空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用课件制作:顺德区容山中学徐志刚空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用考试要求考试要求: :根据根据2004年最新全国高考考试说明年最新全国高考考试说明,高考对空间向量作如下要求高考对空间向量作如下要求:1.理解空间向量的概念理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算；掌握空间向量的加法、减法和数乘运算；3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质。掌握用直角坐标系计掌握空间向量的数量积的定义及其性质。掌握用直角坐标系计算空间向量数量积的公式。掌握空间两点间距离公式。算空间向量数量积的公式。掌握空间两点间距离公式。2.了解空间向量的基本定理。理解空间向量坐标的概念，掌握空了解空间向量的基本定理。理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。间向量的坐标运算。4.理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念。概念。空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用高考的命题趋势分析：高考的命题趋势分析： 纵观近几年高考试题，立体几何的解答题都保持一道，而且纵观近几年高考试题，立体几何的解答题都保持一道，而且是以正三棱柱、正四棱柱、直三棱柱等柱体为背景的既可用传是以正三棱柱、正四棱柱、直三棱柱等柱体为背景的既可用传统方法，又能用向量方法解题的题型，所以应特别注意。空间统方法，又能用向量方法解题的题型，所以应特别注意。空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直及它们之直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直及它们之间的距离、夹角紧密相连，是高考的重点和热点。在把握传统间的距离、夹角紧密相连，是高考的重点和热点。在把握传统方法的基础上，要有意识的甚至创造性地运用向量解决立体几方法的基础上，要有意识的甚至创造性地运用向量解决立体几何问题。何问题。空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用学法指导：学法指导： 立体几何是在高一学习了平面向量的基础上，引入立体几何是在高一学习了平面向量的基础上，引入“空间向量空间向量及其运算，空间向量的坐标运算及其运算，空间向量的坐标运算”这一部分内容的。用向量法和这一部分内容的。用向量法和坐标法解决立体几何问题，为立体几何问题的解决建立了新的角坐标法解决立体几何问题，为立体几何问题的解决建立了新的角度，是新教材的倡导重点。度，是新教材的倡导重点。03、04年数学高考的新课程卷对教年数学高考的新课程卷对教学大纲规定的新增内容的考察力度，无论是知识的覆盖、所占分学大纲规定的新增内容的考察力度，无论是知识的覆盖、所占分值的比例，还是试题的综合性、灵活性和应用性都比以前几年有值的比例，还是试题的综合性、灵活性和应用性都比以前几年有所增强。其中特别强调的是向量、导数、概率。向量的知识体系所增强。其中特别强调的是向量、导数、概率。向量的知识体系可以从向量法和坐标法体现出来。同学们应从整体上加深理解。可以从向量法和坐标法体现出来。同学们应从整体上加深理解。值得提醒的是：虽然我们今天专题讨论的是空间向量的应用，但值得提醒的是：虽然我们今天专题讨论的是空间向量的应用，但向量与平面三角、平面几何、立体几何、解析几何的知识和方法向量与平面三角、平面几何、立体几何、解析几何的知识和方法相互联系和转化，处于知识网络的交汇点，是设计试题的良好素相互联系和转化，处于知识网络的交汇点，是设计试题的良好素材，故整个向量知识都应引起同学们的重视材，故整个向量知识都应引起同学们的重视空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用知识框图：知识框图：利利用用向向量量求求角角两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角直线与平面所成的角直线与平面所成的角二面角二面角利利用用向向量量求求距距离离点到直线的距离点到直线的距离点到平面的距离点到平面的距离直线到平面的距离直线到平面的距离平行平面间的距离平行平面间的距离异面直线间的距离异面直线间的距离利利用用向向量量证证平平行行利利用用向向量量证证垂垂直直两条直线垂直两条直线垂直直线与平面垂直直线与平面垂直二个平面垂直二个平面垂直两条直线平行两条直线平行直线与平面平行直线与平面平行二个平面平行二个平面平行空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用方法指导：方法指导：1.1.怎样利用向量求角？求角一般用向量的夹角公式。怎样利用向量求角？求角一般用向量的夹角公式。异面直线所成的角是：异面直线所成的角是：两条直线上的方向向量的夹角或它们的两条直线上的方向向量的夹角或它们的补角。取其中的锐角或直角（补角。取其中的锐角或直角（即它们夹角的余弦值为非负即它们夹角的余弦值为非负）直线与平面所成的角直线与平面所成的角可以转化为直线和直线在平面内的射影所可以转化为直线和直线在平面内的射影所成的角（成的角（即直线方向向量与平面法向量所成的锐角的余角即直线方向向量与平面法向量所成的锐角的余角）二面角二面角可以转化为在两个半平面内起点分别在棱上的两个向可以转化为在两个半平面内起点分别在棱上的两个向量的夹角，或运用两个平面的定向法向量求得。量的夹角，或运用两个平面的定向法向量求得。空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用方法指导：方法指导：2.2.怎样利用向量求距离？怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值值）。）。点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用方法指导：方法指导：3.3.怎样利用向量证平行？怎样利用向量证平行？运用共线向量基本定理可证线线平行；运用共线向量基本定理可证线线平行；利用共面向量基本定理可证线面平行；利用共面向量基本定理可证线面平行；面面平行可转化为证明线面平行或线线平行。面面平行可转化为证明线面平行或线线平行。4.4.怎样利用向量证明垂直？怎样利用向量证明垂直？利用两条直线的方向向量的数量积为零证线线垂直；利用两条直线的方向向量的数量积为零证线线垂直；线面垂直可以转化为证明线线垂直；线面垂直可以转化为证明线线垂直；面面垂直可用判定定理，也可求两个平面的二面角是直角。面面垂直可用判定定理，也可求两个平面的二面角是直角。空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用应用举例：应用举例： 1.已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为1，PD 平面平面ABCD，且，且PD=1，E、F分别为分别为AB、BC的中点。的中点。求证：求证：PE AF；求点求点D到平面到平面PEF的距离；的距离；求直线求直线AC到平面到平面PEF的距离；的距离；求直线求直线PA与与EF的距离；的距离；求直线求直线PA与与EF所成的角；所成的角；求求PA与平面与平面PEF所成的角；所成的角；求二面角求二面角A-PE-F的大小。的大小。ABCDEFPxyz空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用应用举例：应用举例：已知在已知在的二面角的棱上有两点、，的二面角的棱上有两点、，线段、分段、分别在平面、内，且，在平面、内，且，。，。求的求的长；求异面直求异面直线与所成的角；与所成的角；求与平面求与平面 所成的角；所成的角；如果，求二面角的大小。如果，求二面角的大小。空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用作业与练习：作业与练习：（年北京春季高考第题）如图，四棱锥（年北京春季高考第题）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面的底面是边长为的正方形，底面（）求证：；）求证：；（）求平面和平面的二面角的大小；）求平面和平面的二面角的大小；（）设棱的中点，求异面直线与所成的角的）设棱的中点，求异面直线与所成的角的大小大小空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用作业与练习：作业与练习：（年汕头高考模拟试题第题）在三角形（年汕头高考模拟试题第题）在三角形中，中，为的平分线，为的平分线，过作于，延长交于，作，过作于，延长交于，作，交的延长线于，将图形沿折起，使交的延长线于，将图形沿折起，使求：求：（）折起后与所成的角；）折起后与所成的角；（）折起后所得的线段的长度）折起后所得的线段的长度空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用作业与练习：作业与练习： 3.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角中，底面是等腰直角三角形，形， , , 侧棱侧棱 ，D、E分别是分别是 与与 的中的中点，点点，点E在平面在平面ABD上的射影是上的射影是ABD的重心的重心G. (1)求求 与平面与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表所成角的大小（结果用反三角函数值表示）示） (2)求求 点到平面点到平面AED的距离的距离 (2003年全国高考理科试题第18题)ABCA1B1C1DEG空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用空间向量在空间向量在立几中应用立几中应用