直线与圆相切直线与圆相切 【例1】已知E(2,4)，F(4,1)，G(8,9)，EFG的内切圆记为M.(1)试求出M的方程；(2)设过点P(0,3)作M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作N：x2y24xy40的两条切线，切点分别记为C，D.试确定的值，使ABCD. 为了减少计算量，本题中的三条直线，两条互相垂直，两条关于水平直线对称因而也可以通过求角平分线的交点而得出圆心事实上，一条水平线为y4，两条互相垂直直线的角平分线所在直线的斜率为tan(/4 )3(tan2)，直线方程为y3x13，两直线交于点(3,4)，即为圆心，后利用圆心到任一条直线的距离即就是圆的半径另外，本题中涉及线性规划，几何概型等考点，但仅是给出它们的背景，不要深入挖掘将知识点有机组合而成的综合问题，是命题的一种趋势 【变式练习1】已知圆x2y22x2y10，点A(2a,0)，B(0,2b)，且a1，b1.(1)若圆与直线AB相切时，求线段AB的中点的轨迹方程；(2)若圆与直线AB相切，且AOB面积最小时，求直线AB的方程及AOB面积的最小值直线和圆的方程的综直线和圆的方程的综合应用合应用 【例2】已知圆C：x2y22xay10，过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点(1)求a的值；(2)设E为圆C上异于A、B的任意一点，求圆C的内接三角形ABE的面积的最大值 本题较好地考查了直线与圆的交点弦及圆内接三角形面积的最值第(1)问的顺利解决得益于代入求差法：已知曲线的弦的中点为定点，斜率为定值，则设弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，斜率 都出来了， 因而可以方便地求出参数a的值；第(2)问可以先求出直线CP的方程，然后求直线CP与圆的两个交点坐标，取能使到直线AB距离最大的一个点E的坐标，再求|EP|即可，但用三角代换的方法显然容易得多 动圆性质的探究动圆性质的探究 【例3】已知tR，圆 C：x2y22tx2t2y4t40. (1)若圆C圆心在直线xy20上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由【解析】(1)圆C的方程可化为(xt)2(yt2)2t4t24t4，其圆心为(t，t2)，则由题意有t t220，所以t1或t2，故圆C的方程为(x1)2(y1)210或(x2)2(y4)216. 动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得定点坐标 【变式练习4】已知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由 1.过点P(0,1)与圆x2y22x30相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_2.已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为_ xy1034.已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30交于P、Q两点O为坐标原点，问是否存在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 5.已知圆x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴上和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O是坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|最小的P点坐标 1求圆的方程通常用待定系数法若所求的圆过已知两圆的交点或一直线与圆的交点，一般用圆系方程 2如果圆心问题转化为三角函数问题更方便求解，则将圆上的点的坐标用参数式表示，特别是求最值的问题 3有关直线和圆的位置关系，一般要由圆心到直线的距离与半径的大小来确定 4直线与圆所涉及的知识都是平面解析几何的最基础的内容，并渗透到解析几何的各个部分，尤其是直线与圆的位置关系等，构成了解析几何问题的基础因此，要在这些基础知识的内在的联系和基本方法的运用、通法的熟练程度上下狠功夫答案：3选题感悟：本题把直线与圆的位置关系，函数与方程等知识点有机地交汇在一起，这些都是高考的热点问题 选题感悟：直线与圆相切问题是高考的热点，而此题巧妙地与向量结合，通过引入角，从而研究数量积的最小值选题感悟：在新课标中，淡化了解析几何模块中的圆锥曲线，突出了直线方程、圆的方程，这些知识点无疑将成为高考中解析几何命题的热点本题情境常规，但对思维能力有较高的要求，突出考查了分析问题和解决问题的能力