第二章第二章第二章第二章 导数微分及其应用导数微分及其应用导数微分及其应用导数微分及其应用微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽为作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。 解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础 。第一节第一节第一节第一节 函函函函 数数数数1.区间区间一、预备知识一、预备知识设a，b是两个实数，且ab开区间：满足不等式axb一切实数的全体。闭区间：满足不等式axb的一切实数的全体。半开区间：满足不等式axb的一切实数的全体。：axb表示全体实数，或写成x；表示大于a的全体实数，或写成ax+；表示小于a的全体实数，或写成xa；表示ax+；表示xa。2.邻域邻域例：2的0.001邻域为（1.999,2.001）2的0.001去心邻域为(1.999,2)(2,2.001)二、函数二、函数1.函数的概念函数的概念注注注注注注函数的表示方法有三种函数的表示方法有三种:数学表达式、列表和图形。数学表达式、列表和图形。 2.复合函数复合函数 设y是的z函数：y=f(z)，而z又是x的函数：z=g(x)。设D是g(x)的定义域或其一部分。如果对于x在D上取值时所对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，将函数z=g(x)代入函数y=f(z)得y=f(g(x)Dg(D)F(g(D)这个函数叫做由函数y=f(z)和z=g(x)复合而成的复合函数，记作fg。变量z叫做中间变量。函数f的定义域gf例例1.23.初等函数初等函数 基本初等函数基本初等函数初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。示的函数，称为初等函数。 第二节第二节第二节第二节 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限 无穷多个实数排成一列a1,a2,a3,an,称为数列，记为an，其中的每一个数称为数列的一个项，an称为数列的通项。1、数列的极限、数列的极限(1)、定义、定义（13.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，3.1415926，；（22，4，8，16，2n，；（31/2，1/4，1/8，1/16，1/2n，；（41，-1/2，1/3，-1/4，(-1)n+1/n，；（51，1/2，2/3，3/4，(n-1)/n，；(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。(3)、有界数列、有界数列对于数列an，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-ManN的一切an，有不等式|ana|0，总存在一个0，当0|x-x0|时，有|f(x)-A|0，作直线，作直线 y=A+，y=A-,这两条直这两条直线形成一横条区域线形成一横条区域. 对于这个对于这个,存在点存在点x0的一个邻域的一个邻域(x0-，x0+)，当，当x(x0-，x0+)但但xx0时，有不时，有不等式：等式：点x,f(x)）落在上面所做的一横条区域内。、当x时函数f(x)极限解解、极限的四则运算法则当当x 时，性质也成立。时，性质也成立。数列极限四则运算也有类似的定理:所以解解 注意到分母的极限不为零。解解 4、两个重要极限、两个重要极限解解因而解解解解 先用x去除分母及分子，然后取极限.解解5、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量 、无穷小量、无穷小量例如一个函数一个函数 f (x)当当x x 0时以时以0为极限，称该函数为极限，称该函数 f (x)为当为当xx 0时的无穷小量。 .定理定理无穷小量阶无穷小量阶 下面是几个常用的等价无穷小：、无穷大量、无穷大量第三节第三节第三节第三节 连连连连 续续续续1、连续的定义、连续的定义区间连续的定义区间连续的定义连续函数的图象是一条连续的曲线。2、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内都连续。基本初等函数在定义域内都连续。定理定理 初等函数在定义域上的区间上连续。初等函数在定义域上的区间上连续。解解3、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质、定义、定义 如果存在如果存在M0，使得任意，使得任意xD,有有| f(x)|M,则称则称函数函数f(x)在定义域在定义域D上有界上有界.、定理有界性定理若函数、定理有界性定理若函数f(x)在闭区间在闭区间a, b上连续，上连续，则它在则它在a, b上有界。上有界。如果f()=0，我们就称是函数f(x)的零点。定理的几何解释是：一条连续的曲线段一端在x轴下方,另一端在x轴上方,那么该曲线一定和x轴相交。证明证明 如果记f(x)在闭区间a,b上的最的大值为M，最小值为m,且mcM，那么存在一点a,b使得f()=c。第四节第四节第四节第四节 函数的导数函数的导数函数的导数函数的导数一、导数的概念两个例子(1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？(2)、瞬时速度、瞬时速度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0)？1、定义、定义存在，则称这个极限为函数f(x)在点x0处的导数，并称函数f(x)在x0处可导或有导数。(点导数点导数)如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导。解：解：2、定义、定义(区间导数区间导数)导函数的定义式为导函数的定义式为解：解：3、 基本求导公式和求导法则基本求导公式和求导法则基本求导公式导数的四则运算解：解：解：解：解：解：复合函数的求导法则链锁法则解：解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有解：解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有4、高阶导数、高阶导数 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 解：解：先求函数的一阶导数再求一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数 第五节第五节第五节第五节 函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分一、微分的概念1.定义定义 设设y=f(x)在点在点x处可导，那么处可导，那么 称为称为函数函数 y=f(x)在点在点x处的微分，记作处的微分，记作dy，即：，即：dy= 。 微分的表达式微分的表达式2.定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导。定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导。二、微分的几何意义二、微分的几何意义AT是曲线y=f(x)上点A处的切线。其中是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从当自变量从x变到变到x+dx时，曲线时，曲线y=f(x)在点在点A处的切处的切线的改变量是线的改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。这就是微分的几何意义。解：解：因为所以三、三、 基本微分公式基本微分公式四、四、 微分的运算微分的运算解：解：用函数乘积的微分法则，第六节第六节第六节第六节 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP二、洛必塔法则解：解：因为所以解：解：因为所以三、函数的单调性解：解：四、函数的极值四、函数的极值函数的极大值和极小值都称为函数的极值，函数的极大值点和极小值点都称为函数的极值点。称使为零的点为函数的驻点。解：解：下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：解：解：结结结结结结 束束束束束束