12.11 近似法计算自振频率近似法计算自振频率近似法通常有三种途径：近似法通常有三种途径： (1) 能量法：对体系的振动形式给以简化假设，但不改变结构能量法：对体系的振动形式给以简化假设，但不改变结构的刚度和质量分布，然后根据能量守恒原理求得自振频率。的刚度和质量分布，然后根据能量守恒原理求得自振频率。(2) 集中质量法：将体系的质量分布加以简化，以集中质量代集中质量法：将体系的质量分布加以简化，以集中质量代替分布质量，用有限自由度体系代替无限自由度体系求频率。替分布质量，用有限自由度体系代替无限自由度体系求频率。(3) 迭代法：采用近似算法求解，算出自振频率。迭代法：采用近似算法求解，算出自振频率。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.11.1 能量法求第一自振频率能量法求第一自振频率瑞利瑞利(Rayleigh)法法瑞利法适用于求第一自振频率；瑞利瑞利法适用于求第一自振频率；瑞利里兹里兹(Rayleigh-Ritz)法是其推广形式，可用于求最初几个频率。法是其推广形式，可用于求最初几个频率。1.出发点出发点(依据依据)瑞利法的出发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系瑞利法的出发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量自由振动时，它在任一时刻的总能量(应变能应变能U与动能与动能T之和之和)应当保持不变，即应当保持不变，即机械能机械能=应变能应变能(U)+动能动能(T)=常数常数2.位移表达式位移表达式 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院梁的动能梁的动能:其最大值为其最大值为:4.梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院其最大值为其最大值为5.应用能量守恒原理应用能量守恒原理根据能量守恒原理，可知根据能量守恒原理，可知Tmax=UmaxAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院由此，求得计算频率的公式为由此，求得计算频率的公式为 (12-124) 上式就是瑞利法求自振频率的公式。上式就是瑞利法求自振频率的公式。6.能量法的关键能量法的关键能量法的关键是假设振型函数能量法的关键是假设振型函数 ：1) 若假设的位移形状函数正好与第若假设的位移形状函数正好与第i个主振型相符，则可求得个主振型相符，则可求得该该w wi的精确值。此法一般用于计算第一自振频率的精确值。此法一般用于计算第一自振频率w w1。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2) 振型函数振型函数 的假定原则：应满足边界条件的假定原则：应满足边界条件 两端位移边界条件两端位移边界条件(必须满足必须满足)3) 通常对通常对 作如下选择：作如下选择：其一，选取某个静力荷载其一，选取某个静力荷载q(x)(例如结构自重例如结构自重)作用下的弹性曲作用下的弹性曲线作为线作为 的近似表示式，由式（的近似表示式，由式（12-124）即可求得第一频）即可求得第一频率的近似值。此时，应变能可用相应荷载率的近似值。此时，应变能可用相应荷载q(x)所做的功来代所做的功来代替，即替，即All Rights Reserved重庆大学土木工程学院因而式因而式(12-124)可改写为可改写为 (12-125) 其二，选取结构自重作用下的变形曲线作为其二，选取结构自重作用下的变形曲线作为 的近似表达式的近似表达式(注意，如果考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用注意，如果考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用)，则应，则应变能可用重力所做的功来代替，即变能可用重力所做的功来代替，即于是式于是式(12-124)可改写为可改写为(12-126)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-34】试用瑞利法计算图试用瑞利法计算图12-93所示等截面两端固定梁的所示等截面两端固定梁的第一自振频率。设第一自振频率。设EI常数，梁单位长度的质量为。常数，梁单位长度的质量为。解：解： (1) 假设振幅曲线假设振幅曲线 为为满足几何边界条件和力的边界条件中梁端弯矩非零的要求，满足几何边界条件和力的边界条件中梁端弯矩非零的要求，但梁端剪力为零则与实际情况不符。但梁端剪力为零则与实际情况不符。(a)将式将式(a)代入式（代入式（12-124），得），得All Rights Reserved重庆大学土木工程学院故第一自振频率故第一自振频率与精确值与精确值 相比，其误差为相比，其误差为+1.9%。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)改取均布荷载改取均布荷载q作用下的挠度曲线作用下的挠度曲线作为振型函数，这时，作为振型函数，这时， 满足全部边界条件。满足全部边界条件。将式将式(b)代入式（代入式（12-125），得），得(b)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院故第一自振频率故第一自振频率与精确值相比，其误差为与精确值相比，其误差为+0.4%。【讨论讨论】由以上结果可以看出：所选的两种振型函数，或由以上结果可以看出：所选的两种振型函数，或是大部或是全部符合边界处位移和力的实际情况，因此所是大部或是全部符合边界处位移和力的实际情况，因此所得结果误差都很小。由于第二种振型函数更接近第一振型，得结果误差都很小。由于第二种振型函数更接近第一振型，所得结果精度更高。所得结果精度更高。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-35】试用瑞利法计算图试用瑞利法计算图12-94a所示三层刚架的第一自所示三层刚架的第一自振频率。振频率。解：解： (1) 选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应在各楼层水平方向分别施加自重在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g)，如图所示。，如图所示。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院于是，可得于是，可得(2)求求 ：All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)求求Umax(用外力所做的功来代替用外力所做的功来代替)：(4)求求Tmax：(5)由由Tmax=Umax求第一频率：由式求第一频率：由式(12-126)，可得，可得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院故第一自振频率故第一自振频率精确解为精确解为13.46s-1，其误差为，其误差为+1.56%。【注注】采用瑞利法计算采用瑞利法计算w w1，其计算结果一般均高于精确值。，其计算结果一般均高于精确值。这是因为假设某一与实际振型有出入的特定曲线作为振型曲这是因为假设某一与实际振型有出入的特定曲线作为振型曲线，即相当于给体系加上某种约束，增大了体系的刚度，使线，即相当于给体系加上某种约束，增大了体系的刚度，使其变形能增加，从而使计算的自振频率偏大。因此，用这种其变形能增加，从而使计算的自振频率偏大。因此，用这种方法所求的基本频率为真实频率的高限。在对用此法求得的方法所求的基本频率为真实频率的高限。在对用此法求得的近似结果加以选择时，应取频率最低者。近似结果加以选择时，应取频率最低者。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院12.11.2 集中质量法求自振频率集中质量法求自振频率如果把体系中的分布质量换成集中质量，则体系即由无限自由如果把体系中的分布质量换成集中质量，则体系即由无限自由度换成单自由度或多自由度。关于质量的集中方法很多，诸如：度换成单自由度或多自由度。关于质量的集中方法很多，诸如：1) 静力等效的集中质量法；静力等效的集中质量法；2) 动能等效的集中质量法；动能等效的集中质量法；3) 转移质量法等。转移质量法等。下面，着重介绍静力等效的集中质量法。下面，着重介绍静力等效的集中质量法。根据静力等效原则，把无限自由度换成单自由度或多自由度，根据静力等效原则，把无限自由度换成单自由度或多自由度，使集中后的重力与原来的重力互为静力等效使集中后的重力与原来的重力互为静力等效(它们的合力彼此它们的合力彼此相等相等)。例如，每段分布质量可按杠杆原理换成位于两端的集。例如，每段分布质量可按杠杆原理换成位于两端的集中质量。中质量。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例12-36】用集中质量法求图用集中质量法求图a所示简支梁自振频率。所示简支梁自振频率。解：解： (1) 求最小自振频率：求最小自振频率：将原简支梁简化为单自由度体系，如图所示，得将原简支梁简化为单自由度体系，如图所示，得其精确解为其精确解为 ，故误差为，故误差为-0.7%。(a)(b)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)计算前两个自振频率：计算前两个自振频率：将体系简化为两个自由度体系，如图所示，此时的频率方程将体系简化为两个自由度体系，如图所示，此时的频率方程为为式中，式中， ，柔度系数为，柔度系数为代入频率方程，可解得代入频率方程，可解得其精确解其精确解 ，故此时，故此时w w1和和w w2的误差分别为的误差分别为-0.1%和和-3.24%。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)计算前三个频率：计算前三个频率：将体系简化为三个自由度体系，如图所示，可解得将体系简化为三个自由度体系，如图所示，可解得其精确解其精确解 ，故此时，故此时w w1，w w2，w w3的误差分别的误差分别为为-0.05%，-0.7%，-4.8%。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院