第十四讲 相似图形（二）要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.本课重点是相似三角形的判定和性质本课重点是相似三角形的判定和性质. .2.2.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形比例的三角形.3.3.相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法：（1 1）两角对应相等的两个三角形相似）两角对应相等的两个三角形相似. .（2 2）两两边边对对应应成成比比例例且且夹夹角角相相等等，两两个个三三角角形形相似相似. .（3 3）三边对应成比例的两个三角形相似）三边对应成比例的两个三角形相似（4 4）如如果果一一个个直直角角三三角角形形的的斜斜边边和和一一条条直直角角边边与与另另一一个个直直角角三三角角形形的的斜斜边边和和一一条条直直角角边边对对应应成比例，那么这两个直角三角形相似成比例，那么这两个直角三角形相似. .4.4.相似三角形的性质相似三角形的性质(1)(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应角相等，对应边成比例. .(2)(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比角平分线的比都等于相似比. .(3)(3)相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比. .推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似和原三角形相似. .要点、考点聚焦要点、考点聚焦课前热身课前热身2.2.如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延长延长线上一点，线上一点，AGAG与与BDBD交于点交于点E E，与，与DCDC交于点交于点F F，则则图中相似三角形共有图中相似三角形共有( )( ) A.3 A.3对对 B.4B.4对对 C.5C.5对对 D.6D.6对对1.1.下列命题正确的是下列命题正确的是 ( )( )A.A.所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似B.B.所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似C.C.所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似D.D.以上结论都不正确以上结论都不正确CC3.3.若如图所示，若如图所示，ABCABCADBADB，那么下列关系成立的是那么下列关系成立的是 ( ) ( ) A.A.ADBADB=ACBACBB.B.ADBADB=ABCABCC.C.CDBCDB= =CABCABD.D.ABDABD= =BDCBDC 4.4.ABCABC中，中，ACAC=6=6，BCBC=4=4，CACA=9=9，ABCABCA AB BC C，A AB BC C最短为最短为1212，则它的最长边的长度为，则它的最长边的长度为( ) ( ) A.16 B.18 A.16 B.18 C.27 D.24 C.27 D.24 B BC C课前热身课前热身5.5.已知，如图所示的，已知，如图所示的，ABCABC中，中，ADADBCBC于于D D，下列条件：下列条件：B B+ +DACDAC=90=90B B= =DACDACCD/ADCD/AD= =AC/ABAC/ABABAB2 2= =BCBCBCBC能得到能得到BACBAC=90=90的有的有 ( ) ( ) A.0A.0个个 B.1B.1个个C.2C.2个个 D.3D.3个个 C C课前热身课前热身典型例题解析典型例题解析【例例1 1】如如图图所所示示，要要判判定定ABCABC的的面面积积是是PBCPBC面面积积的的几几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是 ( )( )A.3A.3次次 B.2B.2次次C.1C.1次次 D.3D.3次以上次以上 C【解解析析】这这道道题题乍乍一一看看，认认为为同同底底，只只要要知知道道高高之之比比，就就知知道道面面积积之之比比，故故选选B B，其其实实不不然然，只只要要过过APAP量量一一次次，连连接接APAP并并延延长长交交BCBC于于D D，DPDP与与ADAD的的比比就就等等于于PBCPBC与与ABCABC的的面面积积比比，理理由由是是：分分别别过过A A、P P作作BCBC的的垂垂线线段段，根根据据两两三三角角形形相相似似的的性性质质知知：DP/ADDP/AD= =PE/AFPE/AF. .所以正确的答案是所以正确的答案是C C. .【例例2 2】如图中的如图中的(1)(1)是由五个边长都是是由五个边长都是1 1的正方形纸片拼的正方形纸片拼接而成的，过点接而成的，过点A A1 1的直线分别与的直线分别与BCBC1 1，BEBE交于点交于点M M M M、N N，且图且图(1)(1)被直线被直线MNMN分成面积相等的上、下两部分分成面积相等的上、下两部分. .(1)(1)求求 的值的值.(2).(2)求求MBMB、NBNB的长的长. .(3)(3)将图将图(1)(1)沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒( (如图如图(2)(2)所所示示) )后，求点后，求点M M、N N间的距离间的距离. . 图（图（1） 图（图（2） 【解析解析】(1)(1)A A1 1B B1 1M MNBMNBM，且，且A A1 1B B1 1= =BBBB1 1=1=1 MBMB+ +NBNB= =MBMBNBNB，即即 (2)(2)分成的两部分面积相等得分成的两部分面积相等得MBMBNBNB= = ，即即MBMBNBNB=5 =5 MBMB+ +NBNB=5=5，因此可以构造一元二次因此可以构造一元二次方程方程x x2 2-5x+5=0-5x+5=0，且，且MBMBNB.NB.MB= MB= ，NB= NB= (3)(3)由由(2)(2)已知已知B B1 1M M= = 图图(2)(2)中的中的BNBN与图与图(1)(1)中的中的ENEN相等相等. .BNBN= =B B1 1M M，即四边形即四边形BBBB1 1MNMN是矩形是矩形.MNMN=1.=1.【例例3】如图所示，梯形如图所示，梯形ABCD中，中，ABCD，B=90，MNAB，AB=6，BC=4，CD=3，设，设DM=x.(1)设设MN=y，用用x的的代代数数式式表表示示y.(2)设设梯梯形形MNCD的的面面积积为为S，用用x的代数式表示的代数式表示S. (3)若梯形若梯形MNCD的面积的面积S等于梯等于梯形形ABCD的面积的的面积的13，求，求DM.【解析解析】(1)过过D作作DEAB于于E点交点交MN于于F，MN=MF+FN=MF+3，在，在RtDAE中中, AD= 由由MNAB (2)MNAB S = = ( (DC+ +MN) )DF= = x2 2+ + x(0x5)(3)S(3)S梯梯ABCD= = (3+6)(3+6)4=184=18SS梯梯MNCDMNCD= = x1 1=-5+5=-5+5 ，x2 2=-5-5=-5-5 0(0(舍去舍去).).即即DM=-5+5 =-5+5 1.1.常常用用辅辅助助线线构构造造基基本本图图形形，如如“A A”型型，“X X”型型等等. .2.2.证等积式常常先化成比例式，找相似三角形或中证等积式常常先化成比例式，找相似三角形或中间比间比. . 课时训练课时训练1.1.如如图图所所示示，在在ABCABC中中，ABAB= =ACAC,A A=36=36，BDBD平平分分ABCABC，DEDE/BCBC，那那么么在在下下列列三三角角形形中中，与与ABCABC相相似似的的三角形是三角形是 ( )( )A. A. DBEDBE B. B. ADEADEC. C. ABDABD D. D. AECAEC B2 2如图，正方形如图，正方形ABCDABCD边长是边长是2 2，BEBECECE, ,MNMN=1,=1,线段线段MNMN的两端在的两端在CDCD、ADAD上滑动，当上滑动，当DMDM= = 时，时， ABEABE与以与以D D、M M、N N为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似. .课时训练课时训练3.如图，如图，ABCD是面积为是面积为a2的任意四边形，顺次连接的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形各边中点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接再顺次连接A1B1C1D1得得到四边形到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形则四边形AnBnCnDn的面积为的面积为 .图图6-2-106-2-10 课时训练课时训练4.如如图图所所示示，RtABC中中，C=90，AB=4，BC=3，DEBC，设设AE=x，四四边边形形BDEC的的面面积积为为y，则则y可表示成可表示成x的函数，其图像的形状是的函数，其图像的形状是 ( ) A.开口向上的抛物线的一部分开口向上的抛物线的一部分 B.开口向下的抛物线的一部分开口向下的抛物线的一部分 C.线段线段(不包括两个端点不包括两个端点) D.双曲线的一部分双曲线的一部分 B B课时训练课时训练