等差数列与等比数列等差数列与等比数列等差数列与等比数列等差数列与等比数列类比研究类比研究类比研究类比研究上海市川沙中学上海市川沙中学高三（高三（1 1）班和龚瑞华）班和龚瑞华一、等差与等比数列基本性质回顾：一、等差与等比数列基本性质回顾：等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义中项中项通项通项任意两项之任意两项之间的关系间的关系下标和相同下标和相同的两项之间的两项之间的关系的关系二、孙祎莉的探索过程：二、孙祎莉的探索过程：设设 为等比数列（为等比数列（ ）, ,则则 为等差数列，为等差数列，类比探索类比探索等比数列等比数列等差数列等差数列等比等比等差等差 乘乘 加加 除除 减减 乘方乘方 乘乘开方开方 除除1 0一、等差与等比数列基本性质回顾：一、等差与等比数列基本性质回顾：等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义中项中项通项通项任意两项之任意两项之间的关系间的关系下标和相同下标和相同的两项之间的两项之间的关系的关系二、孙祎莉的探索过程：二、孙祎莉的探索过程：设设 为等比数列（为等比数列（ ）, ,则则 为等差数列，为等差数列，类比探索类比探索等比数列等比数列等差数列等差数列等比等比等差等差 乘乘 加加 除除 减减 乘方乘方 乘乘开方开方 除除1 0问题问题1、若数列若数列aan n 是等差数列，则有数列是等差数列，则有数列 b bn n ，满足满足 也是等差数列；也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列类比上述性质，相应地：若数列 c cn n 是是等比数列，且等比数列，且c cn n00，则数列，则数列 d dn n 满足满足d dn n= 也是等比数列。也是等比数列。问题问题2、在等差数列在等差数列an 中，若中，若a10= 0，则有等式，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19, n N*)成立；成立；类比上述性质，相应地：在等比数列类比上述性质，相应地：在等比数列bn 中，中，若若b9=1，则有等式，则有等式 成立。成立。b1b2bn=b1b2b17-n (n17, n N*)思考：思考：在等差数列在等差数列an 中，若中，若ak= 0，则有等式，则有等式 a1+a2+an=a1+a2+a , (n , n N*) 成立；成立；类比上述性质，相应地：类比上述性质，相应地：在等比数列在等比数列bn 中，若中，若bs = ，则有等式则有等式 成立。成立。(2k-1)-n(2k-1)-n2k-12k-11b1b2bn=b1b2b(2s-1)-n (n0) 是等比数列，是等比数列，其前其前 n 项项积积 Pn = b1b2bn 问题问题1 1：若数列若数列an 为等差数列，为等差数列，记记 则则 为为 数列？数列？以此类推，你可以得到一个怎样的结论？以此类推，你可以得到一个怎样的结论？类似的，在等比数列类似的，在等比数列bn 中，中，记记 = ，则可得到哪些结论？则可得到哪些结论？ 进一步，若首项为进一步，若首项为 , ,你可以构造一个怎样的等差数列？你可以构造一个怎样的等差数列？等差等差问题问题2 2：在首项不为零的等差数列在首项不为零的等差数列an 中，中，前前n 项和记为项和记为Sn ，且满足，且满足S6=S12 ，则有结论则有结论S18 =0 ；类似的，在各项均为正数且首项不为类似的，在各项均为正数且首项不为 . 的等比数列的等比数列bn 中，你能得出什么结论？中，你能得出什么结论？1四、小结四、小结 等差数列到等比数列的类比通常将等差数列到等比数列的类比通常将“加、减、加、减、乘、除、乘、除、d d、0 0”依次变换成依次变换成“乘、除、乘方、乘、除、乘方、开方、开方、q q、1 1”的运算，其中的运算，其中下标间的运算无下标间的运算无需变化需变化（即类比的对象为（即类比的对象为“项项”，非，非“项数项数”）；）；忠告：忠告：利用类比得到的性质结论应该利用类比得到的性质结论应该证明证明其正确性。其正确性。等差数列与等比数列定义、性质之间有很多等差数列与等比数列定义、性质之间有很多的联系，要善于利用这些关系研究数列，解的联系，要善于利用这些关系研究数列，解 决问题。决问题。