1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系判断：判断：( (正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”) )(1)(1)由于平方关系对任意角都成立，则由于平方关系对任意角都成立，则sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1也成也成立立.( ).( )(2)(2)同角三角函数的基本关系对任意角同角三角函数的基本关系对任意角都成立都成立.( ).( )(3)(3)当角当角的终边与坐标轴重合时，的终边与坐标轴重合时，sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1也成也成立立.( ).( )(4)(4)在利用平方关系求在利用平方关系求sin sin 或或coscos 时，会得到正负两个时，会得到正负两个值值.( ).( )提示：提示：(1)(1)错误错误. .必须是对同一个角必须是对同一个角. .(2)(2)错误错误.sin.sin2 2+cos+cos2 2=1=1对任意角对任意角RR都成立；都成立；而而 只有只有 时成立时成立. .(3)(3)正确正确. .对任意角对任意角式子式子sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1都成立都成立. .(4)(4)错误错误. .其正负号由角其正负号由角所在的象限决定所在的象限决定. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4)【知识点拨【知识点拨】解读同角三角函数的基本关系解读同角三角函数的基本关系(1)(1)同角三角函数的基本关系揭示了同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名同角不同名”的三角函的三角函数的运算规律，这里，数的运算规律，这里，“同角同角”有两层含义：一是有两层含义：一是“角相角相同同”, ,二是对二是对“任意任意”一个角一个角( (在使函数有意义的前提下在使函数有意义的前提下) )，关，关系式成立与角的表达形式无关系式成立与角的表达形式无关, ,如如sinsin2 23+cos3+cos2 23=1.3=1.(2)sin(2)sin2 2是是(sin )(sin )2 2的简写，不能写成的简写，不能写成sin sin 2 2. .(3)(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子子 不成立不成立. .(4)(4)注意公式变形的灵活应用注意公式变形的灵活应用. .(5)(5)在应用平方关系式求在应用平方关系式求sin sin 或或coscos 时时, ,其正负号是由角其正负号是由角所在的象限决定的所在的象限决定的. .类型类型 一一 利用同角三角函数的基本关系求值利用同角三角函数的基本关系求值 【典型例题【典型例题】1.1.若若 且且则则tan =_. tan =_. 2.2.已知已知sin sin m(|mm(|m| |1)1)，求，求tan tan ，coscos . .【解题探究【解题探究】1.1.若若是第三象限角，如何由是第三象限角，如何由coscos 表示表示sin sin ？2.2.若不知若不知是第几象限角，则由是第几象限角，则由sin sin 求求coscos 时首先时首先需要做什么？需要做什么？探究提示：探究提示：1.1.因为因为是第三象限角，则是第三象限角，则2.2.首先应根据首先应根据所在象限对所在象限对分类讨论分类讨论【解析【解析】1.1.因为因为所以所以所以所以答案：答案：2.(1)2.(1)当当-1-1m m1,m01,m0时，时，若若在第一、四象限，在第一、四象限，则则若若在第二、三象限，则在第二、三象限，则(2)(2)若若m=0m=0，则，则=k(kZ=k(kZ) ) ，所以所以tan =0tan =0，coscos = =1 1【拓展提升【拓展提升】由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类数值的依据及种类(1)(1)依据：依据： 要根据角要根据角所所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用时，不存在符号的选取问题时，不存在符号的选取问题. .(2)(2)分类：分类：如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解；一组解；如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；情况一般有两组解； 如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角在哪个象限，如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角在哪个象限，那么就需要进行讨论那么就需要进行讨论【变式训练【变式训练】已知已知是第三象限角且是第三象限角且tan =2tan =2，求，求coscos 的的值值【解析【解析】由由tan tan 2 2知知则则sinsin2 2=4cos=4cos2 2.又因为又因为sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，所以所以4cos4cos2 2+cos+cos2 2=1=1，即，即由由在第三象限知在第三象限知类型类型 二二 利用同角三角函数的基本关系化简利用同角三角函数的基本关系化简 【典型例题【典型例题】1.1.化简化简sinsin2 2+sin+sin2 2-sin-sin2 2sinsin2 2+cos+cos2 2coscos2 2_._.2.2.化简：化简：【解题探究【解题探究】1.1.题题1 1中的式子有哪两个比较明显的特点？中的式子有哪两个比较明显的特点？2.(sin 2.(sin coscos ) )2 2展开式是什么？展开式是什么？探究提示：探究提示：1.1.每个因式都是关于每个因式都是关于，的正、余弦的平方的正、余弦的平方. .2.(sin 2.(sin coscos ) )2 2=1=12sin cos2sin cos . .【解析【解析】1.1.原式原式sinsin2 2(1-sin(1-sin2 2)+sin)+sin2 2+cos+cos2 2coscos2 2=sin=sin2 2coscos2 2+cos+cos2 2coscos2 2+sin+sin2 2=(sin=(sin2 2+cos+cos2 2)cos)cos2 2+sin+sin2 2=1.=1.答案：答案：1 12.2.原式原式【互动探究【互动探究】若题若题2 2改为改为又如何进行化简呢？又如何进行化简呢？【解析【解析】原式原式【拓展提升【拓展提升】利用同角三角函数的基本关系化简的标准及注利用同角三角函数的基本关系化简的标准及注意事项意事项(1)(1)化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数函数(2)(2)注意事项：在化简三角函数时，应注意注意事项：在化简三角函数时，应注意“1 1”的代换，如的代换，如sinsin2 2+cos+cos2 2=1.=1.对于函数种类较多的式子，化简时，常用对于函数种类较多的式子，化简时，常用“切化弦法切化弦法”【变式训练【变式训练】若角若角的终边落在直线的终边落在直线x+yx+y=0=0上，上，则则 的值等于的值等于( )( )A.2 B.-2 C.1 D.0A.2 B.-2 C.1 D.0【解析【解析】选选D.D.因为因为终边在直线终边在直线x+yx+y=0=0上上, ,所以所以是第二或第四象限角，是第二或第四象限角，sin sin 与与coscos 异号异号所以原式所以原式0.0.类型类型 三三 有关平方关系与商数关系的两类求值题有关平方关系与商数关系的两类求值题 【典型例题【典型例题】1.1.已知已知 则则coscos -sin -sin 的值等于的值等于( )( )2.2.已知已知 求下列各式的值：求下列各式的值：(1)(1)(2)2sin(2)2sin2 2+sin cos+sin cos -3cos -3cos2 2.【解题探究【解题探究】1.1.题题1 1中中coscos -sin -sin 与与cos sincos sin 之间的之间的关系是什么？关系是什么？2.2.题题2 2中所求的式子能否转化为关于中所求的式子能否转化为关于tan tan 的式子，方法是什的式子，方法是什么？么？探究提示探究提示1.(cos -sin )1.(cos -sin )2 2=1-2cos sin=1-2cos sin . .2.2.能转化为关于能转化为关于tan tan 的式子，方法是分子、分母同时除以的式子，方法是分子、分母同时除以coscos 或或coscos2 2.【解析【解析】1.1.选选B.B.因为因为所以所以2.(1)2.(1)原式原式(2)(2)原式原式【拓展提升【拓展提升】1.1.关于关于sin sin ，coscos 的齐次式的求值策略的齐次式的求值策略(1)(1)关于关于sin sin ，coscos 的齐次式就是式子中的每一项都是关的齐次式就是式子中的每一项都是关于于sin sin ，coscos 的式子且它们的次数之和相同，设为的式子且它们的次数之和相同，设为n n次，次，将分子，分母同除以将分子，分母同除以coscos 的的n n次幂，其式子可化为关于次幂，其式子可化为关于tan tan 的式子，再代入求值的式子，再代入求值. .(2)(2)若无分母时，把分母看作若无分母时，把分母看作1 1，并将，并将1 1用用sinsin2 2+cos+cos2 2来代换，来代换，将分子、分母同除以将分子、分母同除以coscos2 2，可化为关于，可化为关于tan tan 的式子，再代的式子，再代入求值入求值. .2.2.利用利用sin sin coscos 与与sin cossin cos 间的关系求值间的关系求值(sin +cos(sin +cos ) )2 2=1+2sin cos=1+2sin cos ; ;(sin -cos(sin -cos ) )2 2=1-2sin cos=1-2sin cos . .对对sin -cos ,sin +cos ,sin cossin -cos ,sin +cos ,sin cos 可以可以“知一知一求二求二”. .【变式训练【变式训练】已知已知求求sin sin coscos 和和sin -cossin -cos 的值的值. .【解析【解析】因为因为所以所以即即所以所以由上知，由上知，为第二象限的角，为第二象限的角，所以所以sin -cossin -cos 0,0,所以所以类型类型 四四 证明三角恒等式证明三角恒等式 【典型例题【典型例题】1.1.求证：求证：2.2.求证：求证：【解题探究【解题探究】1.1.证明三角恒等式常有哪些技巧证明三角恒等式常有哪些技巧? ?2.2.证明三角恒等式应遵循什么样的原则证明三角恒等式应遵循什么样的原则? ?探究提示：探究提示：1.1.常用技巧：切化弦、整体代换、常用技巧：切化弦、整体代换、“1 1”的代换等的代换等. .2.2.应遵循由繁到简的原则应遵循由繁到简的原则. . 【证明【证明】1.1.左边左边所以原式成立所以原式成立. .2.2.因为因为所以所以【拓展提升【拓展提升】证明三角恒等式的方法证明三角恒等式的方法(1)(1)遵循化繁为简的原则，可以从遵循化繁为简的原则，可以从“左边左边右边右边”或从或从“右边右边左边左边”(2)(2)依据依据“等于同量的两个量相等等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一证明左、右两边等于同一个式子个式子(3)(3)依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立从而推出原式成立(4)(4)也可以通过作差或作商，左边也可以通过作差或作商，左边- -右边右边0 0或或【变式训练【变式训练】求证：求证：2(1-sin )(1+cos )=(1-sin +2(1-sin )(1+cos )=(1-sin +coscos ) )2 2. .【证明【证明】因为左边因为左边=2(1+cos -sin -sin cos=2(1+cos -sin -sin cos ) )，右边右边=(1-sin )=(1-sin )2 2+2(1-sin )cos+2(1-sin )cos +cos +cos2 2=1-2sin +sin=1-2sin +sin2 2+2cos -2sin cos+2cos -2sin cos +cos +cos2 2=2(1+cos -sin -sin cos=2(1+cos -sin -sin cos ) )，所以左边所以左边= =右边，原等式成立右边，原等式成立. . 【规范解答【规范解答】同角三角函数的基本关系的应用同角三角函数的基本关系的应用【典例【典例】【条件分析【条件分析】【规范解答【规范解答】因为因为所以所以是第一或第二象限的角是第一或第二象限的角. . 2 2分分若若是第一象限的角是第一象限的角，则则coscos 0,tan 0,tan 0 0，4 4分分所以所以 6 6分分 8 8分分若若是第二象限的角是第二象限的角，则则coscos 0,tan 0,tan 0,0,1010分分所以所以 1212分分【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.分类讨论的意识分类讨论的意识由已知三角函数值求另外的两个三角函数值时，要注意角由已知三角函数值求另外的两个三角函数值时，要注意角所在的象限的讨论所在的象限的讨论. .如本例中角如本例中角分为第一象限角或第二象分为第一象限角或第二象限角两种情况限角两种情况. .2.2.基本关系的把握基本关系的把握要熟练把握好同角三角函数的基本关系，如本例中欲求要熟练把握好同角三角函数的基本关系，如本例中欲求coscos 及及tan tan 的值，寻求建立与的值，寻求建立与sin sin 的关系，把握的关系，把握好符号才能避免出错好符号才能避免出错. . 【类题试解【类题试解】已知已知 且且是第三象限的角，是第三象限的角，求求sin sin ，coscos 的值的值. .【解析【解析】因为因为所以所以 即即coscos =3sin . =3sin .因为因为sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，所以所以sinsin2 2+(3sin )+(3sin )2 2=1=1，则则 又又是第三象限的角，是第三象限的角，所以所以则则1. 1. 则则tan tan 的值为的值为( )( )【解析【解析】选选B.B.因为因为所以所以2.2.下列四个式子中可能成立的一个是下列四个式子中可能成立的一个是( )( )A. A. B.sinB.sin =0 =0且且coscos =-1 =-1C.tanC.tan =1 =1且且coscos =-1 =-1D. (D. (为第二象限角为第二象限角) )【解析【解析】选选B.B.选项选项A A不符合不符合sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1；选项；选项B B符合符合sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，可能成立；由，可能成立；由 知选项知选项D D不不正确；选项正确；选项C C也不可能正确也不可能正确. .3.3.若若 则则tan =( )tan =( )【解析【解析】选选A. A. 即即解得解得tan =1.tan =1.4.4.化简化简 的结果为的结果为( )( )【解析【解析】选选A.A.5.5.如果角如果角满足满足 那么那么 的值的值是是_._.【解析【解析】又又答案：答案：2 26.6.已知已知 求求sin sin ，tan tan 的值的值【解析【解析】当当是第二象限角时，是第二象限角时，当当是第三象限角时，是第三象限角时，