚设状态 外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功由虚功方程由虚功方程此式即为平面结构位移计算一般公式。此式即为平面结构位移计算一般公式。若结果为正，表明的实际位移方向与虚设力的方向相同。若若结果为正，表明的实际位移方向与虚设力的方向相同。若结果为负，表明的实际位移方向与虚设力的方向相反结果为负，表明的实际位移方向与虚设力的方向相反(1)(1)在拟求位移点沿位移方向虚设相应单位荷载；在拟求位移点沿位移方向虚设相应单位荷载；(2)(2)在单位荷载作用下，由平衡条件求虚内力和虚在单位荷载作用下，由平衡条件求虚内力和虚反力；反力；(3)(3)由位移计算公式求相应位移。由位移计算公式求相应位移。位移计算的一般步骤位移计算的一般步骤位移计算的关键在于虚设恰当的力状态位移计算的关键在于虚设恰当的力状态第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 求求1点竖向点竖向线位移线位移求求1点绝对点绝对角位移角位移求求1、2点的点的相对线位移相对线位移广义力与广义位移对应关系：广义力与广义位移对应关系：1112第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 求求1、2两截面的两截面的相对角位移相对角位移求求12杆件的杆件的转角位移转角位移广义力与广义位移对应关系：广义力与广义位移对应关系：1212a第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 线弹性、小变形假设下，荷载作用引起的位移：线弹性、小变形假设下，荷载作用引起的位移： 真实变形真实变形虚拟内力虚拟内力2 2、荷载作用下的位移计算公式、荷载作用下的位移计算公式第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 例题例题：求结构求结构A A点竖向位移点竖向位移ABCABCAB段内力函数段内力函数BC段内力函数段内力函数第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 设杆件截面形状为矩形：设杆件截面形状为矩形：则：则：土木工程中杆件一般：土木工程中杆件一般：可见对以弯曲为主的细长杆可见对以弯曲为主的细长杆结构的位移计算可忽略轴向结构的位移计算可忽略轴向变形和剪切变形的影响变形和剪切变形的影响第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 各类结构的位移计算公式各类结构的位移计算公式1、梁和刚架：、梁和刚架：2、桁、桁 架：架：3、组合结构：、组合结构：4、拱结构：、拱结构：拱内弯矩较小时：拱内弯矩较小时：拱内弯矩较大时：拱内弯矩较大时：荷载引起的位移与杆件的绝对刚度值有关第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 例6-1图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩I 均为常数，试求B点的竖向位移BV，水平位移BH,和位移B。解解: ( (1) ) 作作出出荷荷载载作作用用下下的的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。弯矩图，写出各杆的弯矩方程。横梁横梁BC 竖柱竖柱CA(2)求B 点的竖向位移BV写写出出各各杆杆单单位位力力作作用用下下的的弯矩方程弯矩方程式，式，画出弯矩图画出弯矩图横梁BC 竖柱CA(3)求求B点的水平位移点的水平位移BH 在在B点加单位水平力。画出点加单位水平力。画出弯矩图并写出各杆的弯矩方程弯矩图并写出各杆的弯矩方程 横梁BC竖柱CA注意：负号表示位移的方向与假设的单位力的方向相反。 （4）求B点的线位移B 在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方便。下面寻求一种简单的计算位移的法。便。下面寻求一种简单的计算位移的法。受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：利用图形的静矩原理将利用图形的静矩原理将图形积分图形积分变为变为图形相乘图形相乘称莫尔积分第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用对于直杆对于直杆对直线弯矩图对直线弯矩图对于等刚度杆对于等刚度杆xcxycxyCABMPM第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用 方法使用条件方法使用条件注意事项1 1、等刚直杆、等刚直杆2 2、至少有一直线图、至少有一直线图 和和 yc为代数量，若它们在杆轴线同侧，则乘积为正；为代数量，若它们在杆轴线同侧，则乘积为正；反之为负；反之为负； 拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；方式求解； 应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。这也是图乘法的亮点这也是图乘法的亮点3 3、yc 应取自直线图中应取自直线图中第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用常见图形面积和形心常见图形面积和形心矩矩 形形三角形三角形抛物形抛物形第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们分解为当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们分解为几个简单图形的叠加（分解方法不唯一）几个简单图形的叠加（分解方法不唯一） i，yi是是代数量代数量第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用第四节第四节 图乘法图乘法例题例题. .已知已知 EI 为常数，求为常数，求B点的转角位移点的转角位移l/2ABl/2EIFPABMMPP图图图图图图图图第四节第四节 图乘法图乘法ql2/2例题：例题：求梁求梁B 点竖向位移。点竖向位移。3l/4解题步骤：解题步骤： 虚拟力状态；虚拟力状态； 分别作荷载弯矩图和单位弯矩图；分别作荷载弯矩图和单位弯矩图； 计算位移。计算位移。 lqABMMPP图图图图P=1l图图图图qllEIB1ql2/83ql2/2MPl求求B点竖向位移。点竖向位移。第四节第四节 图乘法图乘法PPaaa例题例题：求图示梁中点的挠度。求图示梁中点的挠度。PaPaP=1a/2a/2？两个图形均非直线性MMPP图图图图图图图图例题：例题：求图示梁求图示梁C点的挠度。点的挠度。l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？竖标不是取在直线图形中Pl/2l/2CPlMMPP图图图图CP=1图图图图第四节第四节 图乘法图乘法 对折线段要分对折线段要分成直线段做成直线段做。 对刚度不同的对刚度不同的区段要分段做区段要分段做第四节第四节 图乘法图乘法 取取 yc的图形必须是直线，不能是曲线或折线。的图形必须是直线，不能是曲线或折线。 不同的图乘方式，其难易程度不同。不同的图乘方式，其难易程度不同。 当两个图形均为直线图形时，取那个图形的面当两个图形均为直线图形时，取那个图形的面积均可。积均可。第四节第四节 图乘法图乘法练习练习.已知已知 EI 为常数，求中点为常数，求中点C点的竖向位移点的竖向位移l/2ABEICql/2第四节第四节 图乘法图乘法练习练习. 已知已知 EI 为常数，求距右支座为常数，求距右支座l/3处处C点的竖向位移。点的竖向位移。2l/3ABEICql/3 分几段？分几段？分几段？分几段？ 各段面积的形心各段面积的形心各段面积的形心各段面积的形心怎样确定？怎样确定？怎样确定？怎样确定？ 各段的各段的各段的各段的y yc c怎样确怎样确怎样确怎样确定定定定? ? MMPP图图图图图图图图第四节第四节 图乘法图乘法求求C截面竖向位移截面竖向位移 C MMPP图图图图图图图图1. 1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1 1）等刚度直杆；）等刚度直杆；（2 2）两个内力图中应有一个是直线）两个内力图中应有一个是直线；（3 3）yc 应取自直线图中。应取自直线图中。2. 2. 若若 与与yc 在杆件的同侧，在杆件的同侧， yc 取正值；反之，取取正值；反之，取负值。负值。3. 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. .图乘法小结图乘法小结练习练习. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A、B两点的相对位移两点的相对位移 ABlhABCDq求求AB两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()=EI-756+3322318-+EI643636311+-2639632(+-+-=DEI618336318263626616kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常数常数9999999练习练习. 已知已知 EI 为常数为常数,求求C铰两侧相对转角位移铰两侧相对转角位移 qlllABDC第四节第四节 图乘法图乘法练习练习. 已知已知 EA 为常数为常数,求求D点水平位移点水平位移 D以及以及EC杆的转角位杆的转角位移移 ECABCDEFFP2aa只需求出都为非零杆内力第四节第四节 图乘法图乘法练习练习. . 已知已知 EI 为常数，试问当为常数，试问当FP为何值时，为何值时，B点竖向位点竖向位移移 B0.ABlqFP弹性支座处理：弹性支座处理：方法方法1. 将弹簧看成是结将弹簧看成是结构中的一个可变形的构件构中的一个可变形的构件（拉压杆）（拉压杆）方法方法2. 将弹簧支座的变将弹簧支座的变形看成是主体结构的支座形看成是主体结构的支座位移。位移。FPlaABCEI第四节第四节 图乘法图乘法第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算1 1、温度的改变虽不产生内力，但产生位移、温度的改变虽不产生内力，但产生位移温度改变引起的微段变形温度改变引起的微段变形中性轴中性轴当温度变形与虚内力变形当温度变形与虚内力变形方向一致时，乘积为正方向一致时，乘积为正温度改变不产生剪切变形温度改变不产生剪切变形ABC单位弯矩单位弯矩图面积图面积单位轴力单位轴力图面积图面积第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算由温度变化引起的位移与刚度系数无关，由温度变化引起的位移与刚度系数无关，所以不能通过增加刚度的方法控制位移。所以不能通过增加刚度的方法控制位移。温度改变引起的轴向变形已不能忽略。温度改变引起的轴向变形已不能忽略。注：注：第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算2 2下料误差处理下料误差处理将杆件加长看成杆件变形。将杆件加长看成杆件变形。只只须须求求出出下下料料有有误误的的杆杆件内力件内力例例题题. . 桁桁架架上上弦弦杆杆每每杆杆按按设设计计长长出出0.02米米，求求由由此此引引起起的的C点竖向位移点竖向位移 C ？ABCDEF2 6 m6 m第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算3 3支座移动引起的位移支座移动引起的位移利用刚体虚功原理利用刚体虚功原理例题例题. . 由于由于固端固端支座发生偏转，求引起支座发生偏转，求引起k 点的竖向位移。点的竖向位移。M = l kl/2ll/2第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算第五节第五节 其它因素产生的位移其它因素产生的位移 例题：例题：求图示结构由于支座移动产生的位移。求图示结构由于支座移动产生的位移。abl/2l/2h1 10=AY1=BhX0=BY=1AhX解：虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力。解：虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力。代入公式求位移。代入公式求位移。第五节第五节 其它因素产生的位移其它因素产生的位移 例题：例题：求图示刚架求图示刚架C C点的竖向位移。各杆截面为矩形。点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0+10+10CP=1P=11aF FN N图图图图MM 图图图图材料满足线弹性，小变形的假设材料满足线弹性，小变形的假设ABFPq 2ABMq 1考察同一结构的两种受力和变形状态。考察同一结构的两种受力和变形状态。两种状态均满足受力平衡和变形协调。两种状态均满足受力平衡和变形协调。第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 1 1 1 1 功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理：处于平衡且满足协调的两处于平衡且满足协调的两个状态个状态1 1、2 2，状态，状态1 1 的外力在状态的外力在状态2 2 的位的位移上所作的总虚功等于状态移上所作的总虚功等于状态2 2 的外力在状的外力在状态态1 1 的位移上所作的总虚功。的位移上所作的总虚功。第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 2 2 2 2 位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理1221ABFP2 2ABFP1 1第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 位移互等定理位移互等定理：同一结构，在位置同一结构，在位置1 1 作用作用单位力引起位置单位力引起位置2 2 处的位移，等于在位置处的位移，等于在位置2 2 作用单位力引起位置作用单位力引起位置1 1 处的位移。处的位移。 ij 是广义位移与产生该位移的力的比值，它乘以是广义位移与产生该位移的力的比值，它乘以力后得位移，故应称力后得位移，故应称位移影响系数位移影响系数（或称柔或称柔度系数）度系数），注意它不具有位移的量纲。，注意它不具有位移的量纲。 ij ji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。表示不仅大小相等，而且量纲相同。（该定理将在力法中应用）（该定理将在力法中应用）第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 2FR121FR21 2 13 3 3 3 反力互等定理反力互等定理反力互等定理反力互等定理第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 反力互等定理反力互等定理：同一结构，在支座同一结构，在支座1 1 产生产生单位位移引起支座单位位移引起支座2 2 处的反力，等于在支处的反力，等于在支座座2 2 产生单位位移引起支座产生单位位移引起支座1 1 处的反力。处的反力。kij 是反力与产生该反力的位移的比值，它是反力与产生该反力的位移的比值，它乘以位移后得反力，称乘以位移后得反力，称反力影响系数反力影响系数，注意它注意它不具有力的量纲。不具有力的量纲。kij kji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。表示不仅大小相等，而且量纲相同。（该定理将在位移法中应用）（该定理将在位移法中应用）第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 FR21212 2FP1 1第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 4 4 4 4 位移反力互等定理位移反力互等定理位移反力互等定理位移反力互等定理位移反力互等定理位移反力互等定理：同一结构，在位置：同一结构，在位置1 1 处作用单位荷载引起支座处作用单位荷载引起支座2 2 处的反力等于处的反力等于支座支座2 2 处产生单位位移引起位置处产生单位位移引起位置1 1 处的位处的位移，唯符号相反。移，唯符号相反。 ij kji 表示不仅绝对值大小相等，而且量纲表示不仅绝对值大小相等，而且量纲相同。相同。 变形体虚功原理的前提是平衡的力系，协变形体虚功原理的前提是平衡的力系，协调的位移，结论是虚功方程恒成立。它适调的位移，结论是虚功方程恒成立。它适合于一切变形体。合于一切变形体。 广义单位力实质上是个比例系数，不具备广义单位力实质上是个比例系数，不具备力的量纲。力的量纲。 注意图乘法的适用条件。一般图形如何分注意图乘法的适用条件。一般图形如何分解为几个标准图形的叠加。解为几个标准图形的叠加。第七节第七节 结结 论论 各种条件下的位移计算公式应用，注意正负各种条件下的位移计算公式应用，注意正负号的取用原则。号的取用原则。 能引起位移的因素很多，但牢记单位荷载法的能引起位移的因素很多，但牢记单位荷载法的实质是虚功这一核心，可以以不变应万变。实质是虚功这一核心，可以以不变应万变。 线弹性小变形结构满足虚功互等定理，进而衍线弹性小变形结构满足虚功互等定理，进而衍生出位移互等定理、反力互等定理和位移反生出位移互等定理、反力互等定理和位移反力互等定理。互等表明不仅数值相等而且量纲力互等定理。互等表明不仅数值相等而且量纲相同。相同。例题：求图示刚架例题：求图示刚架D点的水平位移，已点的水平位移，已知各杆的知各杆的EI都相等，都相等，E=21000MPa，I=24000cm4