第第二二章章5 5 理解教材新知理解教材新知把握热把握热点考向点考向应用创新演练应用创新演练 考点一考点一 考点二考点二提示：是复合函数提示：是复合函数问题问题2：试说明：试说明y(3x2)2如何复合的如何复合的提示：令提示：令ug(x)3x2，则，则yu2，u3x2，yf(u)f(g(x)(3x2)2.问题问题3：试求：试求y(3x2)2，f(u)u2，g(x)3x2的导数的导数提示：提示：y(9x212x4)18x12，f(u)2u，g(x)3.问题问题4：观察问题：观察问题3中导数有何关系中导数有何关系提示：提示：yf(g(x)f(u)g(x) 1复合函数的概念复合函数的概念 对于两个函数对于两个函数 和和 ，给，给定定x的一个值，就得到了的一个值，就得到了u的值，进而确定了的值，进而确定了y的值，这的值，这样样y可以表示成可以表示成x的函数，称这个函数为函数的函数，称这个函数为函数 和和 的复合函数，记作的复合函数，记作 ，其中，其中u为中间为中间变量变量 2复合函数的求导法则复合函数的求导法则 复合函数复合函数yf(x)的导数为：的导数为：yx yf(u)u(x)axbyf(u)u(x)yf(x)f(x)f(u)(x) 利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤：利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤： (1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数适当选取中间变量分解复合函数为初等函数 (2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数为自变量的函数 思路点拨思路点拨先分析函数是怎样复合而成的，找出先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导中间变量，分层求导 一点通一点通求复合函数导数的步骤：求复合函数导数的步骤： 确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yf(u)，ug(x)； 分步求导分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f(u)，再求，再求g(x) 计算计算f(u)g(x)，并把中间变量转化为自变量的函数，并把中间变量转化为自变量的函数整个过程可简记为整个过程可简记为“分解分解求导求导回代回代”三个步骤，熟练以后可以三个步骤，熟练以后可以省略中间过程省略中间过程1函数函数ycos 2x的导数为的导数为 ()Aysin 2x Bysin 2xCy2sin 2x Dy2sin 2x解析：解析：y(cos 2x)2sin 2x.答案：答案：C2函数函数f(x)(2x1)5，则，则f(0)的值为的值为_解析：解析：f(x)5(2x1)4(2x1)10(2x1)4，f(0)10.答案：答案：10 一点通一点通将复合函数的求导与导数的实际意义结将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况4已知某质点的位移已知某质点的位移s与移动时间与移动时间t满足满足stet1，则质点，则质点在在t1时的瞬时速度为时的瞬时速度为_解析：解析：s(tet1)et1tet1.当当t1时，时，s(1)2.答案：答案：2答案：答案：26设曲线设曲线yeax在点在点(0,1)处的切线与直线处的切线与直线x2y10垂直，则垂直，则a_.解析：解析：yaeax，且，且yeax在点在点(0,1)处的切线与直线处的切线与直线x2y10垂直，垂直，k2f(0)a，即，即a2.答案：答案：2求复合函数的导数应处理好以下环节：求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数结构；中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数最后要把中间变量换成自变量的函数