1 1.2 2余弦定理余弦定理1.余弦定理(1)语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.(2)公式表达:在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.【做一做1】在ABC中,符合余弦定理的是()A.c2=a2+b2-2abcos CB.c2=a2-b2+2bccos AC.b2=a2-c2-2bccos A解析:根据余弦定理可知A正确,其余均错.注意余弦定理形式,特别是正负号问题.答案:A归纳总结对余弦定理的理解(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.(4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.2.余弦定理的变形在ABC中,【做一做2】在ABC中,若a=3, ,c=2,则B等于()A.30B.45C.60D.120答案:C思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)余弦定理仅适用于钝角三角形或锐角三角形. ()(2)在ABC中,若sin2Csin2A+sin2B,则ABC为钝角三角形. ()(3)在ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. ()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三思维辨析【例1】在ABC中,已知 ,B=45,求角A,C及边c.分析:给出条件为两边一角,容易想到先利用正、余弦定理都可以进行求解得出第三条边,再使用正弦定理或余弦定理结合三角形内角和为180求出另外两角的大小.解法一:由正弦定理得,探究一探究二探究三思维辨析解法二:由利用余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.已知两边及其中一边的对角解三角形时,可使用正弦定理和余弦定理两种方法求解,其中解法一需对A进行讨论,但计算较简单;解法二虽不需分类讨论,但计算过程较复杂.2.应用余弦定理解三角形主要有以下三种情形:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练1(1)在ABC中,若a=5,b=3,C=120,则c=.(2)在ABC中,已知 ,求这个三角形的最小角.(1)答案:7(2)解:因为abc,所以A是最小角.探究一探究二探究三思维辨析【例2】在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试确定ABC的形状.分析:一种思路是将边化为角,通过三角变换判断角的关系;另一种思路是将角转化为边,通过代数变形寻求边的关系.解法一:由正弦定理,探究一探究二探究三思维辨析解法二:因为A+B+C=180,所以sin C=sin(A+B).又因为2cos Asin B=sin C,所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin(A-B)=0.因为A,B均为三角形的内角,所以A=B.又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟判断三角形形状的方法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断出三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.特别提醒:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2(1)在ABC中,若a=2,b=5,c=4,则ABC的形状为.(2)在ABC中,已知 (a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断ABC的形状.探究一探究二探究三思维辨析【例3】(2016甘肃河西五市联考)已知在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的两根.(1)求角A的大小;(2)若 ,设B=,ABC的周长为y,求y=f()的最大值.分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将ABC的周长y表示成关于的函数,再结合三角函数的性质进行求解.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)在ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟对于正弦定理、余弦定理的综合问题,关键要选好突破口,即先用哪个定理,后用哪个定理.如果与其他三角知识结合,那么要充分利用三角函数的相关性质、三角变换等知识.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3探究一探究二探究三思维辨析因忽视构成三角形的隐含条件而致误【典例】在不等边三角形ABC中,a为最大边,若a2b2+c2,求A的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得本题中错解的原因是没有充分利用已知条件,要知道题设中a为最大边,ABC为不等边三角形暗含 的信息.因此,处理三角形中的此类问题要注意题目中的隐含条件.探究一探究二探究三思维辨析变式训练设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=2A,a+c=10,12345答案:B 123452.在ABC中,若bcos A=acos B,则ABC是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.锐角三角形答案:B 123453.在ABC中,若sin Asin Bsin C=324,则cos C=.123454.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,则C=.123455.在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的长.(2)求sin 2C的值.