二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴动轴定区间、动区间定轴1.练习：已知函数练习：已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； （4 4）若）若x x ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 2.练习：练习：已知函数已知函数f(x)= x22x 3.（1）若）若x 2，0 , 求函数求函数f(x)的最值；的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1由图知，由图知，y=f(x)在在 2，0 上为减函数上为减函数 故故x=-2时有最大值时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值时有最小值f(0)=-33.例例1、已知函数、已知函数f(x)= x2 2x 3.（1）若）若x 2，0 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；（2）若）若x 2，4 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1由图知，由图知，y=f(x)在在 2，4 上为增函数上为增函数 故故x=4时有最大值时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值时有最小值f(2)=-34.例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； （3）若）若x ,求函数求函数f(x)的最值；的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1,由图知，由图知，x= 时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-45.例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； （4 4）若）若x x ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1,由图知，由图知，x= 时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-46.例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3 （4 4）xx （1）x 2，0 （2）x 2，4 （3）x 思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间m，n上的最值通常在哪里取到？上的最值通常在哪里取到？7.总结总结：求二次函数：求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上上 上的最值或值域的一般方法是：上的最值或值域的一般方法是： （2 2）当）当x x0 0mm，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0） 中的较大者是最大值中的较大者是最大值, ,较小者是最小值；较小者是最小值； （1）检查）检查x0= 是否属于是否属于 m，n；（3 3）当）当x x0 0 m m，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)中的较大中的较大 者是最大值，较小者是最小值者是最大值，较小者是最小值. .8. 思考：思考：如何如何 求函数求函数y=x2-2x-3在在x k,k+2时的最值时的最值?解析解析: 因为函数因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称的对称 轴为轴为 x=1 固定不变固定不变,要求函数的最值要求函数的最值, 即要看区间即要看区间k,k+2与对称轴与对称轴 x=1的位的位 置置,则从以下几个方面解决如图则从以下几个方面解决如图:9. 例例: 求函数求函数y=x2-2x-3在在x k,k+2时时的最值的最值10. 当当k+21即即k -1时时 f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-311. 当当 k 1 k+2 时时 即即-1 k 1时时f(x)min=f(1)=- 4当当f(k)f(k+2)时，时，即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即-1k0时时f(x)max=f(k)=k2-2k-3当当f(k) f(k+2)时，时，即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即0 k1时时f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-312. 当当k 1 时时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3f(x) min=f(k)=k2-2k-313. 例例: 求函数求函数y=x2-2x-3在在x k,k+2时的最值时的最值 当当k -1时时 当当-1k 0时时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3当当0 k1时时f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(1)=- 4f(x)min=f(1)=- 4f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当当k 1 时时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3f(x) min=f(k)=k2-2k-314. 例例: 求函数求函数y=x2-2x-3在在x k,k+2时的最值时的最值评注评注：例例1 1属于属于“轴定区间动轴定区间动”的问题，看作动区的问题，看作动区间沿间沿x x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。开口方向及端点情况。15.例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： O1xy-116.例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： -11Oxy17.例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： -11Oxy18.例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： Oxy1-1当当 即即a 2时时y的最小值为的最小值为f(-1)=4-a解：19.例例3：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： Oxy1-1(2)当当 即即-2 a2时时y的最小值为的最小值为f( )=121 - - - -a20.例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： Oxy1-1(3)当当 即即a-2时时y的最小值为的最小值为f(1)=4+a函数在函数在-1,1上是减函数上是减函数21.例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： Oxy1-1Oxy1-1Oxy1-1当当a-2时时f(x)min=f(1)=4+a当当-2a1时，则时，则g(t)=f(t)=t2- -2t+1; (3)当当t+11，即，即t0时，则时，则g(t)=f(t+1)=t2+1;t2- -2t+2;(0t 1)g(t)=(t1)31.思考：二次函数思考：二次函数f(x)=x2-2x-3在在-3,a (a-3)上的最值是多少？上的最值是多少？yxo1-3afmin=f(a)=a2-2a-3fmax=f(-3)=1232.yx o1-3a5yx o1-35af(x)=x2-2x-3,x -3,a (a-3)fmin=f(1)=-4fmax=f(-3)=12fmin=f(1)=-4fmax=f(a)= a2-2a-333.例题讲解：例题讲解： 例例1 设函数设函数 f(x) =x2- -2x-3.3在区间在区间t，t+1上的最小值上的最小值为为g(t)，求，求g(t)的解析式。的解析式。分析分析解：解：f(x)=(x- -1)2-4.3，对称轴为，对称轴为x=1 (2)当当0t 1时，则时，则g(t)=f(1)=-4.3; (1)当当t1时，则时，则g(t)=f(t)=t2- -2t-3.3; (3)当当t+11，即，即t0时，则时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;t2- -2t-3.3;(0t 1)g(t)=(t1)34. 例例2 求求 f(x) =x2-a-ax+a在区间在区间- -1，1上的最值。上的最值。分析分析解：解：f(x)=(x- - )2+a- - ，对称轴为，对称轴为x= (1)若若 ，即，即a- -2时，时， f(x)min=f(- -1)=1+2a1+2a，f(x)max=f(1)=1; (4)若若 , 即即a2时，时， f(x)min=f(1)=1， f(x)max=f(- -1)=1+2a; (2)若若- -1 0 ,即即- -2a0时，时，f(x)min=f( )=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1; (3)若若0 1 ,即即0 0a2时，时，f(x)min=f( )= a-a2/4， f(x)max=f(- -1)=1+2a;35.解析：因为函数y=x2+2ax+3 =（x+a)2+3-a2的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a是否在区间-2，2之内，则从以下几个方面解决如图：例3：求函数y=x2+2ax+3在x -2,2时的最值？36.