第十一章 曲线积分与曲面积分11-1 对弧长的曲线积分定义：设 L 为 面内的一条光滑曲线弧，函数 上有界，在 上任意插入一点列 把 L分成 n 个小段，设第 个小段的长度为 为第 个小段上任意取定的一点， 作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲线弧上 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分， 其中 叫做被积函数，L 叫做积分弧段。例1计算 ，其中L为圆周 ，直线 及轴在第二象限内所围成的扇形整个边界。例2计算 ，其中 为折线 ，这里依次为点例计算 ，其中L为曲线 。例4计算 ，其中L为折线 所围成的区域的整个边界 例5计算半径为R，中心角为 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量（设线密度 ）。11-2 对坐标的曲线积分定义：设 L 为 面内从点 A 到点 B的一条有向光滑曲线弧，函数 上有界，在 L 上沿 L的方向任意插入一点列把 L 分成 n 个有向小弧线段设 为 上任意取定点，如果当各小弧段长度的最大值 时，的极限总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 的曲线积分，记作 ，类似地，如果 总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧L 上对坐标 的曲线积分，记作其中 叫做被积函数，L 叫做积分弧段。以上两个积分也称为第二类曲线积分。(一)定理：设 在有向曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ，当参数 单调地由变到 时，点 从 L 的起点 A沿L运动到终点 B， 在以 为端点的闭区间上具有一阶连续导数且 则曲线积分 存在，且 例1计算 ，其中 L 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。例2计算 ，其中L为（1）半径为 ，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周。（2）从点 沿 轴到点 的直线段。例3计算 ，其中 L为（1）抛物线 上从 的一段弧。（2）抛物线 上从 的一段弧。（3）有向折线 ,这里O,A,B依次是 点（0，0），（1，0），（1，1）.例4计算 其中 为椭圆若从 轴正向看去， 的方向是顺时针的。例5设一个质点在 处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点，此质点由点 沿椭圆 按逆时针方向移动到点 ，求力F所做的功W。例6将对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线 从点 到点 。11-3 格林公式及其应用例1求椭圆所围成图形的面积。例2设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明：例3计算 ，其中D是为顶点三角形闭区域。例4计算 ，其中 L为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向。例5计算其中 L 是曲线及 所围成的区域的边界，按逆时针方向。例6计算 ，其中L是以为顶点的三角形正向边界曲线。例7计算 ，其中 L 为（1）圆周 的正向。（2）正方形边界 的正向。例8计算其中L为曲线 按 增大的方向。定理2 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是 在G内恒成立。例9计算曲线积分 其中L是以点 为中心，R为半径的圆周 取逆时针方向。定理3 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则在G内为某一函数 的全微分的充分必要条件是 在G内恒成立。推论 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关的充分必要条件是：在G 内存在函数 ， 使例10验证 在右半平面 内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例11验证：在整个 面内， 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例12验证：在整个 面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例13求解方程11-4 对面积的曲面积分定义 设曲面 是光滑的，函数 在 上有界，把 任意分成 小块 （ 同时也代表第 小块曲面的面积），设 是 上任意取定的一点，作乘积 并作和 ，如果当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 即其中 叫做被积函数， 叫做积分曲面。例1计算曲面积分 ，其中 是球面 被平面 截出的顶部。例2计算曲面积分 其中 是介于之间的圆柱面 。例3计算 ，其中 是由平面 及 所围成的四面体的整个边界曲面。例4计算 ，其中 是圆锥面 被柱面 所截的部分。例5设 为椭球面 的上半部分,点 （为 在点P处的切平面） 为点 到平面的距离，求11-5 对坐标的曲面积分定义 设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界，把 任意分成 块小曲面 （ 同时又表示第 块小曲面的面积）， 在 面上的投影为 上任意取定的一点，如果当个小块曲面的直径的最大值 时，总存在，则称此极限为函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分，记作 即其中 叫做被积函数， 叫做积分曲面。 类似地可以定义函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分 及函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分 分别为以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。例1计算曲面积分 其中 是长方体 的整个表面的外侧，例2计算曲面积分其中 是球面 外侧在 的部分。例3计算 ，其中 为锥面 及平面 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。例4计算曲面积分其中 是旋转抛物面介于平面 之间的部分的下侧。例5计算其中 是平面在第一卦限部分的上侧。11-6 高斯公式 通量与散度一、高斯公式（一）定理1 设空间闭区域 是由分布光滑的闭曲面 所围成，函数 在 上具有一阶连续偏导数，则有 这里 的整个边界曲面的外侧， 处的法向量的方向余弦，上面公式叫做高斯公式。例1利用高斯公式计算曲面积分其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。例2利用高斯公式计算曲面积分 其中 为锥面 介于平面 之间的部分的下侧， 在点 处的法向量的方向余弦。例3计算曲面积分其中 为上半球面的上侧。例4设函数 在闭区域 上具有一阶及二阶连续偏导数，证明：其中 是闭区域 的整个边界曲面 为函数 沿 的外法线方向的方向导数，符号 称为拉普拉斯算子，这个公式叫做格林第一公式。二、通量与散度（一）通量定义 设某向量场由给出，其中 具有一阶连续偏导数， 是场内的一片有向曲面， 处的单位法向量，则叫做向量场 A 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量）例5求向量场 穿过曲面 流向上侧的通量，其中 为柱面 ，被平面 截下的有限部分。11-7 斯托克斯公式 环流量与旋度一、斯托克斯公式（一）定理：设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符合右手规则，函数 在曲面 （连同边界 ）上具有一阶连续偏导数，则有上面公式叫做斯托克斯公式。例1利用斯托克斯公式计算曲线积分 其中 为平面 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则。例2利用斯托克斯公式计算曲线积分其中 是用平面 截立方体 的表面所得的截痕，若从 轴的正向看去取逆时针方向。二、环流量与旋度（一）环流量设有向量场 其中函数 均连续， 的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线, 处的单位切向量，则积分称为向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量，其中 是有向曲线 处的切向量的方向余弦。例3求向量场沿闭曲线 的环流量，其中 为锥面 和平面 的交线，从 轴正向看 为逆时针方向。例4计算曲面积分其中 是锥面 在 面上方的部分，单位法向量 指向锥外。例5设函数（1）求梯度 。 （2）求向量场 的散度 （3）计算向量场 穿过曲面 流向外侧的通量，其中 是由曲 面 所围立体 的表面。