一、填空题一、填空题一、填空题一、填空题 5 5小题小题小题小题 每题每题每题每题2 2分分分分 共共共共1010分分分分二、判断题二、判断题二、判断题二、判断题 5 5个小题个小题个小题个小题 每题每题每题每题2 2分分分分 共共共共1010分分分分三、选择题三、选择题三、选择题三、选择题5 5个小题个小题个小题个小题 每题每题每题每题2 2分分分分 共共共共1010分分分分四、计算与简答题四、计算与简答题四、计算与简答题四、计算与简答题 3 3个题个题个题个题 共共共共4040分分分分四、证明题四、证明题四、证明题四、证明题 3 3个题个题个题个题 共共共共3030分分分分考试题型考试题型2010复习复习内容复习内容第六章第六章 代数系统代数系统 代数系统定义；同态与同构；子代数。代数系统定义；同态与同构；子代数。复习内容复习内容第七章第七章 函数半群与群函数半群与群 半群（独异点，循环半群，交换半群）；半群同态半群（独异点，循环半群，交换半群）；半群同态与同构；子半群。与同构；子半群。 群（有限群，无限群，交换群，循环群）；子群及群（有限群，无限群，交换群，循环群）；子群及判断；群的同态与同构。判断；群的同态与同构。第八章第八章 环和域环和域 环（整环，除环环（整环，除环 ）的定义；子环；域；）的定义；子环；域；模加与模乘模加与模乘运算运算。第九章第九章 格与布尔代数格与布尔代数 偏序集定义的格；代数系统定义的格；有补格，分偏序集定义的格；代数系统定义的格；有补格，分配格；子格；布尔代数。配格；子格；布尔代数。复习内容复习内容第十章第十章 图图 图的基本概念；边、结点及结点度之间的关系；图图的基本概念；边、结点及结点度之间的关系；图的连通性（强连通，单向连通，弱连通；强分图，单的连通性（强连通，单向连通，弱连通；强分图，单向分图，弱分图）；图的矩阵表示（邻接向分图，弱分图）；图的矩阵表示（邻接矩阵矩阵，关联，关联矩阵矩阵，可达矩阵）。，可达矩阵）。第十一章第十一章 欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图 欧拉图与哈密尔顿图及其判定。欧拉图与哈密尔顿图及其判定。第十二章第十二章 特殊图特殊图 平面图及判定；对偶图；二分图及判定；二分图的平面图及判定；对偶图；二分图及判定；二分图的应用。应用。1.1.设设A,BA,B为集合，为集合，f f：ABAB为一满射函数，则当为一满射函数，则当A A为无限为无限集时，集时，B B （一定（一定/ /不一定）是无限集。不一定）是无限集。 一、填空题（一、填空题（1010分）参考答案分）参考答案不一定不一定2.设设I是正数集合，定义是正数集合，定义 运算为：对任意的运算为：对任意的a,bI, a b=a+b-1。任取。任取aI,则则a的逆元的逆元a-1= 。2-a3.设设是一个环，且对于任意的是一个环，且对于任意的xS，有，有x*x = x，则对于任意的则对于任意的xS，有，有x+x = 。 04.对完全二分图对完全二分图Km,n，若，若Km,n是哈密尔顿图，则是哈密尔顿图，则n和和m须须满足的条件为满足的条件为 。 n=m (n2) 5.在有在有n个结点的连通图中，其边数至少有个结点的连通图中，其边数至少有 条。条。n-1( ) 1.设有集合设有集合A,B,C和和D，若，若AB，CD，则，则ACBD。二、判断题二、判断题（10分）分）参考答案参考答案( ) 2. 设有代数系统设有代数系统,S中的元素个数多于中的元素个数多于1个，若个，若其存在运算其存在运算*的单位元的单位元e和零元和零元，则二者必相等。，则二者必相等。( ) 3.设设是代数系统，其中是代数系统，其中,是二元运算，是二元运算，且这两个二元运算满足交换律、结合律、吸收律和幂且这两个二元运算满足交换律、结合律、吸收律和幂等律，则称代数系统等律，则称代数系统是格。是格。( ) 4. K3,3是边数最少的非平面图，是边数最少的非平面图，K5是结点数最少的是结点数最少的非平面图。非平面图。( ) 5.无向图无向图G中的边中的边e是割边的充分必要条件是是割边的充分必要条件是e不包不包含在含在G的某一回路中。的某一回路中。 2010试题1、(10分分)设设 G , * * 是一个群，是一个群，u为为G 中一个元素中一个元素( u G )，在，在G内定义运算内定义运算“ ”为：对任意的为：对任意的a,b G有有a b= a * * u -1 * * b证明：证明：G对于运算对于运算 构成一个群。其中构成一个群。其中u -1为为u在群在群 G , * * 中的逆元。中的逆元。证明：证明：(1) 封闭性封闭性显然对于任意的显然对于任意的a , b G，有，有a b= a * * u -1* *b G封闭性成立。封闭性成立。(2) 结合律结合律(ab)c =(ab) u-1 c=(a u-1 b) u-1 c =a u-1 (b u-1 c)= a(b u-1 c)=a(bc)结合律成立；结合律成立；三、证明题参考答案三、证明题参考答案(3) 单位元为单位元为u。对任意的对任意的a G，有，有ua= u u-1 a= a，au= a u-1 u= a(4) 对任意的对任意的a G，逆元为，逆元为 u a-1 u。因为对任意的因为对任意的a G，有，有a(u a-1 u)= a u-1 (u a-1 u)= u(u a-1 u)a= (u a-1 u) u-1 a=u综上可知，综上可知，G 对于运算对于运算构成一个群。构成一个群。参考答案参考答案2010试题2、(20分分)设设 A ,+, 为为一一个个环环，其其加加法法单单位位元元记记为为0，乘乘法法单单位位元元记记为为1 。对对于于任任意意的的a, b A，定定义义运运算算 和和 为为：a b=a+b+1，a b= ab + a+b，试试证证明明 A , , 也也为为环环，并并进进一一步步证证明明环环 A , , 和和环环 A , +, 是是同同构构的（即在两者之间存在同构映射）。的（即在两者之间存在同构映射）。2010试题参考答案参考答案证明：证明：(1) 对对，任取，任取a,b,c A a b=a+b+1 A，封闭性成立；，封闭性成立； a b=a+b+1= b+a+1= b a，交换律成立；，交换律成立； (a b) c = ( a+b+1) c = a+b+1+c+1 = a+(b+c+1)+1=a (b c)结合律成立；结合律成立；单位元是单位元是-1（-1为为1的加法逆元）的加法逆元） 因为因为(-1) a = a (-1)= a+(-1)+1=a+0=a，因此单位，因此单位元是元是-1参考答案参考答案2010试题 a的逆元是的逆元是(-a)+(-1)+(-1)=(-a)+2(-1)因为因为a (-a)+(-1)+(-1)= a+(-a)+(-1)+(-1)+1 = (a+(-a)+(-1)+(-1)+1) =0+(-1)+0=-1由由 的可交换性知的可交换性知(-a)+(-1)+(-1)是是a的逆元。的逆元。故故是交换群。是交换群。(2) 对对 A , ，任取，任取a,b,c A a b = ab + a+b A，封闭性成立；，封闭性成立； (a b) c = (a b)c+(a b)+c = (ab+a+b)c+(ab+a+b)+c =abc+ab+ac+bc+a+b+ca (b c)= a(b c)+a+(b c) =a(bc+b+c)+a+(bc+b+c) = abc+ab+ac+bc+a+b+c所以所以(a b) c = a (b c)，结合律成立。，结合律成立。故故是半群。是半群。 参考答案参考答案2010试题(3) 对对 的分配律，任取的分配律，任取a,b,c A a (b c)= a(b c)+ a+(b c) =a( b+c+1)+a+( b+c+1) (a b) (a c)=(ab+a+b) ( ac+a+c) =(ab+a+b)+( ac+a+c)+1 =a( b+c+1)+a+( b+c+1)故：故：a (b c)= (a b) (a c) 同理可证同理可证(b c) a = (b a) (c a)，分配律成立。，分配律成立。故故 A , , 是交换环。是交换环。参考答案参考答案2010试题(4) 定义定义 f：AA，使任取，使任取a A, f(a)=a+(-1)=a -1 对于任意对于任意a A，存在元素，存在元素a+1 A，使，使 f(a+1)=(a+1)+(-1)=a因此因此 f 是是满射的满射的； 设设a1, a2 A，且，且a1 a2，若，若f(a1)= f(a2)，即若，即若a1-1= a2-1，则则a1-1+1= a2-1+1，于是，于是a1= a2，与，与a1 a2矛盾，矛盾，因此当因此当a1 a2，f(a1) f(a2)，故，故 f 是单射的。所以是单射的。所以 f 是是双射的双射的。参考答案参考答案2010试题任取任取a,b A f(a+b)=a+b-1 f(a) f(b)=(a-1) (b-1)=(a-1)+(b-1)+1= a+b-1因此因此 f(a+b) = f(a) f(b)又又 f(ab)=ab-1f(a) f(b)=(a-1) (b-1)=(a-1)(b-1)+ (a-1)+(b-1)= ab-1因此因此f(ab)= f(a) f(b)由上可知，由上可知，f 是环是环 A , +, 到环到环 A , , 的同构，环的同构，环 A , , 和环和环 A , +, 是同构的。是同构的。参考答案参考答案2010试题1、(20分分)设有向图设有向图G=如图所示，求如图所示，求(1) G的关联矩阵；的关联矩阵；(2) G的邻接矩阵；的邻接矩阵；(3) G的可达矩阵；的可达矩阵；(4) 图中所有长度小于等于图中所有长度小于等于5的通路（包括回路）数的通路（包括回路）数目；目； (5) 求求G的强分图、单向分图和弱分图的强分图、单向分图和弱分图。v1v2v4v3e1e2e3e4e5Gv5e6解：解：(1) G的关联矩阵为的关联矩阵为2010试题四、简答与计算题参考答案四、简答与计算题参考答案参考答案参考答案2010试题(3) G的可达矩阵为的可达矩阵为(2) G的邻接矩阵为的邻接矩阵为v1v2v4v3e1e2e3e4e5Gv5e6(4) 图中所有长度小于等于图中所有长度小于等于5的通路（包括回路）数目的通路（包括回路）数目为为30条。条。(5) G的强分图为的强分图为Gv1, v2, v4、Gv3和和Gv5； G的单向分图为的单向分图为G本身；本身； G的弱分图为的弱分图为G本身。本身。参考答案参考答案2010试题v1v2v4v3e1e2e3e4e5Gv5e62、(10分分)设图设图G=，其中边数，其中边数m =21，3个个4度结点，其余的度结点，其余的均为均为3度结点，求此图的结点数。度结点，求此图的结点数。参考答案参考答案2010试题解：解：对图对图G=，由图中边数与结点度数之，由图中边数与结点度数之间的关系：有：间的关系：有：3 4+3 (n-3)=2 21 即：即：3n=39 n=13一、设一、设G=Q-1(Q为有理数集合为有理数集合)，定义，定义G上的二元运算上的二元运算 为为a b=a+b-ab，试证明，试证明是一个群。是一个群。二、设二、设是一个格，试证明对于任意元素是一个格，试证明对于任意元素a,b,c L，有，有a(ab)(ac)= (ab)(ac)三、设有向图三、设有向图G=如图所示，求如图所示，求(1) G的关联矩阵；的关联矩阵；(2) G的邻接矩阵；的邻接矩阵；(3) G的可达矩阵；的可达矩阵；(4) 从从v1到到v2长度小于等于长度小于等于3的通路数目；的通路数目；(5) 求求G的强分图。的强分图。课堂练习课堂练习2010试题部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！