12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质 （第（第2课时）课时）济源市济水一中济源市济水一中 （独立思考）（独立思考） 1 1、如图，、如图，OCOC平分平分AOBAOB，P P是是射线射线OCOC上任意一点，上任意一点，且且PDOAPDOA于于D D、PEOBPEOB于于E E, ,则则PDPD与与PEPE相等吗？说明理由。相等吗？说明理由。ODEPACB 2 2、如图如图, ABCABC中，中，ABCABC与与ACBACB的角平分线相交于点的角平分线相交于点P P,则点则点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距的距离相等吗？请证明您的结论。离相等吗？请证明您的结论。CABPDEF知识准备知识准备角的平分线的性质角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等用数学语言表述：用数学语言表述： OC是是AOB的平分线的平分线 PD OA，PE OB PDPE 猜想猜想： 反过来，到一个角的两边距离相等的反过来，到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？点是否一定在这个角的平分线上呢？ PC 命题：命题：到一个角的两边距离相等的点在到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。这个角的平分线上。 PC已知：已知：如图，如图，PDOA于于D，PEOB于于E，且，且PDPE求证：求证：点点P在在AOB的平分线上的平分线上自主探究自主探究角的平分线的判定角的平分线的判定: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上平分线上用数学语言表述：用数学语言表述：PD OA，PE OB 且且PDPE OP平分平分AOBPCX定理辨析定理辨析1 1ABOQMN1判断题：判断题： （1）如图，若）如图，若QM = =QN，则，则OQ 平分平分AOB；( )( )XABOQMN 1判断题：判断题： （2）如图，若）如图，若QMOA 于于M，QNOB 于于N，则，则OQ是是AOB 的平分线；的平分线； ( )( ) 定理辨析定理辨析1 1ABOQMN 1判断题：判断题： （3）已知：）已知：Q 到到OA 的距离等于的距离等于2 cm， 且且Q 到到OB 距离等于距离等于2 cm，则，则Q 在在AOB 的平分线上的平分线上( )( ) 定理辨析定理辨析1 1PABCMN 2、如图，点如图，点P是是ABC的两条角平分线的两条角平分线BM， CN 的交点。的交点。 思考思考（1）点点P 在在BAC的平分线上吗？的平分线上吗？ （2）这说明三角形的三条角平分线有什么关系？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 定理辨析定理辨析2 2CABPDEF 已知已知:BDAM:BDAM于点于点D,CEAND,CEAN于点于点E,BDE,BD、CECE交点交点F,CF=BF,F,CF=BF, 求证求证: :点点F F在在A A的平分线上的平分线上. .A A A A A A ADNE BFMCA定理应用定理应用问题问题1：如图，要在如图，要在S 区建一个广告牌区建一个广告牌P，使它到，使它到 两条高速公路的距离相等，两条高速公路的距离相等， （1） 这个广告牌这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可应建于何处？这样的广告牌可 建多少个？建多少个？S问题问题解决解决 （2） 若这个广告牌若这个广告牌P 离两条公路离两条公路交叉处交叉处500 m，这个广告牌应建于何，这个广告牌应建于何处？处？说说您的想法说说您的想法。 问题问题2：如图，要在如图，要在S 区建一个广告牌区建一个广告牌P，使它到两，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等这个广告牌条公路和一条铁路的距离都相等这个广告牌P 应建在应建在 何处？说说您的思路。何处？说说您的思路。拓展探究拓展探究公路公路 公路公路 铁路铁路 SP角的平分线的角的平分线的性质性质图形图形已知已知条件条件结论结论PCPC角的平分线的角的平分线的判定判定课堂总结课堂总结作用作用角的平分线的角的平分线的性质性质图形图形已知已知条件条件结论结论PCPCPD OA于于DPEOB于于EOP平分平分AOBPD=PEOP平分平分AOBPD OA于于DPEOB于于EPD=PE角的平分线的角的平分线的判定判定课堂总结课堂总结作用作用证明线段相等证明线段相等证明角相等证明角相等学习学习数学的确是一件很辛苦的事，数学的确是一件很辛苦的事，但如果您知道为什么而辛苦，但如果您知道为什么而辛苦，那么您就不觉得辛苦！那么您就不觉得辛苦！努力吧！努力吧！寄语亲爱的同学们寄语亲爱的同学们拓展题拓展题：1、如图，如图，ABC 的一个的一个外角的平分线外角的平分线BM 与与BAC的平分的平分线线 AN 相交于点相交于点P，求证：点，求证：点 P 在在ABC另一个外角的平分线上另一个外角的平分线上布置作业布置作业NABCPM必做题：必做题：课本课本P50 1; 课本课本P51 32、如图，如图，P 点是点是ABC 的两个外角平分线的两个外角平分线 BM，CN 的交的交点，求证：点点，求证：点 P 在在BAC 的平分的平分线上线上 NABCPM 3、如图，如图，要建一个广告牌要建一个广告牌P，使它到两条公路，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等这个广告牌和一条铁路的距离都相等这个广告牌P 应建应建在何处？在何处？公路公路 公路公路 铁路铁路 P1P2P3P4l1l2l3