四种命题及其关系四种命题及其关系【例1】设原命题是“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 【解析】逆命题：已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd.假命题否命题：已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd.假命题逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab或cd.真命题 对于命题，要注意大前提以及命题的条件和结论在写命题的其他形式时，大前提一般不动，只是对条件和结论作相应的改写 【变式练习1】已知命题p：“若a0，则方程x2xa0有实数根”写出命题p的否命题和逆否命题，并分别判断其真假【解析】否命题：若a0，则方程x2xa0没有实数根，该命题是假命题逆否命题：若方程x2xa0无实数根，则a0，该命题为真命题 充分、必要条件的充分、必要条件的判断判断 【例2】在下列四个结论中，正确的是_(填上你认为正确的所有答案的序号)“x0”是“x|x|0”的必要不充分条件；已知a，bR，则“|ab|a|b|”的充要条件是ab0；“a0，且b24ac0”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集是R”的充要条件；“x1”是“x21”的充分不必要条件【解析】因为由x0推不出x|x|0，如x1，x|x|0，而x|x|0x0，故正确；因为a0时，也有|ab|a|b|，故错误，正确的应该是“|ab|a|b|”的充分不必要条件是ab0；由二次函数的图象可知正确；x1时，有x21，故错误，正确的应该是“x1”是“x21”的必要不充分条件，所以正确 答案： 判断充分条件和必要条件可以从逻辑上判断，也可以从命题的关系上判断，还可以从集合的角度判断，同时，要善于通过举反例说明一个命题不成立 充分不必要条件充分条件和必要条充分条件和必要条件的应用件的应用 要理解充分条件和必要条件，能够正确地将充分条件和必要条件转化为集合之间的关系、图形之间的关系，也即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题 (2,2) 1.命题“若x21，则1xb，则2a2b1”的否命题为_. 4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(从充分性和必要性两方面分析)：(1)在ABC中，p：AB，q：BCAC；(2)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0若ab，则2a2b1【解析】(1)根据同一三角形中，大边对大角，大角对大边，所以p是q的充要条件；(2)因为p成立，q必成立，而q成立，p不一定成立，如x1，y3时q成立，p不成立，故p是q的充分不必要条件 5.已 知 集 合 P x|x 1|2， Sx|x2(a1)xa0若“xP”的充要条件是“xS”，求a的值 1判断一个语句是否为命题，关键要看能否判断其真假陈述句、反意疑问句都是命题，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题 2在判断四种命题的相互关系时，首先要分清原命题的条件和结论，再写出其它相应命题的条件和结论而在判断命题真假性时，经常利用判断其逆否命题的真假性判断原命题的真假性，如判断命题“若ab0，则a0或b0”的真假时，原命题难以理解，我们可以改为判断其逆否命题“若a0且b0，则ab0”的真假，而逆否命题显然为真，所以原命题为真1(2010泰州一模卷)若集合M1，m2，集合N2,4，则“m2”是“MN4”的_(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)答案：充分不必要条件选题感悟：“充要条件”是中学数学中极其重要的一个概念，可以灵活地与学科内或学科间的知识点相结合，因此始终是高考考查的热点2(2010海安中学高考前冲刺卷)“a1且b1”是“直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切”的_条件(填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)【解析】若a1且b1，则圆心(1,1)到直线xy0的距离是，等于圆的半径，即直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切，反之不成立，即“a1且b1”是“直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切”的充分不必要条件 答案：充分不必要