第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3-1 3-1 刚体的基本运动刚体的基本运动一、刚体一、刚体在任何情况下物体的形状和大小都不会变化，因在任何情况下物体的形状和大小都不会变化，因而可以瞬时传递力。而可以瞬时传递力。即：质元间保持不变，称即：质元间保持不变，称“不变质点系不变质点系” 。刚体。刚体是个理想化的模型。是个理想化的模型。CA B Ft t + t 才才感受到力感受到力认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、刚体的运动形式二、刚体的运动形式 * *刚体上所有质元都刚体上所有质元都沿平行路径运动沿平行路径运动, ,各各个时刻的相对位置都个时刻的相对位置都彼此固定。彼此固定。1.1.平动平动* *可用质心或任一点的运动来代表刚体的运动。可用质心或任一点的运动来代表刚体的运动。* *平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。ABCABCABC认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.2.转动转动* *转转动动也也是是刚刚体体的的基基本本运运动动形形式式之之一一，可可分分为为定定轴轴转转动动和和定点转动。定点转动。定轴转动：运动中各质元均定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。一条固定的直线（转轴）上。定点转动：运动中刚体上只定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。过该定点的某一瞬时轴线转动。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3.3.一般运动一般运动可分解为两种刚体的基本运动可分解为两种刚体的基本运动：随随基点基点O O（可任选）的可任选）的平动；平动；绕通过基点绕通过基点O O 的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动。定点转动。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目1.1.刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；三、定轴转动的刚体特点三、定轴转动的刚体特点2.2.各各圆圆周周轨轨道道均均垂垂直直与与转转轴轴，称称：转转动动平平面面；圆圆心即为转心。心即为转心。3.3.各质元作圆周运动的线量各不相同，角量相同。各质元作圆周运动的线量各不相同，角量相同。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目四、角速度矢量四、角速度矢量方向：方向：沿瞬时轴，与转向成沿瞬时轴，与转向成右螺旋关系。右螺旋关系。2.2.线速度与角速度的关系：线速度与角速度的关系：1.1.角速度矢量角速度矢量 的规定：的规定：大小大小转向转向vrrP 基点基点O O瞬时轴瞬时轴刚体刚体认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题1 1 一刚体以每分钟一刚体以每分钟6060转绕转绕z轴做匀速转动轴做匀速转动（ 沿沿z轴正方向）。设某轴正方向）。设某时刻刚体上一点时刻刚体上一点P的的位置矢量为位置矢量为 ，则该，则该时刻时刻P点速度。点速度。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：解：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3-2 3-2 刚体定轴转动的转动定律与转动惯量刚体定轴转动的转动定律与转动惯量一、一、力矩力矩FM rOm r0 rO 1.1.力对定点力对定点O 的力矩的力矩2.2.力偶矩力偶矩其中：其中： 称称力力臂臂或：或：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题2 2 物体在力场物体在力场 中运动，中运动，已知质量已知质量m=1kg，t=0=0时刻质点位于原点，且速度时刻质点位于原点，且速度为为0 0。求。求: :t=2s=2s时该质点所受时该质点所受的的对原点的力矩。对原点的力矩。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：解：以上物理量的单位皆为相应的国际单位。以上物理量的单位皆为相应的国际单位。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、转动定律二、转动定律对质元对质元i对刚体（质点系）：对刚体（质点系）：令：令：-刚体定轴转动的微分方程刚体定轴转动的微分方程认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、转动惯量三、转动惯量1.1.刚体对刚体对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量若质量离散分布若质量离散分布: :若质量连续分布若质量连续分布: : * *转动惯量仅取决于转动惯量仅取决于刚体本身刚体本身的性质，即的性质，即:与刚体与刚体的形状、大小、质量分布以及的形状、大小、质量分布以及转轴的位置转轴的位置有关。有关。反映刚体转动惯性的量度。反映刚体转动惯性的量度。 y rix z yi xi mi 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目平行轴定理：平行轴定理： y rix z mi dC垂直轴定理：（垂直轴定理：（薄片适用薄片适用）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题3 3 求质量为求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量惯量（轴与圆环平面垂直并通过圆心轴与圆环平面垂直并通过圆心）。解：解：ORdm认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题4 4 求长为求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不同的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。轴的转动惯量。ABLxABL/2L/2Cx解：取如图坐标解：取如图坐标认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题6 6 求质量为求质量为m、半径为半径为R均匀圆盘的转动惯均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。量。轴与盘平面垂直并通过盘心。R认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环；的薄圆环；圆盘的质量面密度为圆盘的质量面密度为Rrdr认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题5 5 质量为质量为m的的矩形均匀薄板矩形均匀薄板, ,长为长为a宽为宽为b, ,求求它对通过板的几何中心并与板面垂直的它对通过板的几何中心并与板面垂直的z 轴的转轴的转动惯量动惯量。xyzab认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目xyzab解：薄解：薄板位于板位于xOy面内面内。xyab由垂直轴定理可得由垂直轴定理可得认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例题题7 7 求求: :内内半半径径为为R1 1 外外半半径径为为R2 2 质质量量为为m的的匀匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量r认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例题题8 8 求求：质质量量为为m半半径径为为R的的匀匀质质薄薄球球壳壳绕绕过过中心轴的转动惯量中心轴的转动惯量解解: :在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例题题9 9 求求：质质量量为为m半半径径为为R的的匀匀质质球球体体绕绕过球心轴的转动惯量过球心轴的转动惯量解解: :把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目1.1.质点质点m对惯性系中的固对惯性系中的固定点定点O 的角动量为：的角动量为：一、一、角动量角动量（动量矩）（动量矩）3-3 3-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 LmO pr 大小大小：方向：方向：决定的平面（右螺旋）决定的平面（右螺旋）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目LRv mO * *质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为对圆心的角动量的大小为方向方向 圆平面圆平面不变。不变。 * *同一质点的同一运动，其角动量可以随不同的同一质点的同一运动，其角动量可以随不同的固定点而改变。固定点而改变。方向变化方向变化方向竖直向上，不变方向竖直向上，不变OlO 锥摆锥摆m认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：解：以上物理量的单位皆为相应的国际单位。以上物理量的单位皆为相应的国际单位。例题例题10 10 物体在力场物体在力场 中运中运动，已知质量动，已知质量m=1kg，t=0=0时刻质点位于原点，且时刻质点位于原点，且速度为速度为0 0。求。求: :t=2s=2s时该质点对原点的角动量。时该质点对原点的角动量。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题11 11 如图所示的坐标系中，如图所示的坐标系中，t=0=0时刻将质量为时刻将质量为m的的质点由质点由a处静止释放，让它自由下落，求任处静止释放，让它自由下落，求任意时刻意时刻t，该质点对原点，该质点对原点O的力矩及其角动量。的力矩及其角动量。Oayxb认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目Oayxb解：解：任意时刻任意时刻tvmg认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.2.刚体对固定转动的角动量：刚体对固定转动的角动量：对质元对质元i对刚体（质点系）对刚体（质点系） pro转动平面转动平面认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、角动量定理二、角动量定理两边对时间求导：两边对时间求导：1.1.单个单个质点的角动量定理质点的角动量定理: :认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目微分形式：微分形式：或：或：其中：其中： 称称冲量矩冲量矩力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用积分形式：积分形式：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题12 12 锥摆的角动量锥摆的角动量对对O点点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O 点点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。OlO 锥摆锥摆m认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.2.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质点对质点i整个刚体整个刚体刚体刚体vi, , 定轴定轴zmiriFi认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目由于：由于：-刚体的角动量定理刚体的角动量定理微分形式：微分形式：积分形式积分形式：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目应用转动定律的应用转动定律的基本方法和步骤：基本方法和步骤：4.4.求解联立方程。求解联立方程。1.1.分析物体受力，确定外力矩；分析物体受力，确定外力矩；2.2.列出转动定律和牛顿定律方程；列出转动定律和牛顿定律方程；3.3.列出线量和角量之间的关系式；列出线量和角量之间的关系式；认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题13 13 一根轻绳跨过一个半径为一根轻绳跨过一个半径为r，质量为，质量为M的定滑轮，绳的两端分别系有质量为的定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1 1和和m2 2的的物体物体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮的摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动的角加速度和绳的张力。转动的角加速度和绳的张力。m2 2m1 1M认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目m2 2m1 1Mm1 1g gT1 1am2 2g gT2 2aT2 2T1 1解：分别对物体和滑轮进行解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图受力分析，如图对对m2 2对对定滑轮定滑轮对对m1 1且有且有认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目可得可得认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题14 14 图示物体质量分别为图示物体质量分别为mA 和和mB ，圆柱形圆柱形滑轮质量为滑轮质量为mc ，半径为半径为R，不计桌面和轮轴摩擦不计桌面和轮轴摩擦力。求：力。求：两物体的加速度和绳的张力；两物体的加速度和绳的张力；物体物体B从静止落下距离从静止落下距离y时，其速率为多少时，其速率为多少？认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：分别对物体和滑轮进解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图行受力分析，如图物体物体A物体物体 B对对定滑轮定滑轮C又又认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目可得可得认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题15 15 如图所示，小球如图所示，小球m沿半径为沿半径为R的圆环轨道的圆环轨道由由A静止下滑，不计摩擦，求小球滑到任意点静止下滑，不计摩擦，求小球滑到任意点B（与与A夹角为夹角为 ）时对环心的角动量和角速度。）时对环心的角动量和角速度。OABR认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目mgNv解：小球受力如图，对环心解：小球受力如图，对环心O O OABR由质点的角动量定理由质点的角动量定理其中其中 和和 的方向相同。的方向相同。两边乘两边乘认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目积分：积分：可得：可得：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。在高速低速范围均适用。 过过O点，有心力。点，有心力。，角动量守恒，角动量守恒1.1.单个质点的角动量守恒定律单个质点的角动量守恒定律认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题16 16 （行星运动的开普勒第二定律）（行星运动的开普勒第二定律）在太阳在太阳系中任一行星对太阳的位矢在相等的时间间隔内系中任一行星对太阳的位矢在相等的时间间隔内扫过的面积相等，即掠面速度不变。扫过的面积相等，即掠面速度不变。rLv S m解：天体受万有引力作用，解：天体受万有引力作用，对力心角动量守恒。对力心角动量守恒。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目即：即：2.2.刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律* *守恒定律中涉及守恒定律中涉及的外力矩、转动惯的外力矩、转动惯量和角动量都是对量和角动量都是对同一转轴同一转轴而言的。而言的。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题17 17 体重相等的甲乙两人，各抓住跨过滑轮体重相等的甲乙两人，各抓住跨过滑轮的绳的两端，如图所示。当他们从同一高度向上的绳的两端，如图所示。当他们从同一高度向上爬时，相对于绳子甲的速率是乙的两倍，问谁先爬时，相对于绳子甲的速率是乙的两倍，问谁先到达顶点到达顶点? ?假定绳和滑轮的质量及各种摩擦都忽略。假定绳和滑轮的质量及各种摩擦都忽略。解：对滑轮转轴而言，两人组成解：对滑轮转轴而言，两人组成的系统角动量守恒的系统角动量守恒速度应为对同一惯性系（地面或速度应为对同一惯性系（地面或定滑轮）而言，故两人同时到达定滑轮）而言，故两人同时到达顶点。顶点。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题18 18 一长为一长为l的轻质杆端部固结一小球的轻质杆端部固结一小球m1 1, ,另另一小球一小球m2 2以水平速度以水平速度v0 0碰杆中部并与杆粘合。求：碰杆中部并与杆粘合。求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度。lm1Ov0m2 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目碰撞时重力和轴的作用力都通过碰撞时重力和轴的作用力都通过O，对对O力矩为零，故角动量守恒。则力矩为零，故角动量守恒。则解：选解：选m1 1（含杆）含杆）+ + m2 2为系统为系统解得：解得：lm1Ov0m2 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3-4 3-4 转动动能定理转动动能定理一、一、刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能把刚体看作无限多质元构成的质点系。把刚体看作无限多质元构成的质点系。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、力矩的功二、力矩的功 设刚体定轴转动中，刚体设刚体定轴转动中，刚体质元质元i在切向力在切向力 的作用下，的作用下，绕轴转过绕轴转过 即即对整个刚体：对整个刚体：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理：* *合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功等于该刚合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功等于该刚体转动动能的增量。体转动动能的增量。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题1919 如图所示，小球如图所示，小球m沿半径为沿半径为R的圆环轨的圆环轨道由道由A静止下滑，不计摩擦，求小球滑到任意点静止下滑，不计摩擦，求小球滑到任意点B（与与A夹角为夹角为 ）时对环心的角速度。）时对环心的角速度。 OABR认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目mgNv解：小球受力如图，对环心解：小球受力如图，对环心O O OABR由质点的动能定理由质点的动能定理: :可得：可得：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题20 20 杂技演员杂技演员M、N质量均为质量均为m; ;均匀的细跷均匀的细跷板长为板长为l，质量为质量为m, ,支撑于中点支撑于中点O, ,若演员若演员M从高从高h自由下落与板作完全非弹性碰撞，求演员自由下落与板作完全非弹性碰撞，求演员N可上可上升的最大高度。升的最大高度。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：演员解：演员M、N和跷板为系统，转轴通过和跷板为系统，转轴通过O点，演点，演员员M与跷板碰撞过程中系统角动量守恒。与跷板碰撞过程中系统角动量守恒。碰撞前碰撞前碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒: :演员演员N达到高度达到高度认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题21 21 一长为一长为l，质量为质量为M的棒可绕点的棒可绕点O自由转自由转动，质量动，质量m, ,速度为速度为v的的子弹水平射入距离子弹水平射入距离O点为点为a处，使棒最大偏转为处，使棒最大偏转为 ，求子弹的速度大小。，求子弹的速度大小。o o认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：取子弹、棒作为系统，在子弹射入棒的过解：取子弹、棒作为系统，在子弹射入棒的过程中系统的角动量守恒。程中系统的角动量守恒。o o子弹射入后，棒与子弹一起运子弹射入后，棒与子弹一起运动到最大偏角动到最大偏角 ，该过程系统，该过程系统机械能守恒。机械能守恒。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题22 22 原长为原长为l0 0、弹性系数为、弹性系数为k的弹簧，一端的弹簧，一端固定在一光滑水平面上的固定在一光滑水平面上的O点，另一端系一质量点，另一端系一质量为为m的小球。开始时，弹簧被拉长的小球。开始时，弹簧被拉长x，并给予小，并给予小球一与弹簧垂直的初速度球一与弹簧垂直的初速度v0 0，如图所示。求弹簧，如图所示。求弹簧恢复其原长时小球的速度。恢复其原长时小球的速度。Ov0 0认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目Ov0 0v解：取小球在有心力（弹簧解：取小球在有心力（弹簧弹力）作用下，角动量守恒。弹力）作用下，角动量守恒。小球和弹簧组成的系统机械小球和弹簧组成的系统机械能守恒。能守恒。可得可得认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例题例题23 23 一半径为一半径为R的圆形平板平放在水平桌面的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板，若平板绕通过其中心且垂直于板面的固定轴以角速度绕通过其中心且垂直于板面的固定轴以角速度0 0开始旋转，它将旋转几圈停止？开始旋转，它将旋转几圈停止？认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目Rrdr解：设平板的质量密度为解：设平板的质量密度为 ,对圆心的摩擦力力矩为对圆心的摩擦力力矩为由动能定理可知由动能定理可知