10.4 10.4 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式 就就本本节节自自身身而而言言，引引入入高高阶阶偏偏导导数数是是导导出出泰泰劳劳公公式式的的需需要要；而而泰泰劳劳公公式式除除了了用用于于近近似似计算外计算外, , 又为建立极值判别准则作好了准备又为建立极值判别准则作好了准备. . 三、极值问题三、极值问题 一、高阶偏导数一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式一、高阶偏导数一、高阶偏导数 如果它如果它们关于关于 x 与与 y 的偏的偏导数也数也 导数有如下四种形式导数有如下四种形式: 存在存在, 说说明明具有具有二阶偏导数二阶偏导数二元函数的二阶偏二元函数的二阶偏类似地可以定似地可以定义更高更高阶的偏的偏导数数, 例如例如 的三阶偏导数共有八种情形的三阶偏导数共有八种情形: 解解 由于由于 例例1 因此有因此有数为数为 例例2 注意注意 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 数为数为混合偏导数混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数成立，例如函数它的一阶偏导数为它的一阶偏导数为 数相等数相等 (称这种既有关于称这种既有关于 x, 又有关于又有关于 y 的高阶偏导的高阶偏导的混合偏导数的混合偏导数: 由此看到由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此为此 式式. 由于由于 因此有因此有类似地有类似地有 这两个累次极限相等这两个累次极限相等. 下述定理给出了使下述定理给出了使 (1) 与与 (2) 相等的一个充分条件相等的一个充分条件 连续，则连续，则 证证 令令 于是有于是有 (4)(3)由由 (4) 则有则有 (5)如果令如果令则有则有 用前面相同的方法用前面相同的方法, 又可得到又可得到 (6)在且相等，这就得到所要证明的在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式式 合偏导数都与求导顺序无关合偏导数都与求导顺序无关 注注2 这个定理个定理对 n 元函数的混合偏元函数的混合偏导数也成立数也成立. 例例 由定理假设由定理假设 都在点都在点 连连 续续, 故当故当 时时, (7) 式两边极限都存式两边极限都存 如三元函数如三元函数 的如下六个三阶混合偏导数的如下六个三阶混合偏导数 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求导顺序问题时今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外除特别指出外, 一般一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续都假设相应阶数的混合偏导数连续 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数 设设 数数 同同样存在二存在二阶连续 偏导数偏导数. 具体计算如下具体计算如下: 同理可得同理可得 例例3 改写成如下形式改写成如下形式: 由复合函数求导公式，有由复合函数求导公式，有 自变量的复合函数所以自变量的复合函数所以 二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式 二元函数的中二元函数的中值公式和泰勒公式公式和泰勒公式, 与一元函数的拉与一元函数的拉 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些也有相同的公式，只是形式上更复杂一些 先介先介绍凸区域凸区域 若区域若区域 D 上任意两点的上任意两点的连线都含于都含于 D, 则称则称 D 为凸区域为凸区域 (图图10.3- 6). 这就是说这就是说, 若若 D 为为 一切一切 恒有恒有上连续上连续, 在在 D 的所有内点都可微的所有内点都可微, 则对则对 D 内任意两内任意两 定理定理 8 ( 中值定理中值定理 ) 设设 在凸区域在凸区域 图图 10.3 - 6 凸凸 非凸非凸 的一元连续函数的一元连续函数, 且在且在 (0, 1) 内可微内可微. 根据一元函数根据一元函数 其中其中 中值定理，中值定理， ，使得，使得 (10) (9), (10) 两式即得所要证明的两式即得所要证明的 (8) 式式 注注 若若 D 为严格为严格凸区域，即凸区域，即 ，都有，都有 式成立式成立 ( 为什么为什么? ) 公式公式 (8) 也称为二元函数也称为二元函数 (在凸域上在凸域上) 的中值公式的中值公式. 它与定理它与定理17.3 的中值公式的中值公式 (12) 相比较相比较, 差别在于这差别在于这 请读者作为练习自行证明此推论请读者作为练习自行证明此推论 分析分析 将上式改写成将上式改写成 例例4 对对 应用微分中值定应用微分中值定 理，证明存在某个理，证明存在某个 之间应用微分中值定理之间应用微分中值定理计算偏导数计算偏导数: 证证 首先首先, 当当 , 有有 再再 定理定理 9 (泰勒定理泰勒定理) 若若 在点在点 内任一点内任一点 内有直到内有直到 阶的连续偏导数阶的连续偏导数, 则对则对 其中其中证证 类似于定理类似于定理8 的证明，先引入辅助函数的证明，先引入辅助函数 (11) 式称为式称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式, 并称其中并称其中 而首项而首项 也可看作也可看作 的情形的情形. 件，于是有件，于是有由假设，由假设， 上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则应用复合求导法则, 可求得可求得 的各阶导数如下的各阶导数如下: (12)公式公式 (11)将将 (13), (14) 两式代入两式代入 (12) 式式, 就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒 时的特殊情形时的特殊情形. 此时的此时的 n 阶泰勒公式可写作阶泰勒公式可写作 则仅需则仅需 内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即可, 将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式 (15)，即有，即有 与与1、例例7 的结果的结果 (1. 32) 相比较，这是更接近于真相比较，这是更接近于真 微分近似相当于现在的一阶泰勒公式微分近似相当于现在的一阶泰勒公式三、极值问题三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用用, 这里仍以二元函数为例进行讨论这里仍以二元函数为例进行讨论. 有定义有定义. 若若 极大值点、极小值点统称极大值点、极小值点统称极值点极值点 的的极大极大 (或极小或极小) 值点值点. 极大值、极小值统称极大值、极小值统称极值极值; 极极 注意注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点这里讨论的极值点只限于定义域的内点 点点, 是是 g 的极大值点的极大值点, 但不是但不是 h 的极值点这是因的极值点这是因 同极同极值; 也取相同极也取相同极值. 于是于是 得到二元函数取极值的必要条件如下得到二元函数取极值的必要条件如下:定理定理 10 (极极值的必要条件的必要条件) 若函数若函数 在点在点 值值 (注注 由定义可见由定义可见, 若若 在点在点取极值取极值, 则当固则当固 存在偏导数存在偏导数, 且在且在取得极值取得极值, 则必有则必有 的的稳定点稳定点. 上述定理指出上述定理指出: 偏偏导数存在数存在时, 极极值点必是点必是稳定点定点. 但要注意但要注意: 稳定点并不都是极定点并不都是极值点点在例在例 6 中中之所之所 以只讨论原点以只讨论原点, 就是因为原点是那三个函数的惟一就是因为原点是那三个函数的惟一 稳定点；而对于函数稳定点；而对于函数 h, 原点虽为其稳定点原点虽为其稳定点,但却不但却不 是它的极值点是它的极值点. 与一元函数的情形相同与一元函数的情形相同, 多元函数在偏导数不存在多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数原点没有偏导数, , 但但 (17)定点定点, 则有如下结论则有如下结论: 于是有于是有 证证 由由 在在的二阶泰勒公式，并注意到条件的二阶泰勒公式，并注意到条件二次型二次型 连续函数连续函数 ( 仍为一正定二次型仍为一正定二次型 ) 首先证明首先证明: : 当当 正定时，正定时， 在点在点 取得极小取得极小 值这是因为，此时对任何值这是因为，此时对任何 恒使恒使 极大值极大值由于由于 因此因此在此有界在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值 ，于是有，于是有即即在点在点 取得极小值取得极小值亦取亦取 则沿着过则沿着过 的任何直线的任何直线 最后证明最后证明: 当当 为为不定矩阵时不定矩阵时, 在点在点 不不 极小极小值, 则将将导致致 必必须是正半定的是正半定的. 也就是也就是 的或负半定的，这与假设相矛盾的或负半定的，这与假设相矛盾这表明这表明 必须是负半定的必须是负半定的. 同理同理, 倘若倘若 取取 系，定理系，定理11又可写成如下比较实用的形式又可写成如下比较实用的形式 根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关 若若如定理如定理11 所设，则有如下结论所设，则有如下结论: 是否取得极值是否取得极值 解解 由方程组由方程组 例例7 取得极小值取得极小值; 取得极大值取得极大值; 例例8 讨论讨论 是否存在极值是否存在极值 得极值得极值?因因 ，故原点不是，故原点不是 的的 极极值点点. 又因又因 处处可微，所以可微，所以 没有极没有极值点点. 解解 容易验证原点是容易验证原点是 的稳定点的稳定点, 且且 故由定理故由定理11 无法判断无法判断 在原点是否取得极值在原点是否取得极值 但因但因为在原点的任意小在原点的任意小邻域内域内, 当当 时 由极值定义知道由极值定义知道, 极值只是函数的一个极值只是函数的一个局部性概念局部性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值, 方法方法 与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳 定点、无偏导数点处的函数值定点、无偏导数点处的函数值, 还有在区域边界上还有在区域边界上 的这类特殊值；然后比较这些值的这类特殊值；然后比较这些值, 其中最大其中最大 (小小)者者 即为问题所求的最大即为问题所求的最大 (小小) 值值 以以 f (0, 0) = 0 不是极值不是极值 ( 参见图参见图10.3-7 ) 例例10 证明明: 圆的所有外切三角形中的所有外切三角形中, 以正三角形的以正三角形的 面积为最小面积为最小证 如图如图10.3- 8 所示所示, 设圆的半径的半径为 a, 任一外切三角任一外切三角 图图10.3-8图图10.3-7式为式为 其中其中 . 为求得稳定点为求得稳定点, 令令 形为形为 ABC, 三切点处的半径相夹的中心角分别为三切点处的半径相夹的中心角分别为 在定义域内在定义域内, 上述方程组仅有惟一解上述方程组仅有惟一解: 的二阶偏导数的二阶偏导数: 此稳定点处取得极小值此稳定点处取得极小值 因为因为 , 面积函数面积函数 S 在定义域中处处存在偏在定义域中处处存在偏正三角形的面积为最小正三角形的面积为最小解解 (i) 求稳定点：求稳定点：解方程组解方程组 导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以 因此因此 得稳定点得稳定点 (ii) 求极值：求极值：由于由于 的黑赛矩阵为的黑赛矩阵为 (iii) 求在求在 上的特殊值上的特殊值: 当当 当当，当当，算出算出 单调增单调增, 算出两端值算出两端值 图形图形, 上面的讨论都能在图中清晰地反映出来上面的讨论都能在图中清晰地反映出来 一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！ 注注 本例中的本例中的 上虽然只有惟一极值上虽然只有惟一极值, 且为极且为极 小值，但它并不因此成为小值，但它并不因此成为 上的最小值这上的最小值这 图图 10.3 - 9 例例12 ( 最小二乘法最小二乘法问题 ) 设通通过观察或察或实验得到一得到一 上，即大体上可用直线上，即大体上可用直线 方程来反映变量方程来反映变量 x 与与 y 之间的对应关系之间的对应关系 ( 参见参见 图图10.3-10 ). 现要确定一现要确定一 直线直线, 使得与这使得与这 n 个点个点 的偏差平方之和为最小的偏差平方之和为最小( 最小二乘方最小二乘方 ) 图图 10.3 - 10 解解 设所求直线方程为设所求直线方程为 为此令为此令 把这组关于把这组关于 a, b 的线性方程加以整理并求解，得的线性方程加以整理并求解，得并由实际意义可知这极小值即为最小值并由实际意义可知这极小值即为最小值. 复习思考题 1. 试比较本节的中值公式试比较本节的中值公式 (8) 与与1、 里的中值公式里的中值公式 (12)，两者的条件与结论有何区别？，两者的条件与结论有何区别？ 2. 对于函数对于函数 下列记号下列记号 各表示什么意义？各表示什么意义？ 什么不可以推广到多元函数中来？什么不可以推广到多元函数中来？