函数的极函数的极值值与与导导数数第二课时第二课时复习回顾1.极小值点与极小值? 若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点0xa附近其它点的函数值都小，f(a)_；f(x)0f(x)0f(x)0，x3是函数f(x)的极值点，正确答案：B322函数f(x)x 3x 1的极小值点为_ 解析：由f(x)3x26x0，解得x0或x2.x0(0,2)(，0)列表如下：f(x)f(x)0极大值20极小值(2，)当x2时，f(x)取得极小值答案：x2合作探究 课堂互动复习巩固：复习巩固：? 求函数的极值求下列函数的极值：132(1)f(x)3x x 3x； (2)f(x)x 4x 5； ln x(3)f(x)x. 43思路点拨先确定函数定义域，然后正确求导，再解方程f(x)0，列表分析，求出函数的解析：(1)函数的定义域为R.2f (x)x 2x3(x1)(x3)令f (x)0，得x11，x23.由此可知当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表所示：xf (x)f(x)(，1)增10极大值(1,3)减30极小值(3，)增5当x 1时， f(x)有极大值3. 当x3时， f(x)有极小值 9. (2) 因为f(x)x4x5， 所以f(x)4x12 x 4x(x3) 令f(x)4x(x3)0，得x10，x23. 223243当x变化时，f (x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)f (x)f(x)0不是极值0极小值故当x3时函数取得极小值，且f(3)22.ln x(3)函数 f(x)x的定义域为 (0， )， 1ln x且 f(x)x2. 1ln x令 f(x)x20， 得 xe. 当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x f(x) f(x) (0，e) e 0 极大值 (e，) 1故当 xe时函数取得极大值，且 f(e)e. 求下列函数的极值： f(x)x312x；解析：(1)函数f(x)的定义域为R.f (x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：xf (x)f(x)(，2)20极大值(2,2)20极小值(2，)从表中可以看出，当x2时，函数f(x)有极大值，3且f(2)(2) 12(2)16；问题探究一问题探究一? 已知函数极值求参数32设函数f(x)ax bx cx，在x1和x1处有极值，且f(1)1，求a，b，c的值，并求出相应的极值思路点拨 求 f ?x? f?1? 1， f ?1? 0 建立关于a， b的方程组 求解 a， b 验证 求极值 说明：若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数解析： f (x) 3ax 2bx c. x 1是函数的极值点， 则 1,1是方程 f (x) 0的根，即有 2b?1 13a，?b 0，?. ?cc 3a?1 ，3a?2 又f(1)1，则有abc1. 13由上述三个方程便可解得 a2，b0，c2， 133此时函数的表达式为 f(x)2x 2x. 323 f(x)2x 2. 由题意知， x1是f(x)0的根 根据x 1列表分析f (x)的符号，f(x)的单调性和极值点.xf(x)f(x)(，1)增10极大值1(1,1)减10极小值1(1，)增由上表可以看出，当x1时，函数有极大值，且f(1)1；当x1时，函数有极小值，且f(1)1.32已知函数f(x)x ax bxc，当x1时，取得极大值7；当x3时，取得极小值求这个极小值及a，b，c的值2解析：f (x)3x 2axb.2据题意，1,3是方程3x 2axb0的两个根，由根与系数的关系得2a?133，?b?1?3 ，3? a3，b9. f(x)x3x 9xc. f(1)7， c2， 极小值f(3)3 3393225. 极小值为25，a3，b9，c2. 3232:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1,求求a、b的值的值.(2)若若x? ? 0,1,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜率为率为k,试讨论试讨论k-1成立的充要条件成立的充要条件 . 2? ?解解:(1)由由f (x)? ? ? ?3x ? ? 2ax? ? 0得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4,a=6.f? ? (x)? ?0,当当x0时时, f? ? (x)? ?0.故当故当x=0时时,由于当由于当x0,故故f ? ? (x) ? ? 0有不相等的两实根有不相等的两实根 、, ,设设.又设又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于由于-a0,g(x)的图象开口的图象开口向下向下,g(x)的值在的值在的右正左负的右正左负,在在的左正右负的左正右负.注意到注意到f? ?(x)与与g(x)的符号相同的符号相同,可知可知为极小值点为极小值点,为极大值点为极大值点.? ?a? ? ? b? ? ? ? ? ? 1.(2)由由f()=-1和和f()=1可得可得:? ?2? ?a? ? ? b? ? ? ? 12两式相加两式相加,并注意到并注意到+=-2b/a,于是有于是有:2b? ? ? ? ? a? ?(? ?)? ? 2b? ? 0,? ? ? ?,? ? ? ? ? ? 0,a2b? ? ? 0,? ? b? ? 0.a从而方程从而方程f ? ? (x)? ? 0可化为可化为x2=1,它的两根为它的两根为+1和和-1,22即即=-1,=1.a? ? ?b? ?a? ? ? ? ?1? ?a? ?2.由由f(? ?)? ?2? ? ?12故所求的值为故所求的值为a=2,b=0.问题探究二：问题探究二：极值的综合应用3例3.已知a为实数，函数f(x)x 3xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？ (1)由 f(x)x 3xa， 得 f(x)3x 3， 令 f(x)0，得 x1 或 x1. 当 x(， 1)时，f(x)0； 当 x(1，)时，f(x)0. 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)a2； 极大值为 f(1)a2. 由单调性、极值可画出函数 f(x)的大致图象，如图所示这里，极大值 a2大于极小值 a2. 7 分 5分 32(2)结合图象，当极大值a20时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2满足条件；当极小值a20时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a2满足条件综上，当a 2时，方程恰有两个实数根.12分3将本例中(2)改为：f(x)0恰有三个实数根；若只有一个实数根求实数a的取值范围解析： 由题意知， 若f(x)0恰有三个实数根，如图(1)， ?a20 ，解得2a0，解得a2，或a20，解得a2.故 2a2，或a2时，f(x)0只有一个实数根