学案学案4 三角函数的性质三角函数的性质 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 三角函数三角函数的性质的性质(1)了解三角函数的周期性，知道三角函数了解三角函数的周期性，知道三角函数的周期的周期. (2)能根据图象理解正弦函数、余弦函数在能根据图象理解正弦函数、余弦函数在0,2 ,正切函数在正切函数在- , 上的性上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）轴的交点等）.返回目录返回目录 名师伴你行 三角函数的性质主要考查三角函数的周期性和单调三角函数的性质主要考查三角函数的周期性和单调性性,题型以选择题和填空题为主题型以选择题和填空题为主,有时也会出现解答题有时也会出现解答题.考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 返回目录返回目录 1.三角函数的图象和性质:y=sinxy=cosxy=tanx定义域定义域性性 质质 函函 数数R R 名师伴你行返回目录返回目录 图图 象象值值 域域对称性对称性对称轴对称轴: :对称中心对称中心: :对称轴对称轴: :对称中心对称中心: :对称中心对称中心: :周周 期期-1,1 -1,1 R名师伴你行返回目录返回目录 单调性单调性单调增区间单调增区间单调减区间单调减区间单调增区间单调增区间单调减区间单调减区间单调增区间单调增区间奇偶性奇偶性偶偶 奇奇 奇奇 名师伴你行 2.一般地，对于函数一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,使使得当得当x取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时,都有都有f(x+T)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做 . 叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期.把所有周期中存在的最小正数把所有周期中存在的最小正数,叫做叫做 (函数的周期一般指最小正周期函数的周期一般指最小正周期).函数函数y=Asin(x+ )或或 y=Acos(x+ )(0且为常数且为常数)的周期的周期T= ,函数函数y=Atan(x+ )(0)的周期的周期T= .周期函数周期函数 非零常数非零常数T 最小正周期最小正周期 返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点1 1 三角函数的定义域三角函数的定义域三角函数的定义域三角函数的定义域 名师伴你行求下列函数的定义域求下列函数的定义域:(1)y=lg(2sinx-1)+ ;(2)y= .返回目录返回目录 2sinx-10 1-2cosx0的的x值值,可用图象或三角函数线解决可用图象或三角函数线解决;第第(2)小题解不等式小题解不等式组组 2+ 0 tanx0,名师伴你行【分析分析】第第(1)小题实际就是求使小题实际就是求使 然后利用数轴求解然后利用数轴求解. 【解析解析】 (1)要使原函数有意义要使原函数有意义,必须有必须有 2sinx-10 sinx 1-2cosx0, cosx .由图知由图知,原函数的定义域为原函数的定义域为:即即 返回目录返回目录 名师伴你行(2)要使函数有意义要使函数有意义 2+ 0 x0 tanx0 xk+ ,kZ, 0x4 kxk+ (kZ).函数定义域是函数定义域是x|0x 或或x4.则则 得得 (1)对于含有三角函数式的对于含有三角函数式的(复合复合)函数的定义域函数的定义域,仍仍然是使解析式有意义即可然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴有时也利用数轴.返回目录返回目录 名师伴你行(1)求求f(x)= 的定义域和值域的定义域和值域.(2)求函数求函数y= 的定义域的定义域.(1)由函由函数数 0,得得sinx ,利用单位圆或三角函数的图象利用单位圆或三角函数的图象,易得所求函易得所求函数的定义域是数的定义域是 x|2k- x2k+ ,kZ .当当sinx=cos( -x)= 时时,ymin=0;当当sinx=cos( -x)=-1时时,ymax= .所以函数的值域为所以函数的值域为0, .返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 sinx0 16-x20, 2kx2k+,kZ -4x4,函数的定义域是函数的定义域是x|-4x-或或0x.(2)由由 得得 返回目录返回目录 求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1）y= ;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos( +x)+2cosx. 【分析分析】求三角函数式的值域时，先观察解析式的求三角函数式的值域时，先观察解析式的结构，针对不同的结构类型采用不同的方法求其值域结构，针对不同的结构类型采用不同的方法求其值域.考点考点考点考点2 2 求三角函数的值域或最值求三角函数的值域或最值求三角函数的值域或最值求三角函数的值域或最值 名师伴你行【解析解析解析解析】（1）y=2cos2x+2cosx=2(cosx+ )2- .于是当且仅当于是当且仅当cosx=1时时,ymax=4,但但cosx1,y0)的最小正周期的最小正周期为为 .(1)求求的值；的值；(2)若函数若函数y=g(x)的图象是由的图象是由y=f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度得到的个单位长度得到的.求求y=g(x)的单调增区间的单调增区间.名师伴你行考点考点考点考点3 3 求三角函数的单调性求三角函数的单调性求三角函数的单调性求三角函数的单调性返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析】 (1)因因f(x)=sin2x+sin2x+cos2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2,依题意得依题意得 = ,故故= .(2)依题意得依题意得g(x)= sin3(x- )+ +2= sin(3x- )+2.由由2k- 3x- 2k+ (kZ),解得解得 k+ x k+ (kZ).故故g(x)的单调增区间为的单调增区间为 k+ , k+ (kZ). 解题（解题（1）时，容易直接由已知得）时，容易直接由已知得f(x)= sin(2x+ )+2而造成中间步骤缺失，从而使得学生做对结果但得不到而造成中间步骤缺失，从而使得学生做对结果但得不到满分，因此在解题时一定要注意解答的规范性及步骤的完满分，因此在解题时一定要注意解答的规范性及步骤的完整性整性.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】方法一方法一：y=cos(-2x+ )=cos(2x- ),由由2k2x- 2k+(kZ),得得k+ xk+ (kZ)，即所求单调减区间为即所求单调减区间为 k+ ,k+ (kZ).求函数求函数y=cos(-2x+ )的单调减区间的单调减区间.名师伴你行返回目录返回目录 方法二方法二：t=-2x+ 为减函数，且为减函数，且y=cost的单调的单调增区间为增区间为2k-,2k(kZ), 由由2k-2x+ 2k,kZ,得得-k+ x-k+ (kZ). 所求单调减区间为所求单调减区间为 k+ ,k+ (kZ).名师伴你行返回目录返回目录 已知函数已知函数f(x)=sin(x+ )(0,0 )是是R上的偶上的偶函数，其图象关于点函数，其图象关于点M( ，0)对称，且在区间对称，且在区间0, 上是单调函数，求上是单调函数，求和和的值的值. 【分析分析分析分析】该题可采用顺向求解的解答思路，即将题该题可采用顺向求解的解答思路，即将题设条件式子化，获得设条件式子化，获得 和和所应满足的等式，应用正、所应满足的等式，应用正、余弦函数的性质导出结果余弦函数的性质导出结果.式子化简的方法有多种，下式子化简的方法有多种，下面写出两种解法面写出两种解法.考点考点考点考点4 4 求三角函数的奇偶性求三角函数的奇偶性求三角函数的奇偶性求三角函数的奇偶性名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】方法一：由方法一：由f(x)是偶函数，得是偶函数，得f(-x)=f(x),即即sin(-x+ )=sin(x+ ),所以所以-cos sinx=cos sinx对任意对任意x都成立，且都成立，且0，所以得，所以得cos =0,依题设依题设0 ，所以解得，所以解得 = .由由f(x)的图象关于点的图象关于点M对称，得对称，得f( -x)=-f( +x).取取x=0，得，得f( )=-f( )，所以，所以f( )=0.名师伴你行 f( )=sin( + )=cos , cos =0,由由0,得得 = +k,k=0,1,2, = (2k+1),k=0,1,2,. 当当k=0时，时，= ,f(x)=sin( x+ )在在 0, 上上是减函数；是减函数； 当当k=1时，时，=2,f(x)=sin(2x+ )在在 0， 上是上是减函数；减函数；返回目录返回目录 名师伴你行 当当k2时，时， ,f(x)=sin(x+ )在在0, 上上不是单调函数不是单调函数. 所以，综上得所以，综上得= 或或=2.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 方法二方法二：由：由f(x)是偶函数和是偶函数和0，知，知f( )=f( )，即即sin( + )=sin( + )，所以，所以-cos=cos,得得cos =0,又又0 ,所以求得所以求得 = .因此，因此，f(x)=sin(x+ )=cosx,由由f(x)的图象关于点的图象关于点M( ,0)对称，知对称，知f( )=0,即即cos =0 名师伴你行返回目录返回目录 由由f(x)在区间在区间 0, 上是单调函数和余弦函数的上是单调函数和余弦函数的性质，知函数的周期性质，知函数的周期T= 2 ，即，即00,0).(1) 取何值时，取何值时，f(x)为奇函数；为奇函数；(2) 取何值时，取何值时，f(x)为偶函数为偶函数. 【解析解析解析解析】(1) xR,要使要使f(x)是奇函数，即是奇函数，即f(x)+f(-x)=0, 即即Asin(x+ )+Asin(-x+ )=0, 2Asin cosx=0. cosx不恒为不恒为0， sin =0,解得解得 =k(kZ). 即即 =k(kZ)时，时，f(x)为奇函数为奇函数.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 （2）f(x)是偶函数，是偶函数，f(x)-f(-x)=0,即即Asin(x+ )-Asin(-x+ )=0.得得2Acos sinx=0,sinx不恒为不恒为0，cos =0,得得 =k+ (kZ).即即 =k+ (kZ)时，时，f(x)为偶函数为偶函数.名师伴你行返回目录返回目录 1.利用函数的有界性利用函数的有界性(-1sinx1,-1cosx1),求三求三角函数的值域角函数的值域(最值最值). 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3.利用换元法求复合函数的单调区间利用换元法求复合函数的单调区间(要注意要注意x系数系数的正负号的正负号). 4.正余弦函数的线性关系式可以转化为正余弦函数的线性关系式可以转化为f(x)=asinx+bcosx= sin(x+ ),特别注意把特别注意把sin cos, sincos的转化为的转化为y=2sin(+ )形式时形式时, 为特殊角为特殊角. 5.注意注意sinx+cosx与与cosxsinx的联系的联系,令令t=sinx+cosx(- t )时时,sinxcosx= (t2-1).名师伴你行返回目录返回目录 6.闭区间上最值或值域问题闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础首先要在定义域基础上分析单调性上分析单调性,含参数的最值问题含参数的最值问题,要讨论参数对最值要讨论参数对最值的影响的影响. 7.求三角函数的单调区间时求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形应先把函数式化成形如如y=Asin(x+ )(0)的形式的形式,再根据基本三角函再根据基本三角函数的单调区间数的单调区间,求出求出x所在的区间所在的区间.应特别注意应特别注意,考虑问考虑问题应在函数的定义域内考虑题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调注意区分下列两题的单调增区间不同增区间不同: (1)y=sin(2x- );(2)y=sin( -2x). 8.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性界性,如如:y=sin2x-4sinx+5,令令t=sinx(|t|1),则则y=(t-2)2+11,解法错误解法错误.名师伴你行名师伴你行