第八节第八节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程一、一、 型型二、二、 型型三、小结三、小结二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法. .一、 型二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程一、 型对应齐次方程对应齐次方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程分析：分析：二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程一、 型对应齐次方程对应齐次方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程分析：分析：二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程一、 型对应齐次方程对应齐次方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程分析：分析：综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程一、 型对应齐次方程对应齐次方程解解二阶常系方程二阶常系方程 ,所以设特解所以设特解 y* =b0x+b1.代入原方程得代入原方程得:b0x 2b0 3b1=3x+1.则则b0=1, b1=1/3.所以特解所以特解 y* = x+1/3.P342-1解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程, 得得原方程通解为原方程通解为例例2 2P343-2第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路分析思路:第一步第一步 将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点共轭利用欧拉公式利用欧拉公式注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例3 3P345-3所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）取实部）注意注意例3. 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为(课本方法)不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）取虚部）练习练习例例5 5 设函数设函数 连续，且满足连续，且满足求求解解 对积分方程两边求导对积分方程两边求导再求导得再求导得初始条件为初始条件为特征方程和特征根为特征方程和特征根为由于自由项由于自由项不是特征根，故设不是特征根，故设解解得得 a =1/2=1/2再代入初始条件可得再代入初始条件可得1. 求微分方程求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为练习练习2. 已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.作业：作业：P347: 1-(1)(3)(5)(7)(9)；2-(2)(4) 。思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）重根）例例4 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子子8m 另一端离开钉子另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间：下求链条滑下来所需要的时间： （1）若不计钉子对链条所产生的摩擦力；）若不计钉子对链条所产生的摩擦力； （2）若摩擦力为）若摩擦力为1m长的链条的重量长的链条的重量.解解 (1)(1)以钉子处为原点以钉子处为原点, , s s 轴竖直向下，设在轴竖直向下，设在t t 时时刻，链条较长一段下垂刻，链条较长一段下垂s ms m，且设链条的密度均匀分且设链条的密度均匀分布为布为 ，则向下拉链条下滑的作用力为，则向下拉链条下滑的作用力为方程的标准形式为方程的标准形式为特征方程及特征根为特征方程及特征根为代入初始条件得代入初始条件得即即当当s s =20=20m m 时，链条全部滑下，需时时，链条全部滑下，需时同理可解得同理可解得