北京立交桥北京立交桥 相交线相交线和和平行线平行线是我们日常生活和生产中经是我们日常生活和生产中经常见到的，研究它们对今后的学习、工作和生活常见到的，研究它们对今后的学习、工作和生活都很有用。都很有用。 这节课这节课 我们先来研究我们先来研究相交线相交线。 当转动一木当转动一木条的位置时，条的位置时，什么也随着发什么也随着发生了变化？生了变化？ABCDO直直线线AB、CD相交于点相交于点O如果两条直线有一个公共点，就说这如果两条直线有一个公共点，就说这两条直两条直线相交线相交，公共点，公共点叫做这两条直线的叫做这两条直线的交点交点。 握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片。如果把剪刀的构造看作两条片。如果把剪刀的构造看作两条相交的直线相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题。这就关系到两条相交直线所成的角的问题。 请你画出任意两条相交直线请你画出任意两条相交直线, ,用用量角器量角器量一量一量量4 4个角的度数，个角的度数，看看这四个角有什么关系看看这四个角有什么关系? ?问题问题: :两条相交直线两条相交直线. .形成的小于平角的形成的小于平角的 角有几个角有几个? ? 任意画两条相交直线任意画两条相交直线, ,在形成的在形成的四个角四个角( (如图如图) )中中, ,两两相配共组成几对角？两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系各对角存在怎样的位置关系? ?两直线相交两直线相交所形成的角所形成的角分分 类类OABCD）（1 13 34 42 2）（ 3 3 1 1 2 2 4 4 1 1和和2 24 4 2 2和和 和和 和和1 14 43 34 43 3 1 1和和3 3 和和2 21234ABCD 形如形如1 与与2有一条公共边有一条公共边OC，它们的，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为角，互为邻补角邻补角.O探究与发现探究与发现1OABCD）（1 13 34 42 2）（ （ 如果两个角有一条公共边，如果两个角有一条公共边， 它们的另一边互为反向延长线，那它们的另一边互为反向延长线，那 么这两个角互为邻补角。么这两个角互为邻补角。注意注意( (1)1)邻补角的本质特征是：邻补角的本质特征是： 两个角有一条公共边；两个角有一条公共边； 两角的另一条边互为反向延长线。两角的另一条边互为反向延长线。（3 3）邻补角是有）邻补角是有特殊位置特殊位置的两个互补的角。的两个互补的角。邻补角：邻补角：图中还有哪些角也是邻补角呢？图中还有哪些角也是邻补角呢？ 有几对邻补角？有几对邻补角？补角补角与与邻补角邻补角有何区别和联系呢？有何区别和联系呢？1234ABCDO探究与发现探究与发现2图中还有哪些角也是对顶角呢？图中还有哪些角也是对顶角呢？ 形如形如1 与与3有一个公共顶点有一个公共顶点O，并且，并且1 的两边分别是的两边分别是3的两边的反向延长线，具有这的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为种位置关系的两个角，互为对顶角对顶角.OABCD）（1 13 34 42 2）（对顶角：对顶角：如果两个如果两个角有一个公共点，角有一个公共点，并且其中并且其中一个角的两边是另一个角的一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。为对顶角。 注意注意以下两点：以下两点：(1)(1)辨认对顶角的要领：辨认对顶角的要领：一看一看是不是两条是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；里就有相交线；二看二看是不是有公共顶点；是不是有公共顶点；三看三看是不是没有是不是没有公共边，符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，公共边，符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行。只具备一个或两个条件都不行。(2)(2)对顶角是成对存在的，对顶角是成对存在的，它们是互为对顶角，如它们是互为对顶角，如1 1是是3 3的对顶角，同时，的对顶角，同时，3 3是是1 1的对顶角，也常说的对顶角，也常说1 1和和3 3是对顶角。是对顶角。OABCD探究与发现探究与发现3对顶角相等对顶角相等4321 1 与与3在在数量上数量上又有什么关系呢？又有什么关系呢？ 对顶角的性质对顶角的性质: : 对顶角相等对顶角相等. .OABCD）（1 13 34 42 2）（ 为什么为什么? ?已知：直线已知：直线ABAB与与CDCD相交于相交于O O 点点( (如图如图),),求证求证: :1=31=3， 2=42=4 证明：证明：直线直线ABAB与与CDCD相交于相交于O O点点, ,1+2=1801+2=180， 3+2=1803+2=1801=31=3同理可得：同理可得：2=42=41 1练习练习1 1、下列各图中、下列各图中1 1、2 2是对顶角吗？为什么？是对顶角吗？为什么？2 21 12 21 12 2)()1 1练习练习2 2、下列各图中、下列各图中1 1、2 2是邻补角吗？为什么？是邻补角吗？为什么？2 21 12 21 12 2)( () )（3、如图，已知直线、如图，已知直线AE、BD相交于点相交于点C. （1）图中哪些角是对顶角？）图中哪些角是对顶角？ACDEB答：邻补角有答：邻补角有四四对：对： ACB与与ACD、ACB与与BCE、 DCE与与ACD、DCE与与BCE. 答：对顶角有答：对顶角有两两对：对： ACB与与ECD、ACD与与ECB.（2）哪些角是邻补角？）哪些角是邻补角？4、下列图中有邻补角吗？有对顶角吗？如果有，请把它们指出来。、下列图中有邻补角吗？有对顶角吗？如果有，请把它们指出来。无对顶角，有两对邻补角：无对顶角，有两对邻补角： AOC与与BOC AOD与与BOD无对顶角，有两对邻补角：无对顶角，有两对邻补角： AOC与与BOC APD与与BPD无对顶角，有三无对顶角，有三 对邻补角：对邻补角： AOC与与BOC AOD与与BOD AOE与与BOE 无对顶角，有三无对顶角，有三 对邻补角：对邻补角： AOE与与BOE AOC与与BOC AOD与与BODABCDOABCDOEABCDOE（1）（4）（3）ABCDOP（2）5、下列说法是否正确？为什么？、下列说法是否正确？为什么？ （1）有公共顶点的两个角是对顶角。）有公共顶点的两个角是对顶角。 答：答：不正确。如图，不正确。如图，AOBAOB与与CODCOD有有 公共顶点公共顶点O O，但它们不是对顶角。，但它们不是对顶角。 AOCDB （2）有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角。）有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角。答：答：不正确。如上图，不正确。如上图，AOBAOB与与CODCOD有公共顶点有公共顶点O O， 而且没有公共边，但它们不是对顶角。而且没有公共边，但它们不是对顶角。 （3）相邻的两个角是邻补角。）相邻的两个角是邻补角。 答：答：不正确。如图，不正确。如图，AOB AOB 与与BOC BOC 有有 公共顶点和一条公共边，是相邻的两公共顶点和一条公共边，是相邻的两 个角，但不互补，所以不是邻补角。个角，但不互补，所以不是邻补角。ACBO6.如图，如图，AB、CD、EF是经过点是经过点O的三条直线，说出：的三条直线，说出：AOC 的对顶角是的对顶角是 ， FOB 的对顶角是的对顶角是 ， DOF 的对顶是角的对顶是角 ， AOD 的对顶角是的对顶角是 ， EOB 的对顶角是的对顶角是 ，AOF 的邻补角是的邻补角是 。ABCEFDOBODEOACOEBOCFOABOF 和和AOE 7、下列图形中，、下列图形中，1和和2是对顶角的图形是（是对顶角的图形是（ ）11112222（A）（B）（C）（D）C221801801 1180180 4040解：解：由邻补角的定义，由邻补角的定义， 1=401=40可得可得140140由对顶角相等，可得由对顶角相等，可得331 14040442 2140140若若1 1= = ，求各角的度数。，求各角的度数。若若= m= m，求各角的度数。，求各角的度数。例题讲解例题讲解例例1 1：如图如图, ,直线直线a a、b b相交，若相交，若1=401=40, ,求求 2 2、3 3、 4 4的度数。的度数。变式变式1 1：若：若2 2是是1 1的的3 3倍，求倍，求3 3的度数？的度数？变式变式2 2：若：若2-1=402-1=400 0, , 求求4 4的度数的度数？40例例2 2： 三条直线三条直线 a a、b b、c c 相交于相交于O O点，点，1=401=40，2=302=30，求，求3 3的度数的度数bca1234解：解：4 =2=40（对顶角相等对顶角相等 ）3=180 41=18040 30=110O4030？答：答：3=110 例例3 3：如图如图, ,若若1:2=2:7 1:2=2:7 ，求各角的度数。，求各角的度数。解解: :设设1=2x1=2x, ,则则2=7x2=7x 根据邻补角的定义根据邻补角的定义, ,得得 2x+7x=1802x+7x=180 x=20 x=20 则则1=401=40, 2=140, 2=140 根据对顶角相等根据对顶角相等, ,得得 3=403=40, 4=140, 4=140答：答： 1=40, 2=140， 3=40 ， 4=140看谁做得看谁做得棒！已知：直线已知：直线ABAB、CDCD相交于点相交于点O,OAO,OA平分平分EOCEOC， EOC=70EOC=70，求，求BODBOD和和BOCBOC的度数。的度数。EOABCD？170达标测试达标测试一、判断题一、判断题 1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（ ） 2、两条直线相交，有两组对顶角。、两条直线相交，有两组对顶角。 （ ） 3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角， 那么其余的三个角也是直角。那么其余的三个角也是直角。 （ ）二、选择题二、选择题1、如右图直线、如右图直线AB、CD交于点交于点O，OE为射线，那么（为射线，那么（ ） A、AOC和和BOE是对顶角；是对顶角； B、COE和和AOD是对顶角；是对顶角； C、BOC和和AOD是对顶角；是对顶角； D、AOE和和DOE是对顶角。是对顶角。2、如右图中直线、如右图中直线AB、CD交于交于O， OE是是BOC的平分线且的平分线且BOE=50度，度， 那么那么AOC=（ ）度）度 （A）80；（；（B）100；（；（C）130（D）150。ABCDOECA50？1、一个角的对顶角有、一个角的对顶角有 个，邻补角最多有个，邻补角最多有 个，而补角则可以有个，而补角则可以有 个。个。一一两两无数无数三、三、 填空填空2、右图中、右图中AOC的对顶角是的对顶角是 , 邻补角是邻补角是 .DOBDOBAODAOD和和COBCOB3 3、若、若1 1与与2 2是对顶角，是对顶角，1=161=160 0，则，则2=_2=_0 0； 若若3 3与与4 4是邻补角，则是邻补角，则3+4 =_3+4 =_0 04 4、若、若1 1与与2 2为对顶角，为对顶角，1 1与与3 3互补，则互补，则2+3=2+3= 0 05 5、如图、如图1，2 2与与3 3互为邻补角，互为邻补角，1=21=2，则，则1 1与与3 3的关系为的关系为 。图图11616180180180180互补互补ADCBO四、填空：四、填空：1、如图，直线、如图，直线AB、CD交交EF于点于点G、H，2=3，1=70。求求4的度数。的度数。解：解：2= （ ） 1=70 （ ） 2= （等量代换）（等量代换） 又又 （已知）（已知） 3= （ ） 4=180 = （ 的定义）的定义）ACDBEFGH12341对顶角相等对顶角相等已知已知702=370 等量代换等量代换3110 邻补角邻补角解：解：DOB= ，（，（ ） =80（已知）（已知） DOB= （等量代换）（等量代换） 又又1=30（ ） 2= - = - = 2、如图，直线、如图，直线AB、CD相交于相交于O，AOC=801=30；求；求2的度数的度数.ACBDE1AOCAOCDOB180 3050对顶角相等对顶角相等已知已知802)O8030？解：解： 由邻补角的定义，可得由邻补角的定义，可得 AOD=180AOC=18050=130 OE平分平分AOD（已知）（已知） 五、解答题：五、解答题： 直线直线AB、CD交于点交于点O，OE是是AOD的平分线，已知的平分线，已知AOC=50。求。求DOE的度的度数。数。ABCDOE50？ 图中是图中是对顶角量角器对顶角量角器，你能说出它测量角的原理吗？，你能说出它测量角的原理吗？ 如图，小明想要测量他家房子两堵墙的角度，可他不如图，小明想要测量他家房子两堵墙的角度，可他不 知道怎么测量，你能帮他解决这个问题吗？知道怎么测量，你能帮他解决这个问题吗？归纳小结归纳小结 角的角的名称名称特特 征征性性 质质相相 同同 点点不不 同同 点点对对顶顶角角邻邻补补角角对顶对顶角相角相等等邻补邻补角互角互补补 有公共顶点有公共顶点;没有公共边没有公共边两条直线相两条直线相交形成的角；交形成的角； 两条直线相两条直线相交而成；交而成；有公共顶点有公共顶点; 有一条公共有一条公共边边都是两条都是两条直线相交而直线相交而成的角；成的角；都是成对都是成对出现的出现的 都有一都有一个公共顶点；个公共顶点；两直线相两直线相交时，交时，对顶角只有对顶角只有两对两对邻补角有四邻补角有四对对 有无公共有无公共 边边