第十五节用导数解决生活中的优化问题 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用考考 纲纲 要要 求求会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润题中有关求利润_、用料、用料_、效率、效率_等问题等问题通常称为通常称为_问题问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的_，写出实际问题中，写出实际问题中_，根据，根据实际问题确定定义域；实际问题确定定义域；最大最大最省最省最高最高优化优化数学模型数学模型变量间的函数关系式变量间的函数关系式yf(x)(2)求函数求函数yf(x)的的_，解方程，解方程_，得出，得出定义域内的实根，确定定义域内的实根，确定_；(3)比较函数在比较函数在_和和_的函数值的大小，获的函数值的大小，获得所求函数的最大得所求函数的最大(小小)值；值；(4)还原到实际问题中作答还原到实际问题中作答导数导数f(x)f(x)0极值点极值点区间端点区间端点极值点极值点基础自测基础自测1以长为以长为10的线段的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为大值为()A10B15C25D502圆柱形金属饮料罐容积一定时，要使材料最省，则它的高与圆柱形金属饮料罐容积一定时，要使材料最省，则它的高与半径的比应为半径的比应为()A. B2 C. D3C3一个物体的运动方程为一个物体的运动方程为s1tt2，其中，其中s的单位是米，的单位是米，t的单的单位是秒，那么物体在位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是秒末的瞬时速度是()A7米米/秒秒 B6米米/秒秒C5米米/秒秒 D8米米/秒秒解析：解析：由导数的物理意义知，位移的导数是瞬时速度，由由导数的物理意义知，位移的导数是瞬时速度，由s1tt2求导得求导得vs12t，当，当t3时，时，v5.故选故选C.答案：答案：C4用总长用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果制作的钢条制作一个长方体容器的框架，如果制作容器的一边比另一边长容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为，那么高为_时，容器容时，容器容积最大积最大考考 点点 探探 究究考点一考点一利润最大问题利润最大问题【例【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(单位：吨单位：吨)与每吨产品的价格与每吨产品的价格p(单位：元单位：元/吨吨)之间的关系式为之间的关系式为p24 200 x2，且生产，且生产x吨的成本为吨的成本为R50 000200x(单位：元单位：元)问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润f(x)达到最大？最大达到最大？最大利润是多少？利润是多少？(利润收入成本利润收入成本)思路点拨思路点拨：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数求最值的方法进行求解导数求最值的方法进行求解点评点评：利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果：利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点也就是最值点变式探究变式探究1(2012泉州市检测泉州市检测)某公司生产一种产品，每生产某公司生产一种产品，每生产1千件需投千件需投入成本入成本81万元，每千件的销售收入万元，每千件的销售收入R(x)(单位：万元单位：万元)与年产与年产量量x(单位：千件单位：千件)满足关系：满足关系：R(x)x2324(0x10)该公该公司为了在生产中获得最大利润司为了在生产中获得最大利润(年利润年销售收入年总年利润年销售收入年总成本成本)，则年产量应为，则年产量应为()A5千件千件 B6 千件千件C9千件千件 D10千件千件解析：解析：依题意，年利润依题意，年利润yx(x2324)81xx3243x (0x10)，求导得，求导得y3x2243，令，令y0，得，得x9(舍去负舍去负值值)，因为，因为0x0，x9时，时，y0，所以当，所以当x9时，时，y有有最大值故选最大值故选C.答案：答案：C考点二考点二与分段函数有关的优化问题与分段函数有关的优化问题【例【例2】(2012上海市闸北区模拟上海市闸北区模拟)某公司是一家专做产品某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售上市销售40天内全部售完天内全部售完该公司对第一批产品该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图踪调查，调查结果如图、图、图、图、图所示，其中图所示，其中图中的折线中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图中的抛物中的抛物线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系，图线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系，图中的折中的折线表示的是每件产品线表示的是每件产品A的日销售利润与上市时间的关系的日销售利润与上市时间的关系(国内、外国内、外市场相同市场相同)(1)分别写出国内市场的日销售量分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量、国外市场的日销售量g(t)与第一批产品与第一批产品A的上市时间的上市时间t的关系式的关系式(2)第一批产品第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过超过6 300万元？万元？思路点拨：思路点拨：本题给出的是随着时间本题给出的是随着时间t的不同，对应的日销的不同，对应的日销售量售量y的函数图象也不相同的问题，因此需要建立的函数解析式的函数图象也不相同的问题，因此需要建立的函数解析式应为一个分段函数的形式，应针对自变量应为一个分段函数的形式，应针对自变量x的取值不同分别求出的取值不同分别求出其最大值，然后再进行比较其最大值，然后再进行比较点评点评：对于分段函数的问题，应该对自变量分段进行考虑，：对于分段函数的问题，应该对自变量分段进行考虑，对每一段考虑其最值的情况，然后再将这几段的最值情况综合对每一段考虑其最值的情况，然后再将这几段的最值情况综合起来进行比较起来进行比较变式探究变式探究2某公司生产某种产品，固定成本为某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产元，每生产一件产品，成本增加品，成本增加100元，已知总收益元，已知总收益R与年产量与年产量x的关系是的关系是RR(x) 则总利润最大时，每年生产的则总利润最大时，每年生产的产品是产品是_件件考点三考点三社会热点有关的优化问题社会热点有关的优化问题【例【例3】(2011长沙等四县市调研长沙等四县市调研)某电视生产企业有某电视生产企业有A，B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A，B两种型两种型号电视机的价值分别为号电视机的价值分别为a，b万元，则农民购买电视机获得的补贴万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为分别为 a，mln(b1)万元万元(m0且为常数且为常数)已知该企业投放已知该企业投放总价值为总价值为10万元的万元的A，B两种型号的电视机，且两种型号的电视机，且A，B两种型号的两种型号的投放金额都不低于投放金额都不低于1万元万元(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域为它的函数，并求其定义域(2)当投放当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？贴最大？变式探究变式探究3某集团为了获得更大的收益，每年要投入一不定期的资金用某集团为了获得更大的收益，每年要投入一不定期的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费于广告促销，经调查，每年投入广告费t 百万元，可增加销百万元，可增加销售额约为售额约为(t25t)百万元百万元(0t5)(1)若公司将当年的广告费控制在若公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和产能百万元，分别用于广告促销和产能升级，经预测，每投入产能升级费升级，经预测，每投入产能升级费x 百万元，可增加的销售百万元，可增加的销售额约为额约为 百万元，请设计一个资金分配方案，百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？使该公司由此获得的收益最大？(注：收益销售额投入注：收益销售额投入)考点四考点四用料最省问题用料最省问题【例【例4】甲、乙两家工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边甲、乙两家工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的的B处，乙处，乙厂到河岸的垂足厂到河岸的垂足D与与A相距相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供，两厂要在此岸边合建一个供水站水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和元和5a元，问：供水站元，问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？建在岸边何处才能使水管费用最省？思路点拨：思路点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式技巧与方法主要有：根据题设条件作出量转化成函数关系式技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系系点评点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把数把“问题情景问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解为常规问题，选择合适的数学方法求解(尤其要注意使用导数解尤其要注意使用导数解决最优化的问题决最优化的问题)变式探究变式探究4某工厂需要建一个面积为某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问：堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌用原有的墙壁，问：堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？墙所用的材料最省？考点五考点五与容积与容积( (体积体积) )有关的优化问题有关的优化问题【例【例5】(2011山东卷山东卷)某企业拟建造如图所示的容器某企业拟建造如图所示的容器(不计不计厚度，长度单位：米厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且立方米，且l2r.假设该假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元，千元，设该容器的建造费用为设该容器的建造费用为y千元千元(1)写出写出y关于关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的求该容器的建造费用最小时的r.变式探究变式探究课时升华课时升华利用导数解决实际问题中的优化问题应注意的几点：利用导数解决实际问题中的优化问题应注意的几点：1利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型型(即函数关系即函数关系)，如果函数在区间内只有一个点使得，如果函数在区间内只有一个点使得f(x)0，此，此时函数在这点有极大时函数在这点有极大(小小)值，那么可不与区间端点的函数值进行值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知道这一点即为最大比较，也可以知道这一点即为最大(小小)值点值点2实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键域是求解的关键3在求实际问题的最值时，一定要注意考虑实际问题的意在求实际问题的最值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去义，不符合实际意义的值应舍去.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯铯137的衰变过程中，其含量的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克单位：太贝克)与时间与时间t(单位：单位：年年)满足函数关系满足函数关系M(t)M02 ，其中，其中M0为为t0时铯时铯137的含的含量已知量已知t30时，铯时，铯137的含量的变化率是的含量的变化率是10ln 2(太贝克太贝克/年年)，则，则M(60)()A5太贝克太贝克B75ln 2太贝克太贝克C150ln 2太贝克太贝克 D150太贝克太贝克2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单单位：千克位：千克)与销售价格与销售价格x(单位：元单位：元/千克千克)满足关系式满足关系式y 10(x6)2，其中，其中3x6，a为常数，已知销售价格为为常数，已知销售价格为5元元/千克千克时，每日可售出该商品时，每日可售出该商品11千克千克(1)求求a的值；的值；(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3元元/千克，试确定销售价格千克，试确定销售价格x的值，使商的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大场每日销售该商品所获得的利润最大x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增单调递增极大值极大值42单调递减单调递减由上表可得，由上表可得，x4是是f(x)在区间在区间(3,6)内的极大值点，也是最内的极大值点，也是最大值点大值点所以当所以当x4时，函数时，函数f(x)取得最大值取得最大值f(4)42.高考预测高考预测1(2012四会市华侨中学统测四会市华侨中学统测)某工厂从某工厂从2005年开始，近八年以年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图象可能是产量与时间的函数图象可能是()解析：解析：观察知，选项观察知，选项B中，中，0t4时，图中曲线的切线斜率越时，图中曲线的切线斜率越来越小，表明增长速度越来越慢；来越小，表明增长速度越来越慢；4t8时，是一条线段，时，是一条线段，斜率为定值，表明增长速度不变故选斜率为定值，表明增长速度不变故选B.答案：答案：B2(2012黄冈中学调研黄冈中学调研)某创业投资公司拟投资开发某种新能源某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得产品，估计能获得10万元万元1 000万元的投资收益现准备制万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元单位：万元)随投资随投资收益收益x(单位：万元单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过的增加而增加，且奖金不超过9万元，同万元，同时奖金不超过投资收益的时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求奖励函数模型的基本要求(2)现有两个奖励函数模型：现有两个奖励函数模型：y 2；y4lg x3.试试分析这两个函数模型是否符合公司要求？分析这两个函数模型是否符合公司要求？