精 品 数 学 课 件2020 学 年 浙 教 版第第5 5章章 特殊平行四边形特殊平行四边形 5.3 5.3 正方形（第正方形（第1 1课时）课时） 正方形的判定正方形的判定例例1 1 如图，已知如图，已知 ABCD ABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD交于交于点点O O，E E是是BDBD延长线上的点，延长线上的点，ACEACE是等边三角形，是等边三角形，且且AED=2AED=2EADEAD，求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是正方形是正方形. .分析：由分析：由ACEACE是等边三角形，是等边三角形，O O是是ACAC的中点，易的中点，易得得BDBD与与ACAC垂直，所以可先证得四边形垂直，所以可先证得四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，然后根据已知条件中然后根据已知条件中AED=2AED=2EADEAD，可得，可得EAD=15EAD=15，AED=30AED=30，即，即ADO=45ADO=45，所以，所以有有ADC=90ADC=90. . 根据根据“一个角是直角的菱形是正一个角是直角的菱形是正方形方形”可得结论可得结论. .证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AO=CO. AO=CO. 又又ACEACE是等边三角形，是等边三角形，EOEOACAC，即，即DBDBAC. AC. ABCD ABCD是菱形是菱形. . ACEACE是等边三角形，是等边三角形，AEC=60AEC=60. . EOEOACAC，AEO=AEO= AEC=30AEC=30. .AED=2AED=2EADEAD，EAD=15EAD=15. . ADO=ADO=EAD+EAD+AED=45AED=45. . 四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，ADC=2ADC=2ADO=90ADO=90. . 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形. .注意点：（注意点：（1 1）在判定一个四边形是正方形时，）在判定一个四边形是正方形时，一般有两种方法：一般有两种方法：先证明四边形是菱形，再说先证明四边形是菱形，再说明有一个角是直角或者说明对角线相等；明有一个角是直角或者说明对角线相等；先证先证明四边形是矩形，再说明有一组邻边相等或者对明四边形是矩形，再说明有一组邻边相等或者对角线互相垂直角线互相垂直. .正方形判定的运用正方形判定的运用例例2 2 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADADBCBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CECEANAN，垂足为点，垂足为点E.E.（1 1）求证：四边形）求证：四边形ADCEADCE为矩形；为矩形；（2 2）当）当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADCEADCE是是一个正方形？并给出证明一个正方形？并给出证明. .分析：（分析：（1 1）根据有三个角是直角的四边形是矩）根据有三个角是直角的四边形是矩形，已知形，已知CECEANAN，ADADBCBC，所以求证，所以求证DAE=90DAE=90，可以证明四边形，可以证明四边形ADCEADCE为矩形为矩形. .（2 2）根据正方形的判定，我们可以假设当）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=AD= BCBC，由已知可得，由已知可得，DC=DC= BCBC，由（，由（1 1）的结）的结论可知四边形论可知四边形ADCEADCE为矩形，所以证得，四边形为矩形，所以证得，四边形ADCEADCE为正方形为正方形. .证明：（证明：（1 1）ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADADBCBC，BAD=BAD=DACDAC，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，MAE=MAE=CAECAE，DAE=DAE=DAC+DAC+CAE=CAE= 180180=90=90，又又ADADBCBC，CECEANAN，ADC=ADC=CEA=90CEA=90，四边形四边形ADCEADCE为矩形为矩形. .（2 2）当）当ABCABC满足满足BAC=90BAC=90时，四边形时，四边形ADCEADCE是一个正方形是一个正方形. . 理由：理由：AB=ACAB=AC，ACB=ACB=B=45B=45。ADADBCBC，CAD=CAD=ACD=45ACD=45，DC=ADDC=AD，四边形四边形ADCEADCE为矩形，为矩形，矩形矩形ADCEADCE是正方形是正方形. . 当当BAC=90BAC=90时，四边形时，四边形ADCEADCE是一个正方形是一个正方形. .注意点：各种特殊的四边形之间定义、性质、判注意点：各种特殊的四边形之间定义、性质、判定方面都有密切关系，要充分理解它们的关系，定方面都有密切关系，要充分理解它们的关系，灵活应用灵活应用. .例例 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确. .（1 1）四条边相等的四边形是正方形；）四条边相等的四边形是正方形；（2 2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；方形；（3 3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形；正方形；（4 4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形）两条对角线互相垂直的矩形是正方形. .错答：（错答：（1 1）正确；（）正确；（2 2）正确；（）正确；（3 3）正确；）正确；（4 4）错误）错误正答：（正答：（1 1）错误；（）错误；（2 2）错误；（）错误；（3 3）错误；）错误；（4 4）正确）正确错因：（错因：（1 1）虽然有四条边相等，但只能判定它是菱）虽然有四条边相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件是有一个角是直角，或者判定它即是菱形又是矩形；是有一个角是直角，或者判定它即是菱形又是矩形；（2 2）错误的原因是对识别方法不熟悉，对角线相等）错误的原因是对识别方法不熟悉，对角线相等且互相垂直，但对角线并不一定互相平分，所以不能且互相垂直，但对角线并不一定互相平分，所以不能判定这个四边形就一定是平行四边形判定这个四边形就一定是平行四边形. . 只有在对角线只有在对角线互相平分或四边形是平行四边形的情况下，才能判定互相平分或四边形是平行四边形的情况下，才能判定这个四边形是正方形；这个四边形是正方形；（3 3）片面应用了正方形的特征，虽然正方形的每一）片面应用了正方形的特征，虽然正方形的每一条对角线都平分每一组对角，但反之就不成立，只能条对角线都平分每一组对角，但反之就不成立，只能判定这个四边形是菱形，缺少一个再判断它是矩形的判定这个四边形是菱形，缺少一个再判断它是矩形的条件条件. .（4 4）矩形的对角线相等且互相平分，再加上两条对）矩形的对角线相等且互相平分，再加上两条对角线互相垂直的条件，就能判定这个四边形是正方形角线互相垂直的条件，就能判定这个四边形是正方形. .