解析几何、向量运算解析几何、向量运算求空间直线方程求空间直线方程求平面方程求平面方程向量的内积（数量积）、外积（向量积）向量的内积（数量积）、外积（向量积）（20082008）一、）一、1.1.经过点经过点 且与且与x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴正向的方向角分别为轴正向的方向角分别为 的直线的标准方程为的直线的标准方程为_ 直线的方向向量为：直线的方向向量为：直线的标准方程：（20092009）二、一平面）二、一平面 通过直线通过直线且与平面且与平面 垂直，求平面垂直，求平面 的方程。的方程。 解：解： 设平面设平面 的方程为：的方程为： 平面平面 的方向向量为：的方向向量为： 平面平面 的方向向量为：的方向向量为： 由题意，平面由题意，平面 所以平面的方程为所以平面的方程为(2010)一、（一、（1）求过点）求过点 与直与直线线 垂直的平面方程为：垂直的平面方程为： 多元函数微分多元函数微分偏导数、全微分的计算偏导数、全微分的计算梯度、方向导数梯度、方向导数曲线的法平面、切线方程曲线的法平面、切线方程曲面的切平面、法线方程曲面的切平面、法线方程多元函数的极值多元函数的极值20082008、一、一(3)(3)设设 ，则梯度则梯度 = = ，散度散度 _. _. 2 2曲线曲线 在点在点 处的处的法平面法平面 的方程为的方程为_，原点到平面原点到平面 的距离的距离 _. _. 把把y y看作参数看作参数过点过点 的切线方向为：的切线方向为：点法式：点法式：整理得：整理得：点到平面的距离公式：点到平面的距离公式：（20092009）一、）一、1.1.设设 函数由方程函数由方程 所确定，则所确定，则 （20092009）一、）一、2. 2. 已知曲面已知曲面 上点上点处的切平面平行于平面处的切平面平行于平面 ，则点则点 的坐标是的坐标是 切平面的法向量为：切平面的法向量为：根据两个向量平行关系：根据两个向量平行关系： （20082008）二、求函数）二、求函数 的极值点的极值点 和极值和极值. . 解：解： 得驻点为得驻点为 又又 在在 点处：点处： 所以点所以点 不是极值点不是极值点 在在 点处：点处： 所以点所以点 是极小值点是极小值点 极小值为：极小值为：（20082008）九、设）九、设 , ,其中其中 有连续偏导数，有连续偏导数， 且且(1)(1)将将 换成球坐标，求换成球坐标，求 的表达式；的表达式；(2)(2)求求 ，并证明，并证明 仅为仅为 的函数，的函数， ( (其中其中 ). ). 解、由球坐标与直角坐标的关系，有解、由球坐标与直角坐标的关系，有（1 1）（2 2）令）令 =0 =0 四、设四、设 ， 试判断点试判断点 和点和点 是否为是否为 的极值点，说明理由，并指出是的极值点，说明理由，并指出是 极大值点极大值点还是极小值点还是极小值点. .解、解、所以所以 所以所以（2010）二、在曲面）二、在曲面 上求一点上求一点 ，使得，使得 点处的法线垂直于平面点处的法线垂直于平面 ，并写出法线方程。并写出法线方程。四、求函数四、求函数 在约束条件在约束条件 下的最大值和最小值。下的最大值和最小值。七、设 ，其中 二阶可导， 有连续的二阶偏导数，求 ，及 多元函数的积分多元函数的积分二重积分、三重积分的计算二重积分、三重积分的计算曲线积分、曲面积分的曲线积分、曲面积分的 计算计算Green公式、公式、Gauss公式、公式、Stokes公式公式梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度认清积分类型，掌握积分计算方法认清积分类型，掌握积分计算方法（20082008）一、）一、4.4.设为设为 正向正向, , 则曲线积分则曲线积分 直接计算或用直接计算或用GreenGreen公式公式提示提示：（20082008）一、）一、5.5.设设 为上半球面为上半球面则则 直接计算：注意对称性直接计算：注意对称性（20082008）一、）一、6.6.将将 转化为极坐标系下的累次积分转化为极坐标系下的累次积分( (先先 后后 ) ) 先画图，注意极坐标积分公式先画图，注意极坐标积分公式(2009)(2009)一、一、3 3设设则则直接计算直接计算：注意奇偶性：注意奇偶性(2009)(2009)一、一、4.4.向量场向量场 在点在点 处的散度处的散度 （20082008）四、若）四、若 是某是某二元函数的全微分，求二元函数的全微分，求 的值，并对上述的的值，并对上述的 值计算曲线积分值计算曲线积分 ，其中，其中 是摆线是摆线 从从 到到 的一段的一段. . 解、设由题意知： 由题意知曲线积分与路径无关，且路径的起点、由题意知曲线积分与路径无关，且路径的起点、终点坐标分别为：终点坐标分别为：选择折线路径：选择折线路径： 则则 (2009)(2009)一、一、5.5.已知已知 是某二元函数的全微分，则常数是某二元函数的全微分，则常数 提示：提示： （20082008）八、设）八、设 是由圆锥面是由圆锥面与抛物面与抛物面 所围成的均匀立体所围成的均匀立体( (密度密度 ).).（1 1）求）求 的表面积；的表面积；（2 2）求）求 绕绕 轴的转动惯量轴的转动惯量. 解、解、(1)(1)圆锥面与抛物面的交线为圆锥面与抛物面的交线为 即即(2) 三三(09)(09)、设、设 是由曲面是由曲面 与平面与平面 围成的实心体，其质量分布是均匀的围成的实心体，其质量分布是均匀的( (密度为密度为k), k), 求求 的体积和的体积和 的质心坐标的质心坐标 . .先先1 1后后2 2：（1 1） 求体积求体积先先2 2后后1 1：由对称性，由对称性， 所以的质心坐标为：所以的质心坐标为： (2008)(2008)六、计算曲面积分，六、计算曲面积分，其中是其中是 下半球面的上侧下半球面的上侧 解、添加辅助面解、添加辅助面 取下侧取下侧 (2009)(2009)九、利用高斯公式计算第二类曲线积分九、利用高斯公式计算第二类曲线积分 其中其中 为半球面为半球面 ，积分沿积分沿 的上侧的上侧. . 解、添加辅助面解、添加辅助面 做球坐标变换：做球坐标变换： 上式上式= = (2009)(2009)五、设五、设 是由直线是由直线 和抛物线和抛物线 所围成的闭区域，计算二重积分所围成的闭区域，计算二重积分的值的值 解、点解、点 得得 (2009)(2009)八、设有曲线积分，八、设有曲线积分，试在以下两种情况下求积分试在以下两种情况下求积分 的值：的值：(1) (1) 为椭圆为椭圆 的逆时针方向；的逆时针方向；(2) (2) 为圆为圆 的逆时针方向的逆时针方向. .解解(1)(1) 为椭圆为椭圆 的逆时针方向；的逆时针方向； ( (由格林公式由格林公式) ) ( (也可写出椭圆的参数方程，也可写出椭圆的参数方程，然后转化为定积分计算然后转化为定积分计算) )(2) (2) 为圆为圆 的逆时针方向，的逆时针方向， 记为椭圆记为椭圆 的逆时针方向的逆时针方向. . （2010）一）一4 . 设设 ，则则 I在极坐标系中的累次积分为：在极坐标系中的累次积分为：积分值积分值 为为 I三、计算三重积分三、计算三重积分 其中其中V是由半球面是由半球面 与抛物面与抛物面 围成的区域。围成的区域。五、求上半圆锥面五、求上半圆锥面 对对z轴的转动惯量，已知圆锥面的面密度轴的转动惯量，已知圆锥面的面密度等于该点到原点的距离等于该点到原点的距离. 九、利用高斯公式计算第二类曲面积分九、利用高斯公式计算第二类曲面积分 其中其中 为上半球面为上半球面 的上侧的上侧十一、设在右半平面十一、设在右半平面 ,有力有力 构成的力场，其中构成的力场，其中 为常数，为常数， 写出功的表达式并证明在此力场中，场力所做写出功的表达式并证明在此力场中，场力所做的功与所取的路径无关的功与所取的路径无关. 级数收敛性的判别级数收敛性的判别求幂级数收敛域、和函数，幂级数展开求幂级数收敛域、和函数，幂级数展开三角级数（三角级数（Fouier）级数展开，三角级数）级数展开，三角级数的和函数的和函数级数（20082008）一、）一、7.7.设级数设级数 ， 当当 满足满足 时级数绝对收敛时级数绝对收敛 满足满足 时级数条件收敛时级数条件收敛分析：分析：（20092009）一、）一、6 6 数项级数数项级数 的敛散性是的敛散性是 . .（若收敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛）（若收敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛）. . 7. 7. 函数函数 的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为 ；收敛域为收敛域为 . . 绝对收敛绝对收敛(2008)八、设八、设 是函数是函数 的以的以 为周期的余弦级数的和函数为周期的余弦级数的和函数.求求 的表达式及的表达式及 的值，的值，并求出余弦级数的系数并求出余弦级数的系数. 解、将进行解、将进行 偶延拓，由狄立克莱收敛定理知：偶延拓，由狄立克莱收敛定理知： 由和函数的周期性，当 时 （20092009）六、求幂级数）六、求幂级数 的收敛域的收敛域 及和函数及和函数 所以收敛半径为：所以收敛半径为： 当当 时，原级数为时，原级数为 ，发散；，发散； 当当 时，原级数为时，原级数为 ， 收敛；收敛； 所以收敛域为：所以收敛域为：所以所以一一5、设函数、设函数 在在 上展开的傅里叶级数为上展开的傅里叶级数为 其和函数为其和函数为 ，则系数，则系数 六、求幂级数六、求幂级数 的收敛域及和函数的收敛域及和函数, 并求数项级数并求数项级数 十、将函数十、将函数 展开为展开为 的的幂级数，并求幂级数，并求 的值的值 。考试及答疑时间考试及答疑时间1.1.高数期末考试时间：高数期末考试时间：为为6 6月月2525日（日（1818周周一）上午周周一）上午9:30-11:30. 9:30-11:30. 地点：地点： 良乡良乡 2A2A2. 2. 考前答疑时间考前答疑时间: : 6 6月月2121日上午日上午10:00-12:00.,210:00-12:00.,2：00-4:00 00-4:00 地点：良地点：良 1-1051-105良良 1-1061-106考试注意事项考试注意事项带好证件带好证件听从监考老师安排听从监考老师安排手机关机手机关机耐心、仔细答题耐心、仔细答题非填空题主要解题步骤一定要写清楚非填空题主要解题步骤一定要写清楚