4 数列在日常经济生活中的应用 1.1.了解银行存款的种类及存款计息方式；了解银行存款的种类及存款计息方式；2.2.体会体会“零存整取零存整取”、“定期自动转存定期自动转存”等日常经济等日常经济生活中的实际问题；生活中的实际问题；3.3.了解了解“教育储蓄教育储蓄”. . 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型型. .例如存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资例如存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关产折旧等问题都与其相关. . 以银行存款为例，它是老百姓日常生活中最基本的经以银行存款为例，它是老百姓日常生活中最基本的经济活动济活动. .银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型以等差数列和等比数列为数学模型. .下面分别举例说明下面分别举例说明. .单利单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息单利的计算是仅在原有本金上计算利息, ,对本金所对本金所产生的利息不再计算利息产生的利息不再计算利息. .其公式为其公式为 利息利息= =本金本金利率利率存期存期 以符号以符号P P代表本金代表本金,n,n代表存期代表存期,r,r代表利率代表利率,S,S代表代表本金与利息和本金与利息和( (以下简称以下简称本利和本利和),),则有则有 S=P(1+nr).S=P(1+nr).复利复利 把上期末的本利和作为下一期的本金把上期末的本利和作为下一期的本金, ,在计算时每在计算时每一期本金的数额是不同的一期本金的数额是不同的. .复利的计算公式是复利的计算公式是 S=P(1+r)S=P(1+r)n n . .例例1.1.零存整取模型零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务银行有一种叫作零存整取的储蓄业务, ,即每即每月定时存入一笔相同数目的现金月定时存入一笔相同数目的现金, ,这是零存这是零存; ;到约定日期到约定日期, ,可以可以取出全部本利和取出全部本利和, ,这是整取这是整取. .规定每次存入的钱不计复利规定每次存入的钱不计复利( (暂不暂不考虑利息税考虑利息税).).(1)(1)若每月存入金额为若每月存入金额为x x元元, ,月利率月利率r r保持不变保持不变, ,存期为存期为n n个月个月, ,试推试推导出到期整取时本利和的公式；导出到期整取时本利和的公式；(2)(2)若每月初存入若每月初存入500500元元, ,月利率为月利率为0.3%,0.3%,到第到第3636个月末整取时的本个月末整取时的本利和是多少利和是多少? ?(3)(3)若每月初存入一定金额若每月初存入一定金额, ,月利率是月利率是0.3%,0.3%,希望到第希望到第1212个月末个月末整取时取得本利和整取时取得本利和2 0002 000元元. .那么每月初应存入的金额是多少那么每月初应存入的金额是多少? ?分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利计息：利息按单利计息：利息= =本金本金利率利率存期存期解：解：（1 1）根据题意）根据题意, ,第第1 1个月存入的个月存入的x x元元, ,到期利息为到期利息为x x r r n n元元; ;第第2 2个月存入的个月存入的x x元元, ,到期利息为到期利息为x x r r （n-1n-1）元）元第第n n个月存入的个月存入的x x元元, ,到期利息为到期利息为xrxr元元. .不难看出不难看出, ,这是一个等差数列求和的问题这是一个等差数列求和的问题. .各月利息之和为各月利息之和为而本金为而本金为nxnx元元, ,这样就得到本利和公式这样就得到本利和公式（2 2）每月存入）每月存入500500元元, ,月利率为月利率为0.3,0.3,根据根据式式, ,本利和为本利和为（3 3）依题意）依题意, ,在在式中式中,y=2 000,y=2 000，r=0.3%,n=12,r=0.3%,n=12,答：每月应存入答：每月应存入163.48163.48元元. .例例2.2.定期自动转存模型定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存款自动转存. .例如例如, ,储户某日存入一笔储户某日存入一笔1 1年期定期存款年期定期存款,1,1年后年后, ,如果储户不取出本利和如果储户不取出本利和. .则银行自动办理转存业务则银行自动办理转存业务, ,第第2 2年的年的本金就是第本金就是第1 1年的本利和年的本利和. .按照定期存款自动转存的储蓄业按照定期存款自动转存的储蓄业务务( (暂不考虑利息税暂不考虑利息税),),我们来讨论以下问题我们来讨论以下问题: :(1)(1)如果储户存入定期为如果储户存入定期为1 1年的年的P P元存款元存款, ,定期年利率为定期年利率为r,r,连存连存n n年后年后, ,再取出本利和再取出本利和. .试求出储户试求出储户n n年后所得本利和年后所得本利和的公式的公式; ;(2)(2)如果存入如果存入1 1万元定期存款万元定期存款, ,存期为存期为1 1年年, ,年利率为年利率为2.79%,2.79%,那么那么5 5年后共得本利和多少万元年后共得本利和多少万元( (精确到精确到0.001)?0.001)?解：解：（1 1）记）记n n年后得到的本利和为年后得到的本利和为a an n, ,根据题意，第根据题意，第1 1年年存入的本金存入的本金P P元，元，1 1年后到期利息为年后到期利息为P Pr,1r,1年后本利和为年后本利和为a a1 1= =P+PP+Pr r=P(1+r)(=P(1+r)(元元););2 2年后到期利息为年后到期利息为P(1+r)rP(1+r)r元，元，2 2年后本利和为年后本利和为a a2 2=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2 2( (元元););各年的本利和是一个以各年的本利和是一个以a a1 1=P(1+r)=P(1+r)为首项，公比为首项，公比q=1+rq=1+r的等比的等比数列数列aan n,故故n n年后到期的本利和年后到期的本利和a an n=a=a1 1q qn-1n-1=P(1+r)(1+r)=P(1+r)(1+r)n-1n-1=P(1+r)=P(1+r)n n( (元元) )（复利公式）（复利公式）. .(2)(2)根据上式，根据上式，5 5年后本利和为年后本利和为a a5 5=1=1(1+0.027 9)(1+0.027 9)5 51.148(1.148(万元万元).).答：答：5 5年后得本利和约为年后得本利和约为1.1481.148万元万元. .分期付款的有关规定分期付款的有关规定1.1.分期付款分若干次付款分期付款分若干次付款, ,每次付款额相同每次付款额相同, ,各次付款的时各次付款的时间间隔相同间间隔相同. .2.2.分期付款中双方的每月分期付款中双方的每月( (年年) )利息均按复利计算利息均按复利计算, ,即上月即上月( (年年) )的利息要计入本金的利息要计入本金. .3.3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和, ,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和, ,这在市这在市场经济中是相对公平的场经济中是相对公平的. .例例3.3.分期付款模型分期付款模型 小华准备购买一台售价为小华准备购买一台售价为5 0005 000元的元的电脑电脑, ,采用分期付款方式采用分期付款方式, ,并在一年内将款全部付清并在一年内将款全部付清. .商场商场提出的付款方式为提出的付款方式为: :购买后购买后2 2个月第个月第1 1次付款次付款, ,再过再过2 2个月第个月第2 2次付款次付款购买后购买后1212个月第个月第6 6次付款次付款, ,每次付款金额相同每次付款金额相同, ,约定月利率为约定月利率为0.8%,0.8%,每月利息按复利计算每月利息按复利计算. .求小华每期付的求小华每期付的金额是多少金额是多少? ?分析分析1:1:考虑小华每次还款后考虑小华每次还款后, ,还欠商场的金额还欠商场的金额. .解：解：设小华每期还款设小华每期还款x x元元, ,第第k k个月末还款后的本利欠款个月末还款后的本利欠款数为数为A Ak k元元, ,则则由题意年底还清由题意年底还清, ,所以所以解得解得: :答答: :小华每期付款的金额为小华每期付款的金额为880.8880.8元元. .分析分析2:2:小华在小华在1212月中共付款月中共付款6 6次次, ,它们在它们在1212个月后的本个月后的本利和的累加与一年后付款总额相等利和的累加与一年后付款总额相等. .解解: :设小华每期还款设小华每期还款 元元, ,则则购买购买2 2个月后第个月后第1 1次付款次付款 元元, ,此此 元到元到1010个月后个月后本利和为本利和为 元元. .购买购买4 4个月后第个月后第2 2次付款次付款 元元, ,此此 元到元到8 8个月后个月后本利和为本利和为 元元. .购买购买1212个月后第个月后第6 6次付款次付款 元元, ,此此 元当月的元当月的本利和为本利和为 元元. .又小华一年后应还给商场的总金额增值为又小华一年后应还给商场的总金额增值为: :答：小华每答：小华每期期付款的金额为付款的金额为880.8880.8元元. .“教育储蓄教育储蓄”, ,是一种零存整取的定期储蓄存款方式是一种零存整取的定期储蓄存款方式, ,是国家是国家为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式, ,为子女接受非义务教育为子女接受非义务教育积蓄资金积蓄资金, ,从而促进教育事业发展而开办的从而促进教育事业发展而开办的. .某同学依教育储某同学依教育储蓄方式从蓄方式从20042004年年1111月月1 1日开始日开始, ,每月按时存入每月按时存入250250元元, ,连续存连续存6 6年年, ,月利率为月利率为0.3.0.3.到期一次可支取本利共多少元到期一次可支取本利共多少元? ?解：解：由例由例3 3到期一次可支取本利和公式可知到期一次可支取本利和公式可知 答：到期一次可支取本利和共为答：到期一次可支取本利和共为20 118.620 118.6元元. .通过本节的学习：通过本节的学习：1.1.了解银行存款的种类及存款计息方式；了解银行存款的种类及存款计息方式；2.2.体会体会“零存整取零存整取”、“定期自动转存定期自动转存”等日常经济生活等日常经济生活中的实际问题；中的实际问题；3.3.了解了解 “教育储蓄教育储蓄”. .4.4.学会计算单利、复利、分期付款等常见的几种类型学会计算单利、复利、分期付款等常见的几种类型. .智慧的可靠标志就是能够在平凡中发现奇迹。 爱默生