2.12.1建立二次函数模型建立二次函数模型 1 1、一次函数解析式一般形式是：、一次函数解析式一般形式是：_, _, 图像是图像是_复习提问复习提问y=kx+b(k0)一条直线一条直线双曲线双曲线2 2、反比例函数解析式一般形式是：、反比例函数解析式一般形式是： _, _, 图像是图像是_._.观察下列图形：观察下列图形：新课引言新课引言美丽的桥孔、迷人的彩虹、篮球在空中美丽的桥孔、迷人的彩虹、篮球在空中运行的路线、欢腾的喷泉是什么曲线吗？你运行的路线、欢腾的喷泉是什么曲线吗？你能建立一个函数模型来刻画这些曲线吗？这能建立一个函数模型来刻画这些曲线吗？这就是本章要学习的二次函数图像。就是本章要学习的二次函数图像。这一章的内容有：建立二次函数模型，这一章的内容有：建立二次函数模型，研究二次函数图像和性质，展示二次函数的研究二次函数图像和性质，展示二次函数的应用。应用。问题一问题一、学校准备在校园内利用、学校准备在校园内利用围墙一段，再砌三面墙，围成一围墙一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图所示，现在个矩形植物园，如图所示，现在已备足可以砌已备足可以砌100m长的墙的材长的墙的材料。大家来讨论对应不同砌法，料。大家来讨论对应不同砌法，植物园面积会发生怎样变化？有植物园面积会发生怎样变化？有没有一种统一的能包括一切可能没有一种统一的能包括一切可能砌法的探讨方法呢？砌法的探讨方法呢？主题讲解主题讲解主题一、二次函数的定义主题一、二次函数的定义思考：思考：（1）问题中有哪些变量？）问题中有哪些变量？谁是自变量？谁是因变量？谁是自变量？谁是因变量？（2）假设与围墙垂直的一面墙长）假设与围墙垂直的一面墙长为为xm，那么与墙平行的一面的墙，那么与墙平行的一面的墙长怎样表示？长怎样表示？(3)如果设矩形的面积为如果设矩形的面积为s（m2 ），那么），那么s与与x之之间有什么关系？间有什么关系？s=x(100-2x)=-2x2+100x(0x50)（100-2x)x问题问题2、一种型号的电脑，两年、一种型号的电脑，两年前的销售价为前的销售价为6000元，现在的销元，现在的销售价为售价为y元，如果每年的平均降元，如果每年的平均降价率为价率为x，那么降价率变化时电，那么降价率变化时电脑售价怎样变化呢？脑售价怎样变化呢？解：解：y=6000(1-x)2=6000(1-2x+x2)=6000x2-12000x+6000(0x1)s=-2x2+100x(0x50)y=6000x2-12000x+6000(0x1)这两个函数是一次函数吗？是反比例函数这两个函数是一次函数吗？是反比例函数吗？它们有什么特点呢？吗？它们有什么特点呢？特点：函数解析式是关于自变量的二次式特点：函数解析式是关于自变量的二次式思考：思考：2、定义：一般地，形如、定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做的函数叫做x的的二次函数。二次函数。（1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x的的（3 ）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有，可以没有一次项和常数项，但一次项和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。注意注意：（2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是 。整式整式a0.2任意实数任意实数二次函数的一般形式二次函数的一般形式:yax2bxc (其中其中a、b、c是常数是常数,a0)二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b0时，时， yax2c当当c0时，时， yax2bx当当b0，c0时，时， yax2观察观察与与总结总结定义：如果函数解析式是关于自变量的二次多定义：如果函数解析式是关于自变量的二次多项式，这样的函数叫二次函数，它的一般形式项式，这样的函数叫二次函数，它的一般形式是：是：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，为常数，a0）注意！注意！（1）二次项系数）二次项系数a不能为不能为0， (2)自变量自变量x的取值范围为全体实数，但在实的取值范围为全体实数，但在实际问题中要考虑实际意义。际问题中要考虑实际意义。（3）形式：）形式：y=ax2+bx(a 0）y=ax2+c(a 0） y=ax2 (a 0）都是二次函数。）都是二次函数。函数解析式函数解析式二次项系数二次项系数a a一次项系数一次项系数b b常数项常数项 c c00242158112130说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： 试一试试一试: :二次函数二次函数y=ax+bx+cy=ax+bx+c中中a0,a0,而而b b、c c可以为可以为0.0.【例例1】下列函数中（下列函数中（x,t是自变量），哪是自变量），哪些是二次函数？些是二次函数？(1)y=-0.5+3x,(2)y=x(x+1)-x2+2(3)y=2+2x,(4)s=1+t+5t(5)y=(m-1)x2+3x解解（1），（），（4）是二次函数）是二次函数判断一个函数关系是不是二次函数，不能只看表判断一个函数关系是不是二次函数，不能只看表面形式，而要面形式，而要化简后化简后，看自变量的最高次数是否，看自变量的最高次数是否为为2.2.注意！注意！1 1、m m为为_时，函数时，函数y=(m-1) y=(m-1) 是二是二次函数。次函数。2、已知函数、已知函数y=(a-2)x2+4x+3不是二次不是二次函数，则函数，则=_.变式练习3 3、已知函数、已知函数y=(m2-9)x2+(m+3)x+5是一个一次函数，则是一个一次函数，则2 2m m =_=_-1168例例2. y=(m+3)x 2. y=(m+3)x (1) m(1) m取什么值时取什么值时, ,此函数是正比例函数此函数是正比例函数? ? (2) m(2) m取什么值时取什么值时, ,此函数是反比例函数此函数是反比例函数? ? (3) m(3) m取什么值时取什么值时, ,此函数是二次函数此函数是二次函数? ?m m2 27 7看谁算得快看谁算得快!1.函数函数是一次函数，求是一次函数，求k的值。的值。02.函数函数是二次函数是二次函数,求求m的值。的值。23.函数函数是二次函数，是二次函数，求求m的值的值21、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是是自变量），是二次函数的为二次函数的为( )A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+ x2 +1随堂练习随堂练习2.函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条是二次函数的条件是件是( ) A m,n是常数是常数,且且m0 B m,n是常数是常数,且且n0 C m,n是常数是常数,且且mn D m,n为任何实数为任何实数5、圆的半径是、圆的半径是1cm，假设半径增加，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加时，圆的面积增加ycm。（1）写出）写出y与与x之间的函数关系表达式；之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加）当圆的半径分别增加1cm，2cm时，时， 圆的面积增加多少？圆的面积增加多少？随堂练习随堂练习6、如图，已知梯形、如图，已知梯形ABCD中，中，AD/BC， AB=DC，B=600，梯形的周长为，梯形的周长为60， 设腰设腰AB=x，梯形面积为，梯形面积为y.（1）写出）写出y关于关于x的函数关系式，并求出自的函数关系式，并求出自变量变量x的取值范围。的取值范围。（2）当）当x=15时，求时，求y的值。的值。ACBDFEx随堂练习随堂练习w7.7.用总长为用总长为60m60m的篱笆围成矩形场地，场的篱笆围成矩形场地，场地面积地面积S(m)S(m)与矩形一边长与矩形一边长a(m)a(m)之间的关系之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？w是二次函数关系式是二次函数关系式.w解：解：S=a(30-a)=30a-a= -a+30a . 随堂练习随堂练习某果园有某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结少结5个橙子个橙子。（1）问题中有那些变量？）问题中有那些变量？（2）假设果园增种）假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量棵橙子树，果园橙子的总产量为为y个，那么请你写出个，那么请你写出y与与x之间的关系式。之间的关系式。随堂作业：随堂作业：相信你一定行相信你一定行1 1填空：（填空：（1 1）、正方体的棱长为）、正方体的棱长为x x，表面积为，表面积为y y，则，则y=_.y=_.（2 2）、正多边形的边数为）、正多边形的边数为n n，对角线的条数为，对角线的条数为y y，则，则 y=y= _. _.（3 3）、某工厂第一年利润为）、某工厂第一年利润为2020万元，第三年利万元，第三年利润为润为y y万元，平均每年增长率为万元，平均每年增长率为x x，则，则y=_y=_。变式练习变式练习6x6x2 220(x+1)20(x+1)2 22、写出下列函数的解析式，并指出它们中、写出下列函数的解析式，并指出它们中哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数。反比例函数。（1）正方形的面积）正方形的面积s关于它的边长关于它的边长x的函数。的函数。（2）圆的周长）圆的周长C关于它的半径关于它的半径r的函数。的函数。解：解：C=2r是一次函数是一次函数解：S= x2是二次函数（3）圆的面积）圆的面积s关于它的半径关于它的半径r的函数。的函数。（4）当菱形的面积）当菱形的面积s一定时，它的一条对角一定时，它的一条对角线的长度线的长度y关于另一条对角线的长度关于另一条对角线的长度x的函数。的函数。是二次函数是二次函数是反比例函数是反比例函数5.如果函数如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函是二次函数数,则则k的值一定是的值一定是_0如果函数如果函数y=(k-3)+kx+1(x0)是一次是一次函数函数,则则k的值一定是的值一定是_3或或1或或2、若二次函数yax2bxc的图形经过A（1，0），B（0，1），C（1，6）三点，求这个函数的解析式例例3:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这求这个二次函数的解析试个二次函数的解析试.待定系数法待定系数法回味无穷回味无穷小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=ax+bx+c(a,b,cy=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫的函数叫做做x x的的二次函数二次函数. .其中其中, ,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分别是函数表达式的二分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项次项系数、一次项系数和常数项. .y=ax+bx+c(a,b,cy=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式: :(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定义的实质是：定义的实质是：ax+bx+cax+bx+c是整式是整式, ,自变量自变量x x的最高次数是二次的最高次数是二次, ,自自变量变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数. .作业作业P23AB