第九章第九章 重积分重积分三三 重重 积积 分分三三 重重 积积 分分一、三重积分的概念一、三重积分的概念 1定义定义: 2物理意义物理意义: 的空间物体的空间物体 的质量的质量。表示体密度为表示体密度为 二、三重积分的性质二、三重积分的性质 1.线性性质：线性性质： 2.可加性：可加性： 4. 单调性：单调性：若若 在上，在上， ，则，则 3. 的体积：的体积： 5估值性质：估值性质：的体积，则在的体积，则在 上至少存在一点上至少存在一点 ，使得，使得 6. 中值定理：中值定理：设函数设函数 在闭区域在闭区域 上连续，上连续， 是是 , 则则 7.奇偶对称性：奇偶对称性：关于关于xoy面对称，面对称，为为z的奇函数的奇函数关于关于xoy面对称，面对称，为为z的偶函数的偶函数三、三重积分的计算方法三、三重积分的计算方法 1利用直角坐标计算利用直角坐标计算 （1）“先一后二先一后二”法法 则则 （2）“先二后一先二后一”法法 其中其中 是竖坐标为是竖坐标为 的平面截的平面截 闭区域所得到的一个闭区域所得到的一个平面闭区域，则平面闭区域，则 若若 为为 在在 面上的投影区域面上的投影区域若若2利用柱面坐标计算利用柱面坐标计算若若 3利用球面坐标计算利用球面坐标计算若若 则则 则则 四、三重积分的解题方法四、三重积分的解题方法计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。通常要判别被积函数三种坐标计算。通常要判别被积函数 和积分区域和积分区域 所具有的特点。如果被积函数所具有的特点。如果被积函数 积分区域积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数被积函数 ，则可采用先二后一法计算；如果，则可采用先二后一法计算；如果 被积函数被积函数 ，积分区域，积分区域 为柱或为柱或 的投影的投影 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：利用球面坐标计算利用球面坐标计算先一后二的方法先一后二的方法YesNoNoYes 转化为三次积分转化为三次积分 先二后一的方法先二后一的方法求求D1及截面面积及截面面积 求求 确定确定 上顶曲面上顶曲面 下顶曲面下顶曲面 为柱为柱或或 投影为圆域投影为圆域投影为圆域投影为圆域利用柱面坐标计算利用柱面坐标计算 确定确定 上顶曲面上顶曲面 下顶曲面下顶曲面利用直角坐标计算利用直角坐标计算YesNo1231112解题方法流程图解题方法流程图五、重积分的应用五、重积分的应用 1几何应用几何应用2物理应用物理应用（1）质量）质量 （2）质心）质心 ， ， （3）转动惯量）转动惯量 空间立体空间立体 的体积的体积:曲面的面积曲面的面积:六、典型例题六、典型例题【例【例1】设有一物体，占有空间闭区域】设有一物体，占有空间闭区域在点在点 处处 的密度为的密度为 ，计算该物体的质量。，计算该物体的质量。 分析分析 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为 。故只需计算三重积分即可。而积分故只需计算三重积分即可。而积分区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。 解解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为分析分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应考考虑虑利用直角坐利用直角坐标计标计算；即按照框算；即按照框图图中中线线路路1 11的方法计算。的方法计算。 解解: （如图）在平面（如图）在平面 上的投影域上的投影域 . 的上顶曲面的上顶曲面 为为 ，即即 ： 。 【例【例2】 计算三重积分计算三重积分 。其中。其中 为平面为平面 ， ， ， ，所围成的四面体。，所围成的四面体。 下顶曲面下顶曲面 为为 。 于是，得于是，得【例【例3】 计算三重积分计算三重积分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 与平面与平面 ， 及及 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 分析分析 由于积分区域和被积函数不具有利用由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一先二后一”、 柱面柱面 坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标来计算，即按照框图中线路来计算，即按照框图中线路1 11的方法计算。的方法计算。 解解: (1) 求求 （如图）在平面（如图）在平面 上的投影区域为上的投影区域为 (2) 确定上顶曲面确定上顶曲面 及下顶曲面及下顶曲面 。(3) 转化为先对转化为先对 后对后对 的三次积分计算：的三次积分计算：因为当因为当 时满足时满足 ， ,。因此。因此【例【例4】 计算三重积分计算三重积分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 及平面及平面 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 分析分析 由于积分区域由于积分区域 在在 坐标面上的投影区域为圆域坐标面上的投影区域为圆域 且被积函数中含有且被积函数中含有 ，所以可采用柱面，所以可采用柱面 坐标计算，即按照框图中线路坐标计算，即按照框图中线路1 12的的方法计算比较简单。方法计算比较简单。 解：积分区域解：积分区域 的如图所示。的如图所示。在柱面坐标下在柱面坐标下故有故有 【例【例5】计算三重积分】计算三重积分 . 其中其中 是由锥面是由锥面 与平面与平面 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 被竖坐标为被竖坐标为 的平面所截的平面闭区域为圆域的平面所截的平面闭区域为圆域 故本题利用直角坐标系中故本题利用直角坐标系中“先二后一先二后一”的方法，即按照框图中的方法，即按照框图中面上的投影区域为圆域面上的投影区域为圆域 ，所以本题也可采用柱面坐标计算，即所以本题也可采用柱面坐标计算，即按框图中线路按框图中线路1 12的方法计算。的方法计算。 解法解法1：利用：利用“先二后一先二后一”方法计算。方法计算。由于由于 ， 线路线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域的方法来计算比较简便；考虑到积分区域 在在 坐标坐标 分析分析 由于被积函数由于被积函数 只与变量只与变量 有关，且积分区域有关，且积分区域 其中其中 ，故，故 解法解法2：利用柱面坐标计算。：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下在柱面坐标下 故有故有 注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但来计算，但“先二后一先二后一”法相对简便。法相对简便。【例【例6】计算三重积分】计算三重积分 ，其中，其中 是由圆锥面是由圆锥面 与上半球面与上半球面 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 分析分析 同上同上题题的分析，本的分析，本题题可考可考虑虑用直角坐用直角坐标标系中的系中的“先二先二后一后一”法和柱面坐标方法进行计算。法和柱面坐标方法进行计算。 解法解法1：利用：利用“先二后一先二后一”方法计算。方法计算。因因 由于当由于当 时，时， ； 而当而当 时，时， 。 故需用平面故需用平面 将积分区域将积分区域 划分为两部分：划分为两部分：其中其中于是，得于是，得解法解法2：利用柱面坐标计算。：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下在柱面坐标下故有故有注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。【例【例7】求】求 ，其中，其中 是由球面是由球面 所限定的球域。所限定的球域。分析分析 由于积分区域由于积分区域 是由球面所围成的球域，且被积函数是由球面所围成的球域，且被积函数线路线路2的方法计算比较简单。的方法计算比较简单。 在在球面坐球面坐标标系下，系下，中含有中含有 ，故本题利用球面坐标计算，即框图中，故本题利用球面坐标计算，即框图中解：积分区域解：积分区域 的图形如图。的图形如图。故有故有 分析分析 由于积分区域由于积分区域 是由两个球面及平面所围成的球壳体，故是由两个球面及平面所围成的球壳体，故 【例【例8】计算三重积分】计算三重积分 。 其中其中 是由球面是由球面 和平面和平面 所确定的闭区域。所确定的闭区域。 本题利用球面坐标计算，即框图中线路本题利用球面坐标计算，即框图中线路2的方法计算比较简单。的方法计算比较简单。解：积分区域解：积分区域 的图形如图。的图形如图。在球面坐标系下在球面坐标系下 故有故有 【例【例9】计算三重积分】计算三重积分 。其中是。其中是 两个球体两个球体 及及 的公共部分。的公共部分。 计算，即框图中线路计算，即框图中线路2和线路和线路112的计算方法。但由于被积的计算方法。但由于被积 又满足框图中线路又满足框图中线路3的条件，故亦可用的条件，故亦可用“先二后一先二后一”法来求解。法来求解。解法解法1：利用球面坐：利用球面坐标计标计算。算。用圆锥面用圆锥面 将将 分成两部分分成两部分分析分析 由于由于 在在 平面上的投影区域为圆域（如图），且平面上的投影区域为圆域（如图），且 的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标函数函数 而而 的截面面积的截面面积 又非常容易求又非常容易求, 因此，因此， 其中其中于是，得于是，得解法解法2：利用柱面坐标计算。：利用柱面坐标计算。由于由于 在在 平面的投影区域平面的投影区域 ；故在柱面坐标下，故在柱面坐标下，于是有于是有解法解法3：用：用“先二后一先二后一”法计算。法计算。用平面用平面 将积分区域将积分区域 划分为两部分：划分为两部分： ，其中，其中 于是，得于是，得注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用三种方法来求解，三种方法来求解， 但其中的但其中的“先二后一先二后一”法最为简便。法最为简便。【例【例10】设】设 ，计算，计算 ， 分析分析 由于积分区域由于积分区域 关于关于 面对称，而函数面对称，而函数关于变量关于变量 为奇函数，所以为奇函数，所以 ，又，又 ，故本题可利用对称性及积分的性质计算。故本题可利用对称性及积分的性质计算。 解：解： 【例【例11】* 计算三重积分计算三重积分 。其中。其中 为：为： 分析分析 由于被积函数中含有绝对值，所以应首先考虑如何去掉由于被积函数中含有绝对值，所以应首先考虑如何去掉绝对值注意到积分区域绝对值注意到积分区域 关于三个坐标面均对称，同时被积关于三个坐标面均对称，同时被积 可将所求的三重积分简化为如下积分可将所求的三重积分简化为如下积分 其中其中 为为 在第一卦限内的区域。而积分在第一卦限内的区域。而积分 可在直角可在直角 解：设解：设 函数函数 关于关于 都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，坐标系下采用先对坐标系下采用先对 后对后对 的的 “先二后一先二后一” 的方法计算。的方法计算。在在 投影区域为：投影区域为：由于积分区域由于积分区域 关于三个坐标面均对称，同时被积函数关于三个坐标面均对称，同时被积函数注：若本题用球面坐标法计算，尽管积分限很简单，但被积注：若本题用球面坐标法计算，尽管积分限很简单，但被积函数的积分却不易求得。函数的积分却不易求得。 关于关于 都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，得都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，得【例【例12】* 设设 连续，连续， ，其中，其中 ， 。求。求 ， 。 分析分析 本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目。由于积分区域综合题目。由于积分区域 为圆柱体为圆柱体, 故应首先利用柱面坐标故应首先利用柱面坐标将三重积分将三重积分 转化成积分变上限的函数，然后求导，最后转化成积分变上限的函数，然后求导，最后再利用洛必达法则求极限。再利用洛必达法则求极限。 解解: 由柱面坐标得由柱面坐标得从而有从而有 ；于是；于是 型型