第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 摇摇臂臂钻钻床的床的摇摇臂或臂或车车床的主床的主轴变轴变形形过过大，就会影响零件的加工精度，大，就会影响零件的加工精度，甚至会出甚至会出现废现废品。品。 在工程在工程实际实际中，中，对对某些受弯构件，除要求具有足某些受弯构件，除要求具有足够够的的强强度外，度外，还还要求要求变变形不能形不能过过大，即要求构件有足大，即要求构件有足够够的的刚刚度，以保度，以保证证构造或机器正常任构造或机器正常任务务。7.1 概述概述一、工程中的弯曲一、工程中的弯曲实例例 桥桥式起重机的横梁式起重机的横梁变变形形过过大大, ,那么会使小那么会使小车车行走困行走困难难，出，出现现爬坡景象。爬坡景象。 但在另外一些情况下，有但在另外一些情况下，有时时却要求构件具有却要求构件具有较较大的大的弹弹性性变变形，以形，以满满足足特定的任特定的任务务需求。需求。 例如，例如，车辆车辆上的叠板上的叠板弹弹簧，要求有足簧，要求有足够够大的大的变变形，以形，以缓缓解解车辆车辆遭到的遭到的冲冲击击和振和振动动作用。作用。二、二、计算弯曲算弯曲变形的目的形的目的1 1、研、研讨刚讨刚度度2 2、解静不定、解静不定问题问题3 3、确定梁弯曲的、确定梁弯曲的动载动载系数。系数。控制控制变形：形：齿轮轴，镗刀杆刀杆运用运用变形：叠板形：叠板弹簧，跳水板簧，跳水板三、弯曲三、弯曲变形的根本概念形的根本概念对称轴对称轴轴线轴线纵向对称面纵向对称面1 1、挠挠曲曲线线 梁在平面弯曲梁在平面弯曲时时，其，其轴线轴线在在载载荷作用平面荷作用平面 纵纵向向对对称面称面 内，内，变变成了一条曲成了一条曲线线，该该曲曲线线称称为挠为挠曲曲线线。表示：表示：延延续光滑光滑特点：特点：w=f(x)，它是坐，它是坐标标x的延的延续续函数。函数。2.2.挠挠度和度和转转角角规定：向上的定：向上的挠度度为正正 逆逆时针的的转角角为正正挠曲曲线方程：方程：转角方程：角方程：: : 是度量弯曲是度量弯曲变变形的两个根本量形的两个根本量四、画四、画绕曲曲线近似外形的方法近似外形的方法1 1、思索支座的、思索支座的约约束特点束特点固定端：固定端：w = 0, = 0w = 0, = 0铰支座：支座：w A= 0,wB = w A= 0,wB = 0 02 2、思索弯矩的、思索弯矩的变变化化弯矩弯矩为正，下凸正，下凸弯矩弯矩为负，上凸，上凸弯矩弯矩为O O的的线段，直段，直线弯矩弯矩为O O的点，拐点的点，拐点ABPPxM例：例：7.2 挠挠曲曲线线近似微分方程及其近似微分方程及其积积分分一、一、挠曲曲线近似微分方程的近似微分方程的导出出力学公式力学公式力学公式力学公式数学公式数学公式数学公式数学公式平面曲线平面曲线( (挠曲线挠曲线) ) 上恣意点的曲率公式。上恣意点的曲率公式。纯弯曲梁弯曲梁变形后中性形后中性层的曲率的曲率公式，公式，对于横力弯曲于横力弯曲l5h可近似运用。可近似运用。EIZ称称为梁的抗梁的抗弯弯刚度。度。对于小于小挠度情形有度情形有挠挠曲曲线线的近似微分方程的近似微分方程二、二、积分法求弯曲分法求弯曲变形形由挠曲线近似微分方程，由挠曲线近似微分方程， 得：得：对于等截面直梁，有：于等截面直梁，有：阐明：明：1 1假假设M Mx x方程方程 或或 EI EI有有变化，那么化，那么应分段。分段。2 2C C、D D为积分常数，由分常数，由边境条件和延境条件和延续性条件确定。性条件确定。固定端：固定端：w = 0, = 0w = 0, = 0确定确定积分常数：分常数：1 1边境条件境条件2 2延延续性条件性条件 梁的梁的挠挠曲曲线线是一条延是一条延续续而光滑的曲而光滑的曲线线，因此在，因此在挠挠曲曲线线的任一点的任一点处处 如：弯矩方程的分界如：弯矩方程的分界处处，截面，截面的突的突变处变处 左右两截面的左右两截面的转转角和角和挠挠度均相等。度均相等。A铰支座：支座：w A= 0,wB = 0w A= 0,wB = 0 知梁的抗弯知梁的抗弯刚刚度度为为EIEI。试试求求图图示示简简支梁在均布支梁在均布载载荷荷q q作用下的作用下的转转角方程、角方程、挠挠曲曲线线方程，并确定方程，并确定maxmax和和wmaxwmax。例：例：由由边境条件：境条件：得：得：梁的梁的转角方程和角方程和挠曲曲线方程分方程分别为：最大最大转角和最大角和最大挠度分度分别为：解：解： 知梁的抗弯知梁的抗弯刚刚度度为为EIEI。试试求求图图示示悬悬臂梁在集中力臂梁在集中力P P作用下的作用下的转转角方程、角方程、挠挠曲曲线线方程，并确定方程，并确定maxmax和和wmaxwmax。例：例：解：解：由由边境条件：境条件：梁的梁的转角方程和角方程和挠曲曲线方程分方程分别为：最大最大转角和最大角和最大挠度分度分别为：试求求图示示简支梁的弯曲支梁的弯曲变形抗弯形抗弯刚度度:EIz:EIz例：例：axyABblCP解：解：1.1.求支反力、写出弯矩方程；求支反力、写出弯矩方程；ACAC段：段：x1CBCB段：段：2.2.列出列出挠挠曲曲线线微分方程，并微分方程，并积积分；分；ACAC段：段：CBCB段：段：3.3.列出列出边边境条件；境条件；4.4.延延续续性条件；性条件；由延由延续性条件，可求得性条件，可求得x2由由边境条件，可求得境条件，可求得5.5.求最大求最大转转角和最大角和最大挠挠度度axyABblCPRARBx1x2 对简对简支梁受集中力，最大支梁受集中力，最大转转角普通在角普通在两端截面上两端截面上: :比比较，当，当 a b a b 时，挠度最大度最大值发生在生在截面上，截面上，当当 a b a b 时，发生在生在ACAC段：段：最后得最后得转角方程和角方程和挠曲曲线方程方程为：ACAC段：段：CBCB段：段：讨论：1 1AC段：段：CB段：段：2 2当当须分段表示弯矩方程分段表示弯矩方程时，需用延，需用延续条条件、件、边境一同确定境一同确定积分常数。分常数。3 3 截面截面最大最大挠度很接近于梁中点度很接近于梁中点挠度度值故工程上常用中点的故工程上常用中点的挠度替代最大度替代最大挠度：度：4 4当当 b =l/2 时5 5积分法适用于求恣意截分法适用于求恣意截面的面的挠度的度的转角角axyABblCPRARBx1x2 知梁的抗弯知梁的抗弯刚刚度度为为EIEI。试试求求图图示示简简支梁的支梁的转转角方程、角方程、挠挠曲曲线线方程，并确定方程，并确定maxmax和和wmaxwmax。解：由解：由对称性，只思索半跨梁称性，只思索半跨梁ACDACD由延由延续条件：条件：由由边境条件：境条件：由由对称条件：称条件：例：例：梁的梁的转角方程和角方程和挠曲曲线方程分方程分别为：最大最大转角和最大角和最大挠度分度分别为：例：用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几例：用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个积分常数？并写出各梁的边境条件和延续条件。个积分常数？并写出各梁的边境条件和延续条件。边境条件境条件延延续条件条件边境条件境条件延延续条件条件边境条件境条件延延续条件条件边境条件境条件1.1.挠挠度和度和转转角角规定：向上的定：向上的挠度度为正正 逆逆时针的的转角角为正正挠曲曲线方程：方程：转角方程：角方程： 挠挠度和度和转转角是度量弯曲角是度量弯曲变变形形的两个根本量。的两个根本量。内容回想：内容回想：挠挠曲曲线线的近似微分方程的近似微分方程2.2.挠挠曲曲线线近似微分方程近似微分方程3.3.积积分法求弯曲分法求弯曲变变形形对于等截面直梁，有：于等截面直梁，有：截面的截面的转转角方程角方程梁的梁的挠挠曲曲线线方程方程阐明：明：1 1假假设M Mx x方程方程 或或 EI EI有有变化，那么化，那么应分段。分段。2 2C C、D D为积分常数，由分常数，由边境条件和延境条件和延续性条件确定。性条件确定。挠挠曲曲线线的近似微分方程的近似微分方程7.3 叠加法求弯曲叠加法求弯曲变变形形一、叠加法前提一、叠加法前提 资资料服从胡克定律料服从胡克定律 小小变变形形二、第一二、第一类叠加法叠加法载荷叠加法荷叠加法 当梁上同当梁上同时时作用有几种作用有几种载载荷荷时时，可分，可分别别求出每一种求出每一种载载荷荷单单独作用下独作用下的的变变形，然后将各个形，然后将各个载载荷荷单单独引起的独引起的变变形叠加，得形叠加，得这这些些载载荷共同作用荷共同作用时时的的变变形。形。知：知：知：知：q q q q、l l l l、EIEIEIEI求：求：wC ,wC ,B B各种载荷与它所引起的变各种载荷与它所引起的变形呈线性关系。形呈线性关系。vvv=+用叠加法求用叠加法求例：例：解：解：假假设图示梁示梁B B端的端的转角角B=0B=0，那么力偶矩等于多，那么力偶矩等于多少？少？例：例：解：解：例：求例：求图示梁示梁 B B、D D两点的两点的挠度度 wB wB、 wD wD。解：解：v例：怎例：怎样用叠加法确定用叠加法确定图示梁示梁C C截面的截面的挠度度 wC wC和和转角角CC。解：解：vvv所以，所以，三、第二三、第二类叠加法叠加法逐段分析求和法逐段分析求和法 为为求梁某截面的求梁某截面的挠挠度和度和转转角，常把构件分成几段分角，常把构件分成几段分别刚别刚化化处处置，置，进进而而计计算出每段算出每段变变形在形在该该截面截面处处引起的引起的挠挠度和度和转转角，然后将它角，然后将它们们分分别别叠加，叠加，得到得到该该截面截面处总处总的的挠挠度和度和转转角，角，这这种种计计算算变变形的方法称形的方法称为为逐段分析求和逐段分析求和法，又称位移叠加法。法，又称位移叠加法。注：此种叠加方法在求外伸梁，或受力比注：此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的特殊的悬臂梁臂梁的的变形形时，比，比较方便。方便。v例例求外伸梁求外伸梁ABCABC的外伸端的外伸端A A的的挠度。度。解：用逐段分析求和法。解：用逐段分析求和法。2 2将将BCBC段段刚化化1 1将将ABAB段段刚化化3 3最后最后结果果lABaC CqABqABC Cqaqa2/2例例求外伸梁求外伸梁ABCABC的外伸端的外伸端A A的的挠度和度和转角。角。解：解：1 1将将BCBC段段刚化。化。2 2将将ABAB段段刚化。化。3 3最后最后结果果ABqABaC CqP=qaaam=qa2DqaABC Cm= qa2/2P=qam=qa2D例例求求悬臂梁臂梁ACBACB的自在端的自在端B B的的挠度和度和转角。角。解：解：1 1将将ACAC段段刚化。化。2 2将将BCBC段段刚化。化。BCABqaaCqam=qa2/2ABC 两根两根资资料一料一样样、抗弯、抗弯刚刚度一度一样样的的悬悬臂梁臂梁、如如图图示，示，梁的最大梁的最大挠挠度是度是梁的多少倍？梁的多少倍？例：例：16倍倍 例：例：简简支梁在整个梁上受均布支梁在整个梁上受均布载载荷荷 q q 作用，假作用，假设设其跨度添其跨度添加一倍，那么其最大加一倍，那么其最大挠挠度添加多少倍？度添加多少倍？16倍倍7.4 梁的梁的刚刚度校核度校核刚度条件：度条件： 、 是构件的答应挠度和转角，它们决议于构件正是构件的答应挠度和转角，它们决议于构件正常任务时的要求。常任务时的要求。一、梁的一、梁的刚度条件度条件二、三二、三类刚度度问题1 1刚度校核度校核2 2截面截面设计3 3确定答确定答应载荷荷例：例：图示工字示工字钢梁，梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，w = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的根据梁的刚度条度条件，确定梁的答件，确定梁的答应载荷荷 P，并校核，并校核强度。度。解：由解：由刚度条件度条件例：矩形截面例：矩形截面例：矩形截面例：矩形截面 的的的的纯纯弯曲梁如下弯曲梁如下弯曲梁如下弯曲梁如下图图, ,知梁中性知梁中性知梁中性知梁中性层层上无上无上无上无应应力力力力, ,假假假假设设将梁沿中性将梁沿中性将梁沿中性将梁沿中性层层 锯锯开开开开, ,将将将将锯锯开后的两梁叠合在一同并接开后的两梁叠合在一同并接开后的两梁叠合在一同并接开后的两梁叠合在一同并接受一受一受一受一样样的弯矩的弯矩的弯矩的弯矩 , ,问锯问锯开前后开前后开前后开前后, ,即一根即一根即一根即一根 的梁和两根的梁和两根的梁和两根的梁和两根 叠叠叠叠合在一同的梁合在一同的梁合在一同的梁合在一同的梁, ,两者的最大弯曲两者的最大弯曲两者的最大弯曲两者的最大弯曲应应力和抗弯力和抗弯力和抗弯力和抗弯刚刚度的比度的比度的比度的比值值分分分分别为别为多少多少多少多少? ?解解解解: :锯锯开前开前开前开前最大最大最大最大应应力力力力抗弯抗弯抗弯抗弯刚刚度度度度锯锯开后开后开后开后, ,两根两根两根两根 的梁独立作用的梁独立作用的梁独立作用的梁独立作用, ,每梁接受每梁接受每梁接受每梁接受 , ,故叠合梁的故叠合梁的故叠合梁的故叠合梁的最大最大最大最大应应力力力力抗弯抗弯抗弯抗弯刚刚度度度度两种情况下两种情况下两种情况下两种情况下, ,最大最大最大最大应应力和抗弯力和抗弯力和抗弯力和抗弯刚刚度的比度的比度的比度的比值为值为 解除多余解除多余约约束，代之相束，代之相应应的反力；的反力；变变静不定梁静不定梁为为方式上的静定梁系方式上的静定梁系统统一、静不定梁的概念一、静不定梁的概念不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁 静不定梁静不定梁 或超静定梁或超静定梁二、相当系二、相当系统的建立的建立方法步方法步骤： 该该梁称梁称为为原静不定梁的相当系原静不定梁的相当系统统 求出解除求出解除约约束束处处的的变变形，并与形，并与实实践践变变形比形比较较，得，得补补充方程充方程. .三、用三、用变形比形比较法解静不定梁法解静不定梁7.5 简单简单超静定梁超静定梁求求图示静不定梁的支反力。示静不定梁的支反力。例：例：解：解：将支座将支座B B看成多余看成多余约束，束，变形形协调条件条件为： 另解：将支座另解：将支座A A对对截面截面转动转动的的约约束束看成多余看成多余约约束，束，变变形形协调协调条件条件为为：7.6 提高梁弯曲提高梁弯曲刚刚度的措施度的措施 影响梁弯曲影响梁弯曲变变形的要素不形的要素不仅仅与梁的支承和与梁的支承和载载荷情况有关，而且荷情况有关，而且还还与梁的与梁的资资料、截面尺寸、外料、截面尺寸、外形和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲形和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚刚度，度，就就应应从上述各种要素入手。从上述各种要素入手。一、增大梁的抗弯一、增大梁的抗弯刚度度EIEI影响梁影响梁强度的截面几何性度的截面几何性质影响梁影响梁刚度的截面几何性度的截面几何性质1.1.合理合理选择选择截面外形截面外形2.2.合理合理选择资选择资料料影响梁影响梁强度的度的资料性能料性能 影响梁影响梁刚度的度的资料性能料性能 二、减小跨度或添加支撑二、减小跨度或添加支撑lql/2q三、改三、改动加加载方式方式l/2Pl/2l/3PPlq谢谢大家！大家！