第四章 线性代数问题求解矩阵线性方程组的直接解法线性方程组的迭代法线性方程组的符号解法稀疏矩阵技术特征值与特征向量4.1 矩阵特殊矩阵的输入数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵： A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n) 生成mn矩阵： A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n) 生成和矩阵B同样位数的矩阵： A=zeros(size(B) %size返回m、n两个值 随机元素矩阵若矩阵随机元素满足0,1区间上的均匀分布 生成nm阶标准均匀分布伪随机数矩阵： A=rand(n,m) 生成nn阶标准均匀分布伪随机数方阵： A=rand(n)对角元素矩阵 已知向量生成对角矩阵： A=diag(V) 已知矩阵提取对角元素列向量： Vdiag(A) 生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵： A=diag(V,k)例：diag( )函数的不同调用格式 C=1 2 3; V=diag(C) % 生成对角矩阵V = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 V1=diag(V) % 将列向量通过转置变换成行向量V1 = 1 2 3 C=1 2 3; V=diag(C,2) % 主对角线上第 k条对角线为C的矩阵V = 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0生成三对角矩阵: V=diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1)V = 1 2 0 0 5 2 3 0 0 4 3 4 0 0 3 4Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵 生成n阶的Hilbert矩阵： A=hilb(n) 求取逆Hilbert矩阵： B=invhilb(n)Hankel(汉克 ) 矩阵 其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。 H1=hankel(C) 由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零的Hankel 矩阵Vandermonde(范德蒙)矩阵 伴随矩阵其中：P(s)为首项系数为1的多项式。 例：考虑一个多项式2*x4+4*x2+5*x+6，试写出该多项式的伴随矩阵。 P=2 0 4 5 6;A=compan(P)A = 0 -2.0000 -2.5000 -3.0000 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0符号矩阵的输入 数值矩阵A转换成符号矩阵： B=sym(A)例： A=hilb(3)A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 B=sym(A)B = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/54.1.2 矩阵基本概念与性质行列式 格式 ：d=det(A)例：求行列式 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; det(A)ans = 0例： tic, A=sym(hilb(20); det(A), toc ans = elapsed_time = 2.3140高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。矩阵的迹 格式： t=trace(A)矩阵的秩格式：r=rank(A) 用默认的精度求数值秩 r=rank(A， ) 给定精度下求数值秩 矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。例 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; rank(A)ans = 3该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。例 H=hilb(20); rank(H) 数值方法ans = 13 det（A）=0则A为奇异矩阵 H=sym(hilb(20); rank(H) % 解析方法，原矩阵为非奇异矩阵ans = 20矩阵范数矩阵的范数定义：格式： N=norm(A) 求解默认的2范数 N=norm(A，选项) 选项可为1,2,inf等例：求一向量、矩阵的范数 a=16 2 3 13; norm(a), norm(a,2), norm(a,1), norm(a,Inf)ans = 2.092844953645635e+001 2.092844953645635e+001 3.400000000000000e+001 1.600000000000000e+001 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; norm(A), norm(A,2), norm(A,1), norm(A,Inf)ans = 34 34 34 34 符号运算工具箱未提供norm( )函数，需先用double( )函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm( )函数。特征多项式格式： C=poly(A)例： A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; poly(A) 直接求取ans =1.000000000000000e+000 -3.399999999999999e+001 A=sym(A); poly(A) 运用符号工具箱 ans = x4-34*x3-80*x2+2720*x矩阵多项式的求解符号多项式与数值多项式的转换格式： f=poly2sym(P) 或 f=poly2sym(P,x) 格式： P=sym2poly(f)例： P=1 2 3 4 5 6; % 先由系数按降幂顺序排列表示多项式 f=poly2sym(P,v) % 以 v 为算子表示多项式 f = v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6 P=sym2poly(f)P = 1 2 3 4 5 6矩阵的逆矩阵格式： C=inv(A)例： format long; H=hilb(4); H1=inv(H)H1 = 1.0e+003 *检验： H*H1ans = 1.00000000000001 0.00000000000023 -0.00000000000045 0.00000000000023 0.00000000000001 1.00000000000011 -0.00000000000011 0.00000000000011 0.00000000000001 0 1.00000000000011 0 0.00000000000000 0.00000000000011 -0.00000000000011 1.00000000000011计算误差范数： norm(H*inv(H)-eye(size(H)ans = 6.235798190375727e-013 H2=invhilb(4); norm(H*H2-eye(size(H)ans = 5.684341886080802e-014 H=hilb(10); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H)ans = 0.00264500826202 H2=invhilb(10); norm(H*H2-eye(size(H)ans = H=hilb(13); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.339949e-018.ans = 53.23696008570294 H2=invhilb(13); norm(H*H2-eye(size(H)ans = 11.37062973181391对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv( )，可用符号工具箱。 H=sym(hilb(7); inv(H) ans = 49, -1176, 8820, -29400, 48510, -38808, 12012-1176, 37632, -317520, 1128960, -1940400, 1596672, -5045048820, -317520, 2857680, -10584000, 18711000, -15717240, 5045040-29400, 1128960, -10584000, 40320000, -72765000, 62092800, -2018016048510, -1940400, 18711000, -72765000, 133402500, -115259760, 37837800-38808, 1596672, -15717240, 62092800, -115259760, 100590336, -3329726412012, -504504, 5045040, -20180160, 37837800, -33297264, 11099088 H=sym(hilb(30); norm(double(H*inv(H)-eye(size(H)ans = 0例：奇异阵求逆 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; format long; B = inv(A)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017.B = 1.0e+014 * norm(A*B-eye(size(A) 检验ans = 1.64081513306419 A=sym(A); inv(A) 奇异矩阵不存在一个相应的逆矩阵，用符号工具箱的函数也不行? Error using = sym/invError, (in inverse) singular matrix同样适用于含有变量的矩阵求逆。例： syms a1 a2 a3 a4; C=a1 a2;a3 a4； inv(C) ans = -a4/(-a1*a4+a2*a3), a2/(-a1*a4+a2*a3) a3/(-a1*a4+a2*a3), -a1/(-a1*a4+a2*a3)矩阵的相似变换与正交矩阵 其中：A为一方阵，B矩阵非奇异。%上式B 相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化，其值与A矩阵完全一致。 对于一类特殊的相似变换满足如下条件，称为正交基矩阵。例： A=5,9,8,3; 0,3,2,4; 2,3,5,9; 3,4,5,8; Q=orth(A)Q = -0.6197 0.7738 -0.0262 -0.1286 -0.2548 -0.1551 0.9490 0.1017 -0.5198 -0.5298 -0.1563 -0.6517 -0.5300 -0.3106 -0.2725 0.7406 norm(Q*Q-eye(4)ans = 4.6395e-016 norm(Q*Q-eye(4)ans = 4.9270e-016 C=Q*A*QC = 17.9251 6.4627 -4.4714 -2.0354 -0.0282 1.7194 4.6816 -5.0735 0.6800 -0.9386 1.0674 0.6631 -0.0549 0.3658 0.1776 0.2882 det(A),det(C)ans = 120ans = 120.0000 trace(A),trace(C)ans = 21ans = 21.0000 rank(A),rank(C)ans = 4ans = 4 eig(A), eig(C) %特征值求解ans = 17.8205 1.1908 + 2.6499i 1.1908 - 2.6499i 0.7979 ans = 17.8205 1.1908 + 2.6499i 1.1908 - 2.6499i 0.7979 例： A=16,2,3,13; 5,11,10,8; 9,7,6,12; 4,14,15,1; Q=orth(A) A为奇异矩阵，故得出的Q为长方形矩阵Q = -0.5000 0.6708 0.5000 -0.5000 -0.2236 -0.5000 -0.5000 0.2236 -0.5000 -0.5000 -0.6708 0.5000 norm(Q*Q-eye(3) % Q*Q=Ians = 1.0140e-0154.2 线性方程组直接解法线性方程组直接求解矩阵除法关于线性方程组的直接解法，如Gauss消去法、选主元消去法、平方根法、追赶法等等，在MATLAB中，只需用“”或“”就解决问题。它内部实际包含着许许多多的自适应算法，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程时它将给出范数最小的一个解，解三对角阵方程组时用追赶法等等。 格式： x=Ab例：解方程组 A=.4096,.1234,.3678,.2943;.2246,.3872,.4015,.1129;.3645,.1920,.3781,.0643;.1784,.4002,.2786,.3927; b=0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557; x=Ab; xans = -0.1819 -1.6630 2.2172 -0.4467线性方程组直接求解判定求解例： A=1 2 3 4; 4 3 2 1; 1 3 2 4; 4 1 3 2; B=5 1; 4 2; 3 3; 2 4; C=A B; rank(A), rank(C)ans = 4ans = 4 x=inv(A)*B % AB x = -1.8000 2.4000 1.8667 -1.2667 3.8667 -3.2667 -2.1333 2.7333检验 norm(A*x-B)ans = 7.4738e-015精确解 x1=inv(sym(A)*B x1 = -9/5, 12/5 28/15, -19/15 58/15, -49/15 -32/15, 41/15检验 norm(double(A*x1-B)ans = 0原方程组对应的齐次方程组的解求取A矩阵的化零矩阵： 格式： Z=null(A)求取A矩阵的化零矩阵的规范形式： 格式： Z=null(A, r )例：判断可解性 A=1 2 3 4; 2 2 1 1; 2 4 6 8; 4 4 2 2; B=1;3;2;6; C=A B; rank(A), rank(C)ans = 2 2 Z=null(A,r) % 解出规范化的化零空间Z = 2.0000 3.0000 -2.5000 -3.5000 1.0000 0 0 1.0000 x0=pinv(A)*B % 得出一个特解x0 = 0.9542 0.7328 %全部解 -0.0763 -0.2977验证得出的解 a1=randn(1); a2=rand(1); % 取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0; norm(A*x-B)ans = 4.4409e-015解析解 Z=null(sym(A)Z = 2, 3 -5/2, -7/2 1, 0 0, 1 x0=sym(pinv(A)*B)x0 = 125/131 96/131 -10/131 -39/131 验证得出的解 a1=randn(1); a2=rand(1); % 取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0; norm(double(A*x-B)ans = 0通解 syms a1 a2; x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0x = 2*a1+3*a2+125/131 -5/2*a1-7/2*a2+96/131 a1-10/131 a2-39/131 摩尔彭罗斯广义逆求解出的方程最小二乘解不满足原始代数方程。4.2.3 线性方程组的直接求解分析LU分解 格式 l,u,p=lu(A) L是一个单位下三角矩阵，u是一个上三角矩阵， p是代表选主元的置换矩阵。故：Ax=y = PAx=Py = LUx=Py = PA=LU l,u=lu(A)其中l等于P-1 L，u等于U，所以(P-1 L)U=A例：对A进行LU分解 A=1 2 3; 2 4 1; 4 6 7; l,u,p=lu(A)l = 1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000p = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 l,u=lu(A) lP-1 Ll = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000QR分解 将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。 求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。 格式： Q,R = qr(A)例： A = 1 2 3;4 5 6; 7 8 9; 10 11 12; Q,R = qr(A)Q = -0.0776 -0.8331 0.5456 -0.0478 -0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704 -0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975 -0.7762 0.3124 0.3994 0.3748R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 -0.0000 0 0 0Cholesky(乔里斯基 )分解 若矩阵A为 n阶对称正定阵,则存在唯一的对角元素为正的三角阵D，使得 格式： D=chol(A)例：进行Cholesky分解。 A=16 4 8; 4 5 -4; 8 -4 22; D=chol(A)D = 4 1 2 0 2 -3 0 0 3利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 （1）LU分解： A*X=b 变成 L*U*X=b所以 X=U(Lb) 这样可以大大提高运算速度。例：求方程组 的一个特解。解： A=4 2 -1;3 -1 2;11 3 0; B=2 10 8; D=det(A)D = 0 L,U=lu(A)L = 0.3636 -0.5000 1.0000 0.2727 1.0000 0 1.0000 0 0U = 11.0000 3.0000 0 0 -1.8182 2.0000 0 0 0.0000 X=U(LB)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.018587e-017.X = 1.0e+016 * % 结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。 -0.4053 % 可以通过A*X验证其正确性。 1.4862 1.3511 A*X % Matlab7.0显示没有解ans = 0 8 8（2）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，方程 A*X=b 变成 R*R*X=b所以 X=R(Rb) （3）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR方程 A*X=b 变形成 QRX=b所以 X=R(Qb) 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。三个变换 在线性方程组的迭代求解中，要用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。上三角变换： 格式 triu(A,1)对角变换： 格式 diag(A)下三角变换： 格式 tril(A,-1)例：对此矩阵做三种变换。 A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1; triu(A,1)ans = 0 2 -2 0 0 1 0 0 0 tril(A,-1)ans = 0 0 0 1 0 0 2 2 0 b=diag(A); bans = 1 1 14.3 迭代解法的几种形式5.3.1 Jacobi迭代法方程组 Ax=b A可写成 A=D-L-U 其中:D=diaga11,a22,ann, -L、-U分别为A的严格下、上三角部分（不包括对角线元素）. 由 Ax=b x=Bx+f 由此可构造迭代法： x(k+1)=Bx(k)+f 其中：B=D-1(L+U)=I-D-1A, f=D-1b.function y=jacobi(a,b,x0) %x0为初值D=diag(diag(a); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1);B=D(L+U); f=Db;y=B*x0+f;n=1; %n为迭代次数while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1;endn例：用Jacobi方法求解，设x(0)=0,精度为10-6。 a=10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; jacobi(a,b,0;0;0)n = 11ans = 0.9958 0.9579 0.79164.3.2 Gauss-Seidel迭代法由原方程构造迭代方程 x(k+1)=G x(k)+f其中：G=(D-L)-1 U, f=(D-L)-1 b D=diaga11,a22,ann, -L、-U分别为A的严格下、上三角部分（不包括对角线元素）.function y=seidel(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G=(D-L)U ;f=(D-L)b;y=G*x0+f; n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;endn例：对上例用Gauss-Seidel迭代法求解 a=10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; seidel(a,b,0;0;0)n = 7ans = 0.9958 0.9579 0.7916例：分别用Jacobi和G-S法迭代求解,看是否收敛。 a=1 2 -2; 1 1 1; 2 2 1; b=9; 7; 6; jacobi(a,b,0;0;0)n = 4ans = -27 26 8 seidel(a,b,0;0;0)n = 1011ans = 1.0e+305 * -Inf Inf -1.75564.3.3 SOR迭代法 在很多情况下，J法和G-S法收敛较慢，所以考虑对G-S法进行改进。于是引入一种新的迭代法逐次超松弛迭代法（Succesise Over-Relaxation),记为SQR法。 迭代公式为： X(k+1)= (D-wL)-1(1-w)D+wU)x(k) + w(D-wL)-1 b 其中：w最佳值在1, 2）之间，不易计算得到，因此 w通常有经验给出。function y=sor(a,b,w,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);M=(D-w*L)(1-w)*D+w*U); f=(D-w*L)b*w;y=M*x0+f; n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=M*x0+f; n=n+1;endn例：上例中，当w=1.103时，用SOR法求解原方程。 a=10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; sor(a,b,1.103,0;0;0)n = 8ans = 0.9958 0.9579 0.79164.3.4 两步迭代法 当线性方程系数矩阵为对称正定时，可用一种特殊的迭代法来解决，其迭代公式为： （D-L）x(k+1/2) =U x(k) +b （D-U）x(k+1)=Lx(k+1/2) +b= x(k+1/2) =(D-L)-1 U x(k) + (D-L)-1 b x(k+1)= (D-U)-1 Lx(k+1/2) + (D-U)-1 bfunction y=twostp(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G1=(D-L)U; f1=(D-L)b;G2=(D-U)L; f1=(D-U)b;y=G1*x0+f1; y=G2*y+f2; n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=G1*x0+f1; y=G2*y+f2; n=n+1;endn例：求解方程组 a=10 -1 2 0; -1 11 -1 3; 2 -1 10 3; 0 3 -1 8; b=6; 25; -11; 15; twostp(a, b, 0; 0; 0; 0)n = 7ans = 1.0791 1.9824 -1.4044 0.95604.4 线性方程组的符号解法 在MATLAB的Symbolic Toolbox中提供了线性方程的符号求解函数，如 linsolve(A,b) 等同于 X = sym(A)sym(b). solve(eqn1,eqn2,.,eqnN,var1,var2,.,varN )例： A=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10)； b=(9; 7; 6)； linsolve(A,b)ans = 473/475 91/95 376/475 vpa(ans) %变精度ans =例： x,y = solve(x2 + x*y + y = 3,x2 - 4*x + 3 = 0,x,y) x = 1 3 y = 1 -3/2 4.5 稀疏矩阵技术稀疏矩阵的建立：格式 S=sparse(i,j,s,m,n)生成一mxn阶的稀疏矩阵，以向量i和j为坐标的位置上对应元素值为s。例： n=5; a1=sparse(1:n, 1:n, 4*ones(1,n), n, n)a1 = (1,1) 4 (2,2) 4 (3,3) 4 (4,4) 4 (5,5) 4例： a2=sparse(2:n, 1:n-1,ones(1,n-1),n,n)a2 = (2,1) 1 (3,2) 1 (4,3) 1 (5,4) 1 full(a2)ans = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0例：n=5,建立主对角线上元素为4，两条次对角线为1的三对角阵。 n=5; a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); a=a1+a2+a2a = (1,1) 4 (2,1) 1 (1,2) 1 (2,2) 4 (3,2) 1 (2,3) 1 (3,3) 4 (4,3) 1 (3,4) 1 (4,4) 4 (5,4) 1 (4,5) 1 (5,5) 4 full(a)ans = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4格式 A=spdiags(B,d,m,n) 生成一mxn阶的稀疏矩阵，使得B的列放在由d指定的位置。例： n=5 b=spdiags(ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1),-1,0,1,n,n); full(b)ans = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4格式： spconvert(dd) 对于无规律的稀疏矩阵，可使用此命令由外部数据转化为稀疏矩阵。调用形式为：先用load函数加载以行表示对应位置和元素值的.dat文本文件，再用此命令转化为稀疏矩阵。例：无规律稀疏矩阵的建立。首先编制文本文件sp.dat如下：5 1 5.003 5 8.004 4 2.005 5 0 load sp.dat spconvert(sp)ans = (5,1) 5 (4,4) 2 (3,5) 8 full(ans)ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 2 0 5 0 0 0 0稀疏矩阵的计算： 同满矩阵比较，稀疏矩阵在算法上有很大的不同。具体表现在存储空间减少，计算时间减少。例：比较求解下面方程组n1000时两种方法的差别。 n=1000; a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); a=a1+a2+a2; b=ones(1000,1); tic; x=ab; t1=toct1 = 0.4800 a=full(a); tic; x=ab; t2=toct2 = 1.32204.6 矩阵的特征值问题 一般矩阵的特征值与特征向量格式： d=eig (A) 只求解特征值。格式： V, D=eig (A) 求解特征值D和特征向量V。例：直接求解： A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; eig(A)ans = 34.0000 8.9443 -8.9443 0.0000精确解： eig(sym(A)ans = 0 34 4*5(1/2) -4*5(1/2)高精度数值解： vpa(ans,70)ans = 0 34.28 97083588981642084同时求出特征值与特征向量：直接求解： v, d = eig(A)v = -0.5000 -0.8236 0.3764 -0.2236 -0.5000 0.4236 0.0236 -0.6708 -0.5000 0.0236 0.4236 0.6708 -0.5000 0.3764 -0.8236 0.2236d = 34.0000 0 0 0 0 8.9443 0 0 0 0 -8.9443 0 0 0 0 0.0000 norm(A*v-v*d)解析解： v,d=eig(sym(A)v = -1, 1, -8*5(1/2)-17, 8*5(1/2)-17 -3, 1, 4*5(1/2)+9, -4*5(1/2)+9 3, 1, 1, 1 1, 1, 4*5(1/2)+7, -4*5(1/2)+7 d = 0, 0, 0, 0 0, 34, 0, 0 0, 0, 4*5(1/2), 0 0, 0, 0, -4*5(1/2) 4.6.2 矩阵的广义特征向量问题 若B=I，则化成普通矩阵特征值问题。格式： d=eig (A，B) 求解广义特征值。格式： V, D=eig (A，B) 求解广义特征值和特征向量。例：直接求解： A=5,7,6,5; 7,10,8,7; 6,8,10,9; 5,7,9,10; B=2,6,-1,-2; 5,-1,2,3; -3,-4,1,10; 5,-2,-3,8; V, D = eig(A, B)V = 0.3697 -0.3741 + 0.6259i -0.3741 - 0.6259i 1.0000 0.9948 -0.0674 - 0.2531i -0.0674 + 0.2531i -0.6090 0.7979 0.9239 + 0.0264i 0.9239 - 0.0264i -0.2316 1.0000 -0.6599 - 0.3263i -0.6599 + 0.3263i 0.1319 D = 4.7564 0 0 0 0 0.0471 + 0.1750i 0 0 0 0 0.0471 - 0.1750i 0 0 0 0 -0.0037 检验： norm(A*V-B*V*D)ans = 1.3897e-014 符号运算工具箱中的eig( )函数不支持广义特征值的运算。